1、复变函数与积分变换复习 一、考试的目的和性质 本课程是高等学校工科本科特别是 自动控制、自动化、信号处理 等专业的基础课。通过本课程的学习 ,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、考试的内容和范围 考试内容 : 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换 考试范围 : 一 知识点 1 第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判 断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算
2、，掌握柯西积分公式，高阶导数公式及解析函数的性质。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。 6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，了解利用留数计算三类实积分。 7 第七章掌握傅里叶变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理。 8 第八章掌握拉普拉斯变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理；掌握常系数线 性微分 方程（组）的拉氏变换解法。 三、考试的形式和方法 试题比例 ：基本概念 10左右，计算技能 90左右。 (一 )复数的概念 1.复数的概念： z x iy ， ,xy是
3、实数 , R e , Imx z y z. 2 1i . 注：两个复数不能比较大小 . 2.复数的表示 1）模： 22z x y； 2）幅角 ：在 0z 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Argz （多值函数）；主值 argz 是位于 ( , 中的幅角。 3） argz 与 arctanyx 之间的关系如下： 当 0,x arg arctan yz x ； 当0 , a r g a r c t a n0,0 , a r g a r c t a nyyzxxyyzx ； 1 4） 三角表示 ： c o s si nz z i，其中 argz ；注：中间一定是“ +”号。 5） 指数表示 ： i
4、z ze ，其中 argz 。 (二 ) 复数的运算 1.加减法 ：若 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy ，则 1 2 1 2 1 2z z x x i y y 2.乘除法 ： 1）若 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy ，则 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z x x y y i x y x y ； 1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x iy x iyz x iy x x y y y x y xiz x iy x iy x iy x y x y 。 2）若 121 1 2
5、 2,iiz z e z z e, 则 121 2 1 2 iz z z z e ； 121122izz ezz 3.乘幂与方根 1） 若 ( c o s si n ) iz z i z e ，则 ( c os si n )nnn inz z n i n z e 。 2） 若 ( c o s si n ) iz z i z e ，则 1 22c o s si n ( 0 , 1 , 2 1 )n n kkz z i k nnn （有 n 个相异的值） 4. 例题及其答案 计算下例各题 . 1 i31 2arg ； 2 7)1( i ； 3. 618 ; 简答 1解：原式 = ;322321a
6、r g4 )31(2a r g i 2解：原式 )1(81 2432ln7)1l n (7 21 iee ikii 分）（ ； 3解：原式 = ikik ee 3612 21)8( 分）（ . 2 （三）复变函数 1复变函数： w f z ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 复初等函数 1）指数函数： c o s s inzxe e y i y， 在 z 平面处处可导，处处解析；且 zzee 。 注： ze 是以 2i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数： ln ( a r g 2 )Ln z z i z k (
7、0, 1, 2 )k （多值函数） ； 主值 ： ln ln argz z i z。（单值函数） Lnz 的每一个主值分支 lnz 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 1lnz z ； 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数： ( 0)b bL naa e a； ( 0 )b b L n zz e z 注：在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 1bbz bz 。 4）三角函数： s i n c o ss i n , c o s , t ,2 2 c o s s i ni z i z i z i ze e e e z zz z g z c t g zi z
