1、小波分析试题适用范围：硕士研究生 时 间：2013 年 6 月一、名词解释（30 分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合 V；设 V1 是数域 K上的线性空间 V 的一个非空子集合，且对 V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x、y V1，则 xy V1； （ 2） 如果 x V1，k K，则 kx V1， 则称 V1 是 V 的一个线性子空间或子空间。2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 ，称为 V 的一组n21.，基；设 是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基.，线性表出： ， 其中系数 ， n21.
2、n21.， n21a.a是被向量 和基 唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，a， ，记为 （ ） 。.1，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。 ，Tnxx,.21，令 ，称 为 x 与 y 的内积。Tnyy,.21nyxyx.,214、希尔伯特空间解释：线性 完备的内积空间称为 Hilbert 空间。线性（linearity）：对任意f，gH ，a，b R，a*f+b*g 仍然H。完备（completeness）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product）：，它满足： ，Tnff,.21时 。Tn,.21nyxyx.,215、双尺度方程解释：
3、所以 都可以用 空间的一个1010,VWtVt ）（）（ ）（） 和（ tt1V基 线性表示： Zkt）（ 2 kk ktgttht ）（）（）（）（）（ 2,12（2） ）（）（）（）（） ，（）（）（）（ 4232 gh并且有 ，其中（3） 、 （4）即为双kiki ee ）（）（）（）（ 61,51尺度方程。2、简述小波的定义及其主要性质（10 分）答：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义， “小波”就是小的波形。所谓“小”是指它 具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与 Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移
4、运 算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细 分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier 变换的困难问题，成为继 Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。小波性能除了正交性以外还有光滑性、紧支性、衰减性、对称性以及消失矩和时频窗面积。三 、 简述小波理论的发展，并结合你所研究的领域，对小波理论在该领域的应用及发展进行综述。 （10 分）答：1807 年，Fourier 提出傅里叶分析 ，1822 年发表 “热传导解析理论”论文；1910 年 Haar 提出最简单的小波；1980，年 Morlet 首先提出平移伸缩
5、的小波公式，用于地质勘探；1985 年，Meyer 和稍后的 Daubeichies 提出“正交小波基” ，此后形成小波研究的高潮； 1988 年，Mallat 提出的多分辨分析理论（MRA） ；Coifman, Meyer 等人在 1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在 1990 年构造出来。1992 年 A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。Goodman, Lebrun
6、 等人提出的多小波(Multi-wavelet)理论, Candes 和 Donoho 等提出的脊小波(Ridgelet ) 和曲小波(Curvelet)理论, 等等。4、简述连续小波变换的过程。 （10 分）答：可分成 5 个步骤， 步骤 1: 把小波和原始信号的开始部分进行比较；步骤 2: 计算系数 c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 c 的值越大表示信号与小波越相似，因此系数 c 可以反映这种波形的相关程度；步骤 3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤 1 和 2。再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤 1和 2。按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束
7、；步骤 4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤 5: 重复步骤 14。5、阐述多分辨分析的思想并给出 MALLAT 算法的表达式。 （10 分）答：Meyer 于 1986 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成 L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988 年 S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即 Mallat
