1、1小学数学知识总结之比和比例应用题【求比的问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是 23，第二个容器中盐与水的比是 34，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是_。（无锡市小学数学竞赛试题）则混合溶液中，盐与水的比是：某电子产品去年按定价的 80出售，能获利 20，由于今年买入价降（1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）即：2【比例问题】例 1 甲、乙两包糖的重量比是 41，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 75 那么两包糖重量的总和是_克。（1989 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）例 2 甲容器中有纯酒精 11 升，乙
2、容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为 62.5，乙容器中纯酒精含量为 25，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为 25，所以，乙容器中酒精与水的比为25（1-25）=13第一次从甲容器中倒 5 升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是 515=13又甲容器中纯酒精含量为 62.5，则甲容器中酒精与水的比为 62.5（1-62.5）=53第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为 53，不妨
3、把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作 1 份，水作 3 份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是 11-5=6（升）6 升算作 4 份，这样可恰好配成 53。3而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为 13=4（份），所以也应是 6 升。一.比的意义和性质（1） 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“ 比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分
4、子，后项相当于分母，比值相当于分数值（2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变，这叫做比的基本性质。（3） 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 （5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量
5、按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 2 比例的意义和性质 （1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
6、中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示 y/x=k(一定） （2）成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 xy=k(一定) 4二 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随
7、着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？关键：做题效率一定，做题数量与
8、做题时间成正比例关系例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？5三 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的
9、计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 345。三条边的长各是多少厘米？例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。6例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 81221，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？四 列方程例 1 甲乙两班共 90 人，
10、甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人，求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750 元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？作业1一台拖拉机第一天上午 3 小时平均每小时耕地 7.8 公亩，下午 4 小时平均每小时耕地 8.1 公亩，第二天用了 5 小时耕地 38.4 公亩，正好完成任务。这台拖拉机平均每天耕地多少公亩?2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同种的花布小王买了 9 米，小张买了 6 米
11、。王向张借了 12元，两人的钱刚好用完。这种花布每米多少元?7比的应用练习题1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是 3 ：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是 4 ：1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是（ ）。2、五角人民币与贰角人民币的张数比为 12 ：35，那么伍角与贰角的总钱数比为（ ）。3、甲、乙、丙三个数的平均数是 60。甲、乙、丙三个数的比是 3 ：2 ：1。甲、乙、丙三个数各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是 2 ：1，这两个锐角分别是多少度？5、大、小两瓶油共重 2.7 千克，大瓶的油用去 0.2 千克后，剩下的油与小瓶内油
12、的重量比是 3 ：2。求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书 108 本，乙比甲多 18 本，乙与丙的图书数之比是 5 ：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是 60 厘米，已知三条边的比是 3 ：4 ：5.这个直角三角形的面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为 36 厘米，三条边的长度比是 3 ：4 ：5，这个三角形的面积是多少平方厘米？9、一瓶盐水，盐和水的重量比是 1 ：24，如果再放入 75 克水，这时盐与水的重量比是 1 ：27，原来瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是 2 ：3，红球个数与
13、白球个数的比是 4 ：5。已知三种颜色的球共 175 个，红球有多少个？11、王老师用 100 元去买了 20 支圆珠笔和 10 支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是 3 ：1。问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？812、甲、乙两包糖果的重量的比是 4 ：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为 7 ：5。那么两包糖果重量的总和是多少？13、某小学男、女生人数之比是 16 ：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为 6 ：5，这时全体学生共有 880 人，问转学来的女生有多少人？14、小明读一本书，已读的和末读的页数比是 1 ：5。如果再读 30
14、 页，则已读的和末读的页数之比为 3 ：5。这本书共有多少页？15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是 1 ：4。如果再运走 4 吨，那么运走的和剩下的比为 3 ：7。这批货物共多少吨？16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为 9：4：2，甲给了丙 30 个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为 2 ：1 ：1。乙给了丙多少个彩球？溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例 15 基本问题一
15、（1）浓度为 10，重量为 80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为 8的糖水？（2）浓度为 20的糖水 40 克，要把它变成浓度为 40的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度 10，含糖 8010 8（克），有水 80-872（克）.如果要变成浓度为 8，含糖 8 克，糖和水的总重量是 88100（克），其中有水100-892（克）.还要加入水 92- 72 20（克）.（2）浓度为 20，含糖 40208（克），有水 40- 8 32（克）.如果要变成浓度为 40，32 克水中，要加糖 x 克，就有x3240（1-40），9例 16 基本问题二20的食盐水与 5的食盐水混合，要配成 15
16、的食盐水 900 克.问：20与 5食盐水各需要多少克？解： 20比 15多（20-15）， 5比 15少（15-5），多的含盐量（20-15）20所需数量要恰好能弥补少的含盐量（15-5）5所需数量.也就是画出示意图：相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.答：需要浓度 20的 600 克，浓度 5的 300 克.这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.例 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价 5 元，蓝笔定价 9 元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85出售，蓝笔按定价 80出售.结果他付的钱就少了 18.已知他买了蓝
17、笔 30 支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为 1-1882.（85%-82）（82%-80）32.按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是 23.设买红笔是 x 支，可列出比例式5x93023答：红笔买了 36 支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例 17 中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例 18 甲种酒精纯酒精含量为 72，乙种酒精纯酒精含量为 58，混合后纯酒精含量为 62.如果每种酒精取的数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例
18、 16 的方法，原来混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是10这与上一讲例 14 是同一问题.都加 15，比例变了，但两数之差却没有变.5 与 2 相差 3，5 与 3 相差 2.前者 3 份与后者 2 份是相等的.把 25 中前、后两项都乘 2，35 中前、后两项都乘 3，就把比的份额统一了，即现在两个比的前项之差与后项之差都是 5.15 是 5 份，每份是 3.原来这答：第一次混合时，取甲酒精 12 升，乙酒精 30 升.例 19 甲容器中有 8的食盐水 300 克，乙容器中有 12.5的食盐水 120 克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多
19、少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量= 300812012.5= 85.现在要使（300 克+倒入水）（120 克+倒入水）85.把“300 克+ 倒入水”算作 8 份，“120 克+ 倒入水”算作 5 份，每份是（300-120）（8-5）= 60（克）.倒入水量是 608-300 180（克）.答：每一容器中倒入 180 克水.例 20 甲容器有浓度为 2的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是1802 2409 25.2（克）.浓度是25.2（180 240） 100= 6.（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有 25.2 克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240 克后，乙的浓度仍是 9，要含有 25.2 克盐，乙容器还剩下盐水 25.29280（克），还要倒入水 420-280140（克）.答：（1）甲容器中盐水浓度是 6；（2）乙容器再要倒入 140 克水.