8、z sin ,coszz在 z 平面内解析，且 s in c o s , c o s s inz z z z 注：有界性 sin 1, cos 1zz不再成立；（与实函数不同） 4） 双 曲函数 ,22z z z ze e e es h z c h z； shz 奇函数， chz 是偶函数。 ,shzchz 在 z 平面内解析，且 ,s h z c h z c h z s h z。 （四）解析函数的概念 1复变函数的导数 1）点可导： 0fz = 000limzf z z f zz ； 2） 区域可导 ： fz在区域内点点可导。 3 2解析函数 的概念 1）点解析： fz在 0z 及其 0z
9、的邻域内可导，称 fz在 0z 点解析； 2）区域解析： fz在区域内每一点解析，称 fz在区域内解析； 3）若 ()fz在 0z 点不解析，称 0z 为 fz的奇点； 3解析函数的运算法则 ：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1函 数可导的充要条件 ： ,f z u x y iv x y在 z x iy 可导 ,u xy 和 ,v xy 在 ,xy 可微，且在 ,xy 处满足 CD 条件： ,u v u vx y y x 此时， 有 uvf z ixx 。 2 函数解析的充要条件 ： ,f z u x y
10、 iv x y在区域内解析 ,u xy 和 ,v xy 在 ,xy 在 D 内可微，且满足 CD 条件： ,u v u vx y y x ； 此时 uvf z ixx 。 注 ： 若 , , ,u x y v x y在区域 D 具有一阶连续偏导数，则 , , ,u x y v x y在区域 D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明 ,uv具 有一阶连续偏导且满足 CR条件时，函数 ()f z u iv 一定是可导或解析的。 3函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1） 2）利用充要条件 （函数以 ,f z u x y i v x y形式给出，如第二
11、章习题 2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数 fz是以 z 的形式给出，如第二章习题3） 4. 例题及其答案 )31ln( i 4 解：原式（ 3 分） = )32(2ln ki （六）复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念： 1limnkkc n kf z d z f z ， c 是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2 复变函数积分的性质 1） 1ccf z d z f z d z（ 1c 与 c 的方向相反）； 2） , ,c c cf z g z d z f z d z g z d z 是常数； 3） 若曲线 c 由 1c 与 2c 连接而成
12、，则 12c c cf z d z f z d z f z d z 。 3复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分： c c cf z d z u d x v d y i v d x u d y ；（常 用于理论证明） 2）参数方法：设曲线 c ： ()z z t t ，其中 对应曲线 c 的起点， 对应曲线 c的终点，则 ( )c f z d z f z t z t d t 。 （七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1柯 西 古萨基本定理： 设 fz在单连域 B 内解析， c 为 B 内任一闭曲线，则 0c f z dz 2复合闭路定理 ： 设 fz在多连域 D 内解析， c 为 D 内任
13、意一条简单闭曲线，12,nc c c 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 12,nc c c 为边界的区域全含于 D 内，则 c f z dz 1 ,knk c f z dz其中 c 与 kc 均取正向； 0f z dz ，其中 由 c 及 1( 1, 2, )c k n 所组成的复合闭路。 3闭路变形原理 ： 一个在区域 D 内的解析函数 fz沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D5 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中 c 不经过使 fz不解析的奇点。 4解析函数沿非闭曲线的积分 ： 设 fz在单连域 B 内解析， Gz为 fz在 B 内的一个原函数，则 21 2
14、1 1 2( , )zz f z d z G z G z z z B 说明：解析函数 fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式： 设 fz在区域 D 内解析， c 为 D 内任一正向简单闭曲线， c 的内部完全属于 D ， 0z 为 c 内任意一点，则 00 2c fz dz if zzz 6高阶导数公式： 解析函数 fz的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为 010 2 ( 1 , 2 )( ) ! nnc fz id z f z nz z n 其中 c 为 fz的解析区域 D 内围绕 0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内 部完全属于 D 。
15、7 重要结论： 12 , 01 0 , 0()ncindz nza 。 （ c 是包含 a 的任意正向简单闭曲线） 8复变函数积分的计算方法 1）若 fz在区域 D 内处处不解析，用一般积分法 c f z d z f z t z t d t 2）设 fz在区域 D 内解析， c 是 D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西 古萨定理， 0c f z dz c 是 D 内的一条非闭曲线， 12,zz对应曲线 c 的起点和终点，则有 21 21zczf z d z f z d z F z F z 3）设 fz在区域 D 内不解析 6 曲线 c 内仅有一个奇点： 0001022( ) !cnncfz d
