1、 第 1 页 共 28 页 高中数学选修 2-2资料 第一章 导数及其应用 第一节 导数的定义 知识点一 导数的概念 定义： 函数 ()fx在 0xx 处瞬时变化率是 x xfxxfxyxx 0000 limlim，我们称它为函数 xfy在 0xx 处的导数 ,记作 或0xf 即 0xxy x xfxxfxyxfxx 00000 limlim要点诠释： 增量 x 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 0。 0x的意义： x 与 0 之间距离要多近有 多近，即 | 0|x 可以小于给定的任意小的正数。 0x时， y 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与00(
2、) ( )f x x f xyxx 无限接近。 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率。 知识 点 二 求导数的方法 求导数值的一般步骤： 求函数的增量： 00( ) ( )y f x x f x ； 求平均变化率： 00( ) ( )f x x f xyxx ； 求极限，得导数： 000 00 ( ) ( )( ) l i m l i mxx f x x f xyfx xx 。 也可称为三步法求导数。 【 例 1】 已知函数 )(xf 在 0xx 处可导，则： （ 1） )(_)()(lim0000 xfx xfxxfx ； （
3、 2） )(_2 )()2(l i m 0000 xfx xfxxfx ； 第 2 页 共 28 页 （ 3） )(_)()2(l i m0000 xfx xfxxfx ； （ 4） )(_2 )()(lim 0000 xfx xfxxfx ； （ 5） )(_ _ _ _3 )()(l i m 0000 xfx xxfxxfx 【 例 2】 求下列函数的导数： （ 1） xxxf cos)( 2 （ 2） )3()( 2 xxexf x （ 3） xexf x sin)( （ 4） xxf tan)( （ 5） )11()(223 xxxxxf （ 6）2c o s2sin)( xxxxf
4、（ 7） )32ln()( xxf （ 8） )32cos()( xxf（ 9） )sin(ln)( xxf （ 10） )32(sin)( 2 xxf【变式 1】 求下列函数导数： （ 1） y 3x2 xcosx （ 2） y 1xx（ 3） y lgx-ex （ 4） y= xe tanx. 【变式 2】 求下列函数的导数： （ 1）41y x（ 2） 5 3yx （ 3） 222log logy x x （ 4） 22 s in (1 2 c o s )24xxy 【 例 3】 求下列函数的导数： 第 3 页 共 28 页 （ 1） 12 sin c o sy x x xx （ 2）
5、42 logaxy x （ 3） 1111y xx【变式 3】 求下列函数的导数 ： （ 1） ln( ) 2 ( 0 )1 xxf x xx （ 2） y xxx xxx sincos cossin （ 3） 52 si nx x xy x. 【 例 4】 已知 xxfxf s inc o s)4()( ，则 )4(f_. 【 例 5】 （逆用求导公 式） 设 )(xf ， )(xg 是 R 上的可导函数，且 0)()()()( xgxfxgxf ，则当 ba 时，比较 )()( agaf 与 )()( bgbf 的大小 . 【变式 4】 )(xf 是定义在 ),0( 上的非负可导函数，且满
6、足 0)()( xfxfx ，对任意的正数 ba, ，若 ba ，比较 )(aaf 与 )(bbf 的大小 . 【变式 5】 )(xf 是定义在 ),0( 上的非负可导函数，且满 足 0)()( xfxfx ，对任意的正数 ba, ，若 ba ，比较 )(baf 与 )(abf 的大小 . 第 4 页 共 28 页 第二节 导数的几何意义 1导数的几何意义 函数 y f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的 _，即 k f(x0)函数 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线方程为 _ 2导数的物理意义 物体的运动方程 s s(
7、t)在 t t0处的导数，就是物体在 t0时刻的 _ 3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为： (1)求出函数 y f(x)在点 x0处的导数 f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y-y0 f(x0)(x-x0) 4求曲线的切线方程需注意两点 (1)当曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线平行于 y 轴 (垂直于 x 轴此时导数不存在 )时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为 x
8、x0； (2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 注意：若在点 (x0， f(x0)处切线 l 的倾斜角为 2，此时切线垂直于 x 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为 x x0. 5.导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0， f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值： k f(x0)； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1)，即解方程 f(x1) k； (3)已知过某点 M(x1， f(x1)(不是切点 )的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0