8、算法。Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列：（ 1）单调性： ；（2）逼近性：ZjV 101V；（3）伸缩性： ；（4）平移不变性：)(,02RLjj1)()(jjVtftf， ；（5）存在函数 ，使得 构成jj Vtftf)( Zk0tgZk)-g(t的 Riesz 基。满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果 生成一0V个多 分辨分析，那么称 为一个尺度函数。 关于多分辨分析的理解，我们在这里以一)(tg个三层 的分解进行说明，其小波分解
9、树如图所示。从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。分解的关系为 。另外强调一点这 里只是以一个层分1120)(jjjVRL解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。 在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交)(2RL小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)
10、 ，可以很快计算出尺度系数和小波系数 cj,k,dj,k，因此，只要确定 空间的初始序列 ，就可以算出任意空间 (jJ)的所有尺度JVZkJ,CjV系数和小波系数。公式（1）和（2）称为离散小波变换的分解公式。这就是 Mallat 重构算法：六、 （10 分）基于 MATLAB，请自行选择一个一维信号，采用 DB3 小波函数，进行 3 尺度的分解与重构。要求（1）附上源程序；（2）绘出原始信号以及分解、重构的结果图。答：（1）源程序Load leleccum;S=leleccum(1:100);W=db3;Subplot(621);Plot(s);Title(原始程序)；Dwtmode;caz
11、pd,cdzpd=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(cazpd) Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot(xzpd);Title(zpd 模式重构图);Dwtmode（ sym ）;casym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx);Subplot(625);plot(xsym);Title(sym 模式重构图);Dwtmode（spd ）;Lxtzpd=2*length(caspd) Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,l
12、x);Subplot(626);plot(xspd);（2）原始信号以及分解、重构的结果图七、给出一个小波分析用于图像压缩的应用实例。 （10 分）答：图像压缩可按如下程序进行处理clcclearX= imread (5.jpg); %读入图像figure;image(X);title(原始图像 );disp(压缩前图像 X 的大小：); whos(X)c,s=wavedec2(X,3,db5);%对图像用 db5 小波进行 3 层小波分解%取第二层低频高频系数ca1=appcoef2(c,s,db5,1);%提取低频系数%提取小波分解结构中第一层低频系数和高频系数ch1=detcoef2(h
13、,c,s,1);%水平方向cv1=detcoef2(v,c,s,1);%垂直方向cd1=detcoef2(d,c,s,1);%斜线方向%分别对各频率成分进行重构a1=wrcoef2(a,c,s,db5,1);h1=wrcoef2(h,c,s,db5,1);v1=wrcoef2(v,c,s,db5,1);d1=wrcoef2(d,c,s,db5,1);c1=a1,h1;v1,d1;%显示分解后第一层各频率成分的信息figure;c1=uint8(c1);image(c1);title(分解后低频和高频信息);%下面进行图像压缩处理%保留小波分解第一层低频信息，进行图像的压缩%第一层的低频信息即为
14、 ca1，显示第一层的低频信息%首先对第一层信息进行量化编码ca1=appcoef2(c,s,db5,1);ca1=wcodemat(ca1,440,mat,0);%改变图像的高度ca1=0.25*ca1;figure;ca1=uint8(ca1*2.5);image(ca1);title(第一次压缩的图像);disp(第一次压缩图像的大小为：);whos(ca1)%保留小波分解第二层低频信息，进行图像的压缩，此时压缩比更大%第二层的低频信息即为 ca2，显示第二层的低频信息ca2=appcoef2(c,s,db5,2);%首先对第二层信息进行量化编码ca2=wcodemat(ca2,440,
15、mat,0);%改变图像的高度ca2=0.125*ca2;figure;ca2=uint8(ca2*4.5);image(ca2);title(第二次压缩后的图像);disp(第二次压缩图像的大小为：);whos(ca2)ca3=appcoef2(c,s,db5,3);%首先对第二层信息进行量化编码ca3=wcodemat(ca3,440,mat,0);%改变图像的高度ca3=0.125*ca3;figure;ca3=uint8(ca3*4.5);image(ca3);title(第三次压缩后的图像);disp(第三次压缩图像的大小为：);whos(ca3)MATLAB 显示结果压缩前图像 X 的大小：Name Size Bytes Class AttributesX 768x1024x3 2359296 uint8 第一次压缩图像的大小为：Name Size Bytes Class Attributesca1 388x516x3 600624 uint8 第二次压缩图像的大小为：Name Size Bytes Class Attributesca2 198x262x3 155628 uint8 第三次压缩图像的大小为：Name Size Bytes Class Attributesca3 103x135x3 41715 uint8
