1、 4 对称矩阵的对角化定理： 设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关 （ P.120定理 2）可逆矩阵 P ，满足 P 1AP = L （对角阵）AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的特征值对应的特征向量其中?(Ali E) pi = 0 矩阵 P 的列向量组线性无关定理： 设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不
2、相同，则p1, p2, , pm 线性无关 （ P.120定理 2）定理： n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （ P.123定理 4）推论： 如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵 相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化 （ P.118例 6）定理： 设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关 （ P.120定理 2）定
3、理： 设 l1 和 l2 是 对称阵 A 的特征值， p1, p2 是 对应的特征向量 ，如果 l1 l2 ，则 p1, p2 正交 （ P.124定理 6）证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （ A 是对称阵）l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0因为 l1 l2 ，则 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交 定理： 设 A 为 n 阶对称阵，则必有 正交阵 P，使
4、得P 1AP = PTAP = L，其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一） .（ P.124定理 7）定理： n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （ P.123定理 4）推论： 如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵 相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化定理： n 阶矩阵 A 和对角阵 相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 （ P.123定理 4）推论： 如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和
5、对角阵 相似说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化推论： 设 A 为 n 阶对称阵， l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 矩阵 A lE 的秩等于 n k， 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应例： 设 ，求 正交阵 P，使 P1AP = L对角阵.解： 因为 A 是 对称阵，所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 当 l1 = 2 时， 解方程组 (A + 2E) x = 0，得基础解系 当 l2 = l3 = 1 时， 解方程组 (AE) x = 0，得 令 ，则 . 问题：这样的解法对吗？p 当 l1 = 2时，对应的特征向量为 ；p 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 .显然，必有 x1 x2 ， x1 x3 ，但 x2 x3 未必成立于是把 x2, x3 正交化：此时 x1 h2 ， x1 h3 ， h2 h3
