1、高斯求积公式 引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例 引言n+1个节点的插值求积公式的代数精确度不低于 n求积公式 ,能不能在区间 a,b上适当选择 n个节点 x1,x2, xn,使插值求积公式 的代数精度高于 n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到 2n+1， 这就是所要介绍的高斯求积公式。为考虑一般性 ,设求积公式为注意此时的代数精度最高为 2n-1（一）定理：求积公式 的 代数精度最高不超 2n-1次。证明：分别取 f(x)=1, x， x2， .xn 时代入公式，并让其成为等式得A1 + A2 + + A n =ab1dx.= b-ax1 A1 + x2 A2
2、+ + xn An =abxdx.= （ b2-a 2)/2.x1 rA1 + x2 rA2+ + xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)上式共有 r 个 等式， 2n个待定系数 (变元 ),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数 ,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是 2n-1,下面 证明代数精度只能是 2n-1. 如果事先已选定 a ， b中求积节点 xk如下 ax1 x nb,上式成为 n个未知数 A1、 .An的 n元线性方程组，此时要 r=n 时方程组 有唯一解 事实上 ,取 2n次多项式 g(x)=(x-
3、x1)2(x-x2)2. (x-xn)2 代入求积公式 ,有左 = 右 = =0左 右 ,故不成立等式 ,定理得证 . 定义 : 使求积公式达到最高代数精度 2n-1的求积公式称为 Guass求积公式Guass求积公式的节点 xk称为 Guass点 ,系数 Ak称为 Guass系数 .因为 Guass求积公式也是 插值型 求积公式 ,故有结论 :插值型 求积公式的代数精度 d满足 ： n-1 d2n-1定理 : 若 f(2n)(x)在 a,b上连续，则高斯求积公式的余项为其中 (a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x- xn)。高斯求积公式的系数 Ak恒为正 ,故高斯求积公式是稳定
4、的 . Guass求积公式有多种 ,他们的 Guass点 xk, Guass系数 Ak都有表可以查询 .常用的高斯求积公式1.Gauss - Legendre 求积公式(1)其中 高斯点为 Legendre多项式的零点Ln(x)=对于一般有限区间 a,b， 用线性变换 x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为 -1,1。n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1+0.5773503 1 3 -0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.55555560 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.34785
5、48-0.3399810 0.6521452+0.3399810 0.6521452+0.8611363 0.34785485 -0.9061799 0.2369269-0.5384693 0.47862870 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 Gauss-Legendre点及系数表例题 利用高斯求积公式计算解令 x=1/2 (1+t), 则用 高斯 -Legendre求积公式计算 .取 n=5积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的2.Gauss - Chebyshev 求积公式(2)其中 高斯点为 Chebyshev 多项式 Tn(x)的零点Tn(x)=cos(narccos(x)3.Gauss - Laguerre 求积公式(3)4 .Gauss - Hermite 求积公式(4)
