1、12016 年甘肃省兰州市中考数学试卷及解析一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。1. 如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形，从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选 A.2.反比例函数 的图像在（ ）（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数 的图象受到 k 的影响，当 k 大于 0 时，图象位于第一、三象限，当 k 小于
2、 0 时，图象位于第二、四象限，本题中 k 2 大于 0，图象位于第一、三象限，所以答案选 B.3.已知ABC DEF，若 ABC 与DEF 的相似比为 ，则 ABC 与DEF 对应34中线的比为（ ）（A） （B） （C ） （D）34916169【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为 ，即对应中线的比为 ，所以答3434案选 A.4.在 Rt ABC 中，C90 ，sinA ，BC6，则 AB（ ）52（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在 Rt ABC 中，sinA ，
3、解得 AB10，所以答案选 D.A6B355.一元二次方程 的根的情况（ ）（A）有一个实数根 （B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根 （D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目， 0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选 B.6.如图，在 ABC 中，DEBC ，若 ，则 （ ）AB23EC（A） （ B） （C） （D）13255【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例， 得 ，所以答案选 C.AECDB237.如图，在O 中，点 C 是 的中点，A 50 ，则 BOC（ ）（A）40 （B）45
4、（C）50 （D）60【答案】A【解析】在OAB 中，OA OB，所以AB50 .根据垂径定理的推论，OC 平分弦 AB 所对的弧，所以 OC 垂直平分弦 AB，即BOC 90 B 40 ，所以答案选 A.8.二次函数 化为 的形式，下列正确的是（ ）（A）y=(x+1) 2+2 （B ）y=(x-1) 2+3（C）y=(x-2) 2+2 （D）y=(x-2) 2+4【答案】B【解析】在二次函数的顶点式 ya(x-h) 2+k 中，h=- =- =1,k= = = 3，ba24acb1643所以答案选 B.9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图） ，原空地一边减
5、少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18 ，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为 xm,则可列方程为（ ）【答案】C【解析】设原正方形边长为 x m，则剩余空地的长为( x1) m，宽为 (x2 ) m，面积为 (x1)(x 2)18.10.如图，四边形 ABCD 内接于 O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ADC=（ ）（A）45 （B) 50（C）60 (D) 75【答案】C【解析】连接 OB,则OABOBA, OCB OBC，四边形 ABCO 是平行四边形，OAB=OCB，OBAOBC，ABCOBAOBCAOC，ABCAOC120，OABOCB60，连接
6、OD，则OADODA，OCD ODC，由四边形的内角和等于 360 可知，ADC360 OABABCOCB OADOCD，ADC60.11.点 均在二次函数 的图像上，则 的大小关系是（ ）4【答案】D【解析】将 P1,P2,P3 坐标分别代入二次函数，可知 y1=y2,y3=-15+c，由二次函数的性质可知，该函数图像的顶点坐标为(1,c+1)，且关于 x=1 对称，在 P2 到 P3 为单调递减函数，所以y2y3，所以 y1=y2y3 .12.如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108 ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） （A
7、）cm (B) 2cm(C) 3cm (D) 5cm【答案】C【解析】利用弧长公式即可求解.13.二次函数 的图像如图所示，对称轴是直线 x=-1,有以下结论：abc0; ; 2a+b=0;a-b+c2.其中正确的结论的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】C【解析】a0,b0,c 0，故正确；抛物线与 x 轴有两个交点，故正确； 对称轴为 x1，化简得 2ab0，故错误；当 x1 时，所对应的 y 值2,故正确.14.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CEBD, DEAC , AD , 23DE2,则四边形 OCED 的面积为（ ）5【
8、答案】A【解析】CEBD, DEAC，四边形 OCED 是平行四边形，ODEC, OCDE.矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ODOC.连接 OE, DE2，DC2，DE ，3四边形 OCED 的面积为 .23DCE15.如图，A、B 两点在反比例函数 的图像上， C、D 两点在反比例函数的图像上， AC 交 x 轴 于点 E,BD 交 x 轴 于点 F ， AC=2,BD=3,EF= 则 k2-k1=( )【答案】A【解析】连接 AF，CF，DE，BE ，OA，OB，OC，OD，S ACF =SAOE +SEOC +SAOF +SCOF ，| |+| |+ OFAC=
