1、1数学九年级上册知识点总结第一章 特殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点： 1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综
2、合应用知识点归纳矩形 菱形 正方形边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角性质 对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等 ,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角 ;是平行四边形且有一个角是直角 ;是平行四边形且两条对角线相等 .四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形一矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一
3、个角是直角矩形的性质性质 1 矩形的四个角都是直角；性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。 ；矩形的判定矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等2矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形矩形判断方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为 例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例 3： 已知：如图， ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G
4、，H，求证：四边形 EFGH 是矩形二菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质性质 1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E 求证：AFD=CBE 3例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、
5、BC 分别交于 E、F 求证：四边形 AFCE 是菱形例 3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、F ，求证：四边形 AFCE 是菱形.例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于M，若 AB=AE,EAD=2 BAE。求证：AM=BE。例 5 （10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A =60, B=4,O 为对角线 BD 的中点，过 O点作 OEAB，垂足为 E(1)求线段 B的长例 6、 （2011 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DEAB 交 BA 的延长线于 E
6、，DFBC，交BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想AB CDEFO12B M A D C E DABE604例 7、 （2011 山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF ； （2）判断BEF 的形状，并说明理由；（3）设BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特
7、殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判
8、定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形；5 （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l 2，作 BMl 1 于M，DNl 1 于 N，直线 MB、 DN 分别交 l2 于 Q、P 点求证：
9、四边形 PQMN 是正方形例3、 （2011 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上 一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分的四边形是（ ）A平行四边形、菱形 B矩形、菱形 C矩形、正方形 D菱形、正方形2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
10、3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A当 AB=BC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形C当ABC=90 0 时，它是矩形 D当 AC=BD 时，它是正方形4.如图，在 中，点 分别在边 ， ， 上，且 ，ABC EDF， ， ABCDECA下列四个判断中，不正确的是（ ）DFA四边形 是平行四边形 B如果 ，那么四边形 是矩形90 FC如果 平分 ，那么四边形 是菱形D如果 且 ，那么四边形 是菱形E5.如图，四边形 为矩形纸片把纸片 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，折BCDACDBCDE痕为 若 ，则 等于（ ）F6AFA B C43342D
11、 8DCB A 66.如图，矩形 的周长为 ，两条对角线相交于 点，过点 作 的垂线 ，分别ABCD20cmOACEF交 于 点，连结 ，则 的周长为（ ）， EF， ECDA5cm B8cm C9cm D10cm7.在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD（A、B、C 、D 四点均为格点） ，若方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形 中，对角线 交于点 ，已知 ，则ABCDABD， O120.5ADB，的长为 9.边长为cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 .10.如图所示，菱形 中，对角线 C， 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形成为正方
12、形，则这个条件是 （只填一个条件即可） 11.如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则 ACP 度数是 12.如图，矩形 ABCD中， O是 A与 BD的交点，过 O点的直线 EF与 ABCD， 的延长线分别交于 EF， （1）求证： F ；（2）当 与 满足什么关系时，以 EC， ， ， 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论13.将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1 ABDEFABCDAB CDA DCBOB CDAPFDOCBEA第 12 题图7图 13030B DAC 图 2D 1C1B1CADB图 3CADB图 4
13、CADB(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _(2)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB 1C1D1 的位置，四边形 ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(3)在 RtBCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为矩形，其理由是_；当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1 为菱形，其理由是_(图 3、图 4 用于探究)应用探究：1.如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ，若ABCBDCAE，则在不添加任何辅助线的情况下，图中 的角（虚线也视为角的边）有（ 2
14、.5 45）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个2.如图，正方形 的面积为 1， 是 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）ABCDMABA B C D31025493.已知 为矩形 的对角线，则图中 与 一定不相等的是（ ）2A B C D4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 的红丝带交叉成 60角重叠在一起（如1cm图） ，则重叠四边形的面积为_ 2.c5.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若E2. DACBMBA 1D C21 12BAD CBAC12D12BAD CB F CA H DE G8EH3 厘米，EF4 厘米
15、，则边 AD 的长是_ 厘米.6.如图，已知 ，点 在 边上，四边形 是矩形请你只用无刻度的直AOB， EOBAEBF尺在图中画出 的平分线（请保留画图痕迹） BFE7.如图：矩形纸片 ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 AC 上，则 AC 的长是 AB CPDE第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，)0(2acbxa等式右边是零，其中 叫做二次项，a 叫
16、做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次2项系数；c 叫做常数项。例 方程 2()(3)0mxx是一元二次方程，则 _m.二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程。当 时，bax2)( 0b， ；当 b0 时，方程没有实数根。baxbax例 第二象限内一点 A（x1，x 22） ，关于 x 轴的对称点为 B，且 AB=6，则x=_AB CDE92、配方法 一般步骤：（1） 方程 两边同时除以 a,将二次项系数化为 1.)0(2acbxa（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4） 配方，化成 bax
17、2)(（5）开方，当 时， ；当 b0 时，方程没有实数根。0b例 若方程 x2有解，则 的取值范围是（ ） A a B a C 0a D无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 的求根公式：)0(2acbxa4(2bx例 已知 x2 4x2=0，那么 3x212x2012 的值为 4、因式分解法一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例 已知一个三角形的两边长是方程 x2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ ） Ay8 B3y5 c2y8 D无法确定补充：一元二次方程根的判别式
18、 根的判别式1、定义：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程)0(2acbxaacb42的根的判别式。)0(2acbxa2、性质：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方c42 c2程有两个相等的实数根；当 0 时，方程没有实数根。ab2例 若关于 x 的方程 x2 2 (a 1 )x = (b+2)2 有两个相等的实根，则 a2013+b5 的值为 .例 若关于 x 的方程 x2 2x(k-x)+6=0 无实根，则 k 可取的最小整数为（ ）（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）10如果方程 的两个实数根是 ，那么 ，
19、)0(2acbxa 21x， abx21。cx21第三章 概率的进一步认识一、知识概括 1、频率（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：实 验 次 数频 数数 据 总 数频 数频 率 （3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于 1。因此，各个小长方形的面积的和等于 1。2、概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A ）= nm（2）表格法用列出表格的方法来
20、分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法 通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 ）例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ）（A） “抛掷一枚普通骰子出现 1 点朝上”的机会（B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会（C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会（D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）（A） （B） （C） （D ） 25 310 320 1512 3 45 34 89