9、， f(x0)，利用 kf x1 f x0x1 x0 求解 【 例 1】 已知曲线 y 13x3上一点 P )38,2(，求： (1) 点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程 第 5 页 共 28 页 【变式 1】 已知：曲线 2 1 5yx x 上一点 19(2, )2P ，求：点 P 处的切线方程。 【 例 2】 求曲线 3yx 经过点 (1,1)P 的切线方程 . 【变式 2】 已知：函数 3( ) 3f x x x，经过点 (2,2) 作函数图象的切线，求：切线的方程。 【变式 3】 已知直线 l1为曲线 y x2 x-2 在点 (1,0)处的切线， l2为该曲线的另一条
10、切线，且 l1 l2. (1)求直线 l2的方程； (2)求由直线 l1、 l2和 x 轴所围成的三角形的面积 【例 3】 1.函数 f(x) lnx 2xx 的图象在点 (1， -2)处的切线方程为 ( ) A 2x-y-4 0 B 2x y 0 C x-y-3 0 D x y 1 0 2.曲线 y e-2x 1 在点 (0,2)处的切线与直线 y 0 和 y x围成的三角形的面积为 _ 【变式 4】 1.与直线 2x-y 4 0 平行的抛物线 y x2的切线方程是 ( ) A 2x-y 3 0 B 2x-y-3 0 C 2x-y 1 0 D 2x-y-1 0 2.已知函数 f(x) xln
11、x，若直线 l 过点 (0， -1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l 的方程为 ( ) A x y-1 0 B x-y-1 0 第 6 页 共 28 页 C x y 1 0 D x-y 1 0 【例 3】 已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x) 2xf(1) ln x，则 f(1) ( ) A -e B -1 C 1 D e 【变式 5】 设曲线 y ax-ln (x 1)在点 (0,0)处的切线方程为 y 2x，则 a ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【变式 6】 若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平 行于直线 2x-y 1 0，则点 P 的坐标为
12、_ 【例 4】 若对于曲线 f(x) -ex-x(e 为自然对数的底数 )的任意切线 l1，总存在曲线 g(x) ax 2cosx 的切线 l2，使得 l1 l2，则实数 a 的取值范围为 _ 【例 5】 已知函数 f(x) ax3 3x2-6ax-11， g(x) 3x2 6x 12 和直线 m： y kx 9，且 f(-1) 0. (1)求 a 的值； (2)是否存在实数 k，使直线 m 既是曲线 y f(x)的切线，又是曲线 y g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说 明理由 【变式 7】 已知 aR，函数 f(x)=x33x2+3ax3a+3， 求曲线 y=f(x)
13、在点 (1， f(1)处的切线方程 . 【变式 8】 已知函数 2( ) 1 0f x ax a ， 3()g x x bx.若曲线 ()y f x 与曲线 ()y g x 在它们的交点 1,c 处具有公共切线，求 a ， b 的值 . 第 7 页 共 28 页 第三节 导数的应用 利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数 ()y f x 在区间（ a， b）内可导， （ 1）如果恒有 ( ) 0fx ，则函数 ()fx在（ a， b）内为增函数； （ 2）如果恒有 ( ) 0fx ，则函数 ()fx在（ a， b）内为减函数； （ 3）如果恒有 ( ) 0fx ，则
14、函数 ()fx在（ a， b）内为常数函数。 要点诠释： （ 1）若函数 ()fx在区间（ a， b）内单调递增，则 ( ) 0fx ，若函数 ()fx在（ a， b）内单调递减， 则 ( ) 0fx 。 （ 2） ( ) 0fx 或 ( ) 0fx 恒成立，求参数值的范围的方法 分离参数法： ()a g x 或 ()a g x 。 题型一 求函数的单调区间 【例 1】 思维辨析 (1)若函数 f(x)在 (a， b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x) 0，则 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) (3)f(x)在 (a， b)上单调
15、递增与 (a， b)是 f(x)的单调递增区间是相同的说法 ( ) 【例 2】 确定函数 32( ) 2 6 7 f x x x的单调区间 . 第 8 页 共 28 页 【例 3】 ( ) s i n (1 c o s ) (0 2 )f x x x x 【变式 1】 求下列函数的单调区间： （ 1） 32( ) 2f x x x x （ 2） 2( ) 3 2 ln ( 0 )f x x x x 【例 4】 已知函数 1ln)1()( 2 axxaxf ，求函数 ()fx的单调区间并说明其单调性。 【变式 2】 求函数 3y x ax（ a R）的单调区间。 第 9 页 共 28 页 【变式
16、 3】 () xxf x a a（ a 0 且 a1）。 题型二 函数单调性的证明 【例 5】 当 0x 时，求证：函 数 21( ) ln2f x x x x 是单调递减函数 . 【变式 4】 当 0x 时，求证：函数 21( ) ln (1 )2f x x x x 是单调递减函数 . 题型三 含参的 函数单调性的讨论（高考重要考点） 【例 6】2ln)( 2xxaxxaxf ，求函数的单调性 . 第 10 页 共 28 页 【变式 5】 求函数 )(11ln)( Rax aaxxxf 的单调性 . 【变式 6】 （ 2015西宁校级模拟） 已知函数 )0(221ln)( 2 axaxxxf， 若函数 f（ x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围 . 【例 7】 （ 2015宿州三模）已知 xxxf ln)( ， 2)( 23 xaxxxg g（ x） =x3+ax2-x+2如果函数 g（ x）的单调递减区间为 (31， 1)，求函数 g（ x）的解析式 .
