1、分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中， 、8a 2b、- 、 、 、2- 、 、 yx1539ayxb5432aam165xy、 、 、 、 、 中分式的个数为（ ） x123m1（A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .1 75x； 1x；25a；2x；2b； 2xy.2 下列式子，哪些是分式？a； 234x；3y； 78x； 2y； 145.2、分式有、无意义：（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；例 1：当 x 时，分式 有意义； 51x例 2：分式 中，当
2、 时，分式没有意义；1_例 3：当 x 时，分式 有意义； 12x例 4：当 x 时，分式 有意义；例 5： ， 满足关系 时，分式 无意义；y yx例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A B. C. D.1212x1325x例 7：使分式 有意义的 x 的取值范围为（ ）A 2x B x C D 2例 8：要是分式 没有意义，则 x 的值为（ ）)3(12A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.33、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式 的值为 0；
3、12a例 2：当 x 时，分式 的值为 0x例 3：如果分式 的值为为零,则 a 的值为( ) 2aA. B.2 C. D.以上全不对2例 4：能使分式 的值为零的所有 的值是 （ ）12xxA B C 或 D 或0x0101x例 5：要使分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）6592xA.3 或-3 B.3 C.-3 D 2例 6：若 ,则 a 是( )01A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 例 1： ； ；如果 成立,则 a 的取值范abyxzyx2)(3675)13(a围是_
4、；例 2： )(13 )(cbcb 例 3：如果把分式 中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（ ）2A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变例 4：如果把分式 中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（ ）10CBACBA0A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的 10例 5：若把分式 的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（ ）23A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变 D缩小 6 倍例 6：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A、 B、 C、 D、2323xyx323yx例 7：根
5、据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）baA B C D ba ba例 8：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，；05.12.x例 9：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 21x。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进
6、行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（1） ；（2） ；（3） ；yx12 cab1ba（4） 中正确的是（ ）yxA 、1 个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个例 2：下列约分正确的是（ ）A、 ； B、 ； C、 ； D、36x0yxxy12214yx例 3：下列式子正确的是( )A B. C. D.02yx1yaxz0adcdca例 4：下列运算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、ab241x2ab12m例 5：下列式子正确的是（ ）A B C D2a0b1aba3.0例 6：化简 的结果是（ ）293mA、 B、 C、 D、3mm例 7：约分： ； = ；264x
7、y92x； 。xy132 yx536.015例 8：约分： ； ； 24a)(ba2)(yx； ； 2yxa 1682x 692x_。314_bca9_3m92x例 9：分式 ， ， ， 中，最简分式有( )322ba)ba(141A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如： 最简公分母就是 。2x2x“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分
8、母就是其一的那个分母。例如： 最简公分母就是42x242xx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如： 最简公分母是：22x2x这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例 1：分式 的最简公分母是（ ）nmn,1,2A B C D)(2m2)( )(2nm2例 2：对分式 ， ， 通分时， 最简公分母是（ ）yx2314xyA x2y B 例 3：下面各分式： , , , ，其中最简分式有（ ）21x2y1x2y个。A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例 4：分式 12a， 4的最简公分母是 .
9、例 5：分式 a 与 的最简公分母为_；b例 6：分式 的最简公分母为 。xyx221,8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1： = mn2例 2： = 1432a例 3： = xy例 4： = 222yx计算（1） （2） ab22)()(ab
10、a例 5：化简 + + 等于（ ） x123A B C D16x56x例 6： 例 7： cab214a例 8： 例 9： xx1362 x练习题：（1） （2） （3）2ab x2141ba-2例 10：已知： 求 的值。0342x421xx分式的乘法：乘法法测： ba dc= .分式的除法：除法法则： = c= bad例题：计算：（1） （2） 74623951yx 134104356axy计算：（10） 2210653xyyx求值题：（1）已知： ，求 的值。4xyxy222求值题：（1）已知： 求 的值。432zyx22zyx（2）已知： 求 的值。0325102yxyx29、分式的求
11、值问题：一、 所求问题向已知条件转化例1已知 x+ =3，则 的值 。1124x例 2：若 ab=1，则 的值为 。ba例 3：已知 x2， y 1，求 224()()xy 1xy的值.二、 由已知条件向所求问题转化输 入 n 计 算 n（ n+1）n 50 Yes No 输 出 结 果 m 例 4：已知 ，那么 _ ；13a21a例 5：已知 ，则 的值为（ ）yxyx5A B C D 2772例 6：如果 =2，则 = ba2ba例 7：已知 y=3xy+x，求代数式 的值yx23例 8：已知 与 的和等于 ，则 a= , b = 。2xab42例 9：若 ，则分式 （ ）0yxy1A、
12、B、 C、1 D、1xy1练习1：已知 x 为整数，且 23x+ + 289x为整数，求所有符合条件的 x 值的和.2：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+ x21的值为_10、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数： ， ， ， ， ， ， 根据3815436487其规律可知第 个数应是（ n 为正整数）例 2： 观察下面一列分式： 根据你的发现，它的第 82345,.xx项是 ，第 n 项是 。例 3： 按图示的程序计算，若开始输入的 n 值为 4，则最后输出的结果 m 是 （ ）A 10 B 20 C 55 D 50例 4：当 x=_时,分式 与 互为相反
13、数.x51320例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为 ，根据这个规则ab1 的解为（ ） x23)1(A B C 或 1 D 或1x32x32x1例 6：已知 ，则 ；4)4(22A_,_,CBA例 7：先填空后计算： = 。 = 。 = 1n21n 312n。 （3 分）（本小题 4 分）计算： )208)(7()3(2)()( nn解： )(111nn= 11、分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） ，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能
14、为 0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根例 1：如果分式 的值为1，则 x 的值是 ；2x例 2：要使 的值相等，则 x=_。45与例 3：当 m=_时，方程 =2 的根为 .m12例 4：如果方程 的解是 x5，则 a 。3)1(2xa例 5：(1) (2) 13例 6:解方程： 2462xx例 7：已知：关于 x 的方程 无解，求 a 的值。a41例 8：已知关于 x 的方程 的根是正数，求 a 的取值范围。12a例 9：若分式 与 的 2 倍互为相反数
15、，则所列方程为13_；例 10：当 m 为何值时间？关于 的方程 的解为负数？x212xxm例 11：解关于 的方程x)0(2abab例 12：解关于 x 的方程: 12x例 13：当 a 为何值时, 的解是负数?)1(212xax例 14 关于 x 的方程 的解为负值，求 m 的取值范围。)1(212xmx12、分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程 +1= 有增根，则 m= 3xm例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程 不会产生增根；342xk。例 3：若方程 有增根，则增根可能为（ ）42(2)axxA、0 B、2 C、0 或 2 D、113、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法