9、ACEF，12k126S EBD =SDOF +SBOF +SEOD +SEOB ，| |+| |+ OFBD= BDEF，12k12代入具体数值化简得： - = =2，k63k 2-k1=4.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.16. 二次函数 的最小值是 .【答案】-7【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式 .17. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，由此估计口袋中共有小球 个.【答案】20【解析】本题为概
10、率问题，考查了概率中的相关概念.18. 双曲线 在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 .【答案】m 1【解析】根据题意得 m-10,则 m1.19. ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 ACBD，请添加一个条件： A，使得 ABCD 为正方形.【答案】ACBD 或BAD90 或ABC90 或BCD90 或CDA90【解析】由题知四边形 ABCD 为菱形，所以只需一个角为 90 度，或对角线相等.20.对于一个矩形 ABCD 及M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是M 的
11、“伴侣矩形” 。如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : 交 x 轴于点 M，M 的半径为 2，7矩形 ABCD 沿直线 l 运动（ BD 在直线 l 上） ，BD=2，AB y 轴，当矩形 ABCD 是M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为 . 【解析】四边形 ABCD 的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足题意.三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。21.（本小题满分 10 分，每题 5 分）(1) +( )-1-2cos 45-(-2016) 0；812(2)2y2+4y=y+2.【解】(1) +1. (
12、2)y1= ,y2=-2.22.（本小题满分 5 分）如图，已知 O，用尺规作 O 的内接正四边形 ABCD.（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【解】如图，四边形 ABCD 即为所求。过圆心作直线 BD，交O 于 B 、 D 两点，作线段 BD 的垂直平分线，交 O 于 A、C 两点，连接 AD、DC 、CB、AB ，四边形 ABCD 即为所求的正四边形.823.（本小题满分 6 分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从 1，2，8 中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形） ，两人转出的数字之和等于谁事先选
13、择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.若小军事先选择的数是 5，用列表法或画树状图的方法求他获胜的概率.【解法 1】列表法：小军获胜的概率为 = .416【解法 2】画树状图法：小军获胜的概率为 = .41624.（本小题满分 7 分）如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 45夹角（ CDB=45 ） ，在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED， ED 与地面成 53 夹角（EDB=53 ） ，那么钢缆 ED 的长度约为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin530.80，cos530.60，
14、tan531.33）9【解】设 BD=x m，则 BC=x m，BE=(x+2)m.在 Rt BDE 中， =tanEDB，BED =1.33，x=6.06 ，2x =sinEDB，EED= = 10.110.sinBD6.08答：钢缆 ED 的长度约为 10 米.25.（本小题满分 10 分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图 1 ，我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接 AC. 结合小敏的思路作答：（1）若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状（如图 2） ，则四
15、边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题.（2）如图 2，在（1）的条件下，若连接 AC，BD.当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？写出结论并证明；当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形？直接写出结论.10【解】 （1）四边形 EFGH 还是平行四边形，理由如下：连接 AC，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF/AC，EF= AC.2G，H 分别是 CD，AD 的中点，GH/AC，GH= AC.12EF/GH,EF=GH.四边形 EFGH 是平行四边形.(2)当 AC=BD 时，四边形 EFGH 是菱形，理由如下：由（1）可知四边形 EFGH 是平行四边形，当 AC=BD 时，FG= BD，EF= AC，12FG=EF，四边形 EFGH 是菱形.当 ACBD 时，四边形 EFGH 是矩形.26.（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中， OA OB ，AB x 轴于点 C ，点 在反比例函数 的图像上.（1）求反比例函数的 的表达式；（2）在 x 轴的负半轴上存在一点 P ，使得 SAOP = SAOB ，求点 P 的坐标；12