16、z i f zzzfz id z f zz z n （ ()fz在 c 内解析） 曲线 c 内有多于一个奇点： c f z dz 1 knk c f z dz（ ic 内只有一个奇点 kz ） 或： 12 Re ( ) , nkkc f z d z i s f z z （留数基本定理） （有 4 条公式） 若被积函数不能表示成 1()nofzzz，则须改 用第五章留数定理来计算。 （八）解析函数与调和函数的关系 1调和函数的概念： 若二元实函数 ( , )xy 在 D 内有二阶连续偏导数且满足220xy， ( , )xy 为 D 内的调和函数。 2解析函数与调和函数的关系 解析函数 f z u
17、 iv 的实部 u 与虚部 v 都是调和函数，并称虚部 v 为实部 u 的共轭调和函数。 两个调和函数 u 与 v 构成的函数 ()f z u iv 不一定是解析函数；但是若 ,uv如果满足柯西 黎曼方程，则 u iv 一定是解析函数。 3已知解析函数 fz的实部或虚部，求解析函数 f z u iv 的方法。 1）偏微分法：若已知实部 ,u u x y ，利用 CR 条件，得 ,vvxy； 对 vuyx两边积分，得 uv dy g xx （ *） 再对（ *）式两边对 x 求偏导，得 vud y g xx x x （ *） 7 由 CR 条件， uvyx，得 uu d y g xy x x ，
18、可求出 gx； 代入（ *）式，可求得 虚部 uv dy g xx 。 2 ） 线 积 分 法 ： 若 已 知 实 部 ,u u x y ，利用 CR 条件可得v v u ud v d x d y d x d yx y y x ， 故虚部为 00,xyxy uuv d x d y cyx ； 由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 00,xy 与 ,xy 是解析区域中的两点。 3）不定积分法：若已知实部 ,u u x y ，根据解析函数的导数公式和 CR 条件得知， u v u uf z i ix y x y 将此式右端表示成 z 的函数 Uz，由于 fz 仍为解析函数，故
19、 f z U z dz c （ c 为实常数） 注：若已知虚部 v 也可用类似方法求出实部 .u 4. 例题及其答案 1 1 )2)(12(z zzdz = ; 2 2 2 2z z dz ; 3 dzz zz 2 4sin; 4 1 )1ln(z dzzz; 5 4 5 )3)(1(z zz dz. 简答、 1.解：原式（ 3 分） = 21,)2)(12( 1Re2 zzsi（ 3 分） 原式 1 523(21)2(2Zidzzzdz分） (3 分 ) 2解： 2,21Re2,21Re2 22 zszsi（ 4 分） 8 022 122 12 i（ 2 分） 3解：原式（ 2 分） =32
20、)c o s(32)( s i n!33 00 izizi zz 分）（分）（4解： 0z 为 zz )1ln( 的可去奇点 （ 4 分） 原式 =0 5原式 = 61 5,)3)(1( 1Re2k kzzzsi （ 2 分） ,)3)(1( 1Re2 5 zzsi （ 1 分） 0,1)31)(11(1Re22(25zzzsi分） （ 1 分） =0 （九） 复数项级数 1复数列的极限 1）复数列 n n na ib （ 1,2n ）收敛于复数 a bi 的充要条件为 li m , li mnnnna a b b （同时成立） 2）复数列 n 收敛 实数列 , nnab同时收敛。 2复数项级
21、数 1）复数项级数0 ()n n n nn a ib 收敛的充要条件是级数0 nn a与0 nn b同时收敛； 2）级数收敛的必要条件是 lim 0nn 。 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性 1 幂级数的概念 ：表达式00 ()nnn c z z 或0nnn cz为幂级数。 2幂级数的敛散性 9 1）幂级数的收敛定理 阿贝尔定理 (Abel)： 如果幂级数0nnn cz在 0 0z 处收敛，那么对满足 0zz 的一切 z ，该级数绝对收敛；如果在 0z 处发散，那么对满足 0zz 的一切 z ，级数必发散。 2）幂级数 的收敛域 圆域 幂
22、级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法： 收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 1lim 0nn ncc ，则收敛半径 1R ； 根值法 lim 0nn c ，则收敛半径 1R ； 如果 0 ，则 R ；说明在整个复平面上处处收敛； 如果 ，则 0R ；说明仅在 0zz 或 0z 点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如 20nnn cz） 3幂级数的性质 1） 代数性质 ：设00,nnnna z b z的 收敛半径分别为 1R 与 2R ，记 12min ,R R R ， 则当 zR 时，有 0 0 0()n n nn n n nn n na b z a z b z （线性运算） 0 1 1 00 0 0( ) ( ) ( )n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z （乘积运算） 2） 复合性质 ：设当 r 时， 0nnnfa，当 zR 时， gz 解析且 g z r ， 则当 zR 时， 0 nnnf g z a g z 。
