1、 简谐振动中的能量分析法 物理二班 刘少承 PB04203210 简谐振动是最简单的振动形式，我们可以用简明而完备的公式表示它的运动。如图，物体系在弹性系数为 k 的弹簧一端；弹簧的另一段及在固定的物体上，选取 x 轴，以平衡位置 o 为原点，则振子的运动方程为mx(2)=-kx 令 2=k/m 则解为 x=Acos ( t+ ) 。 。 。 。 。 （1）其中 A, 为待定常数，可由初始条件确定。这种运动就是简谐振动。(1) 式为简谐振动的方程，则 t 时刻振子的状态量为x=Acos( t+ ) v=dx/dt=-A sin( t+ ) 则 动能 Ek=mv2/2=m(A sin( t+ )
2、2/2=k(Asin( t+ )2/2t 弹性势能 Ep=kx2/2=k(A cos( t+ )2/2= k(Asin( t+ )2/2总能量为 E=Ek+Ep=kA2/2所以，简谐振动中系统能量是守恒量。分析简谐振动中物体的运动状态是，能量守恒常常是一种有效的方法。例 1：质量为 m，半径为 r 的均匀实心球体，可以在以半径为 R 的球形碗底部作纯滚动，求圆球在平衡位置附近微小振动的周期。分析：首先分析的是小球在碗底做运动的性质和受力情况。小球受到如图的重力 mg,碗底对球的弹力 N，摩擦力 f，f 的作用使角速度减小，mg 在切向的分量逐渐增大，回复力增大， 使小球最后达到最高点时质心速度
3、为零，同时角速度为零。解 1：此题可用动力学方程来解。设小球离开平衡位置的距离为 x, 则 x=(R-r) (2)小球作纯滚动：f=I (3)a=r （4）I=2mr2/5 (5) 例 1 图：小球受到的外力为 f-mgsin =ma (6)由 很小 sin (7)由 （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7） ，得ma= -5mgx/7(R-r)= -kx k=5mg/7(R-r) T=2 =2k/mg/)rR(解 2：小球在运动中能量守恒，此题可用能量法来解。由于小球作纯滚动，摩擦力不做功，故机械能守恒。E=mv2/2+I 2/2+mg(R-r)(1-cos mg(
4、R-r)(1-cos )=常量小球的质心速度 vc 和转动角速度 分别为vc=(R-r) =(R-r)/r) 代入 E 的表达式得 E=m(R-r) )2+mr2( (R-r)/r)2+ mg(R-r)(1-cos ) =常量很小，cos 1- 2 /2 E=7(R-r)2 (2)/5+g(R-r) 2 =常量 （其中的代表二阶导数）对 t 求导，得 7(R-r)2 (2)/5+g(R-r) =0即 (2)+5g /7(R-r) =0T=2 / =2 / 5g/)rR(7小结:用能量法也可方便的接出简谐振动的全过程。例 2：在横截面为 s 的 U 形管中有适量液体，总长度为 L,质量为 m，密
5、度为 d,求液面上下起伏的振动频率？分析：此题的液体是分散的，可用能量法来解决。如图，选两液面相平处的平衡位置为坐标原点，令平衡位置处的液体势能为零。在 t 时刻，左边液面为一升高为 y，此时右边液面为一降低为 y，液体的势能可以看成是把右边的液体提升到左边增加的势能。这段液体的质量为 yds,提升为 y,所以液体的势能为dy2sg,因液体的体积不变，液体的动能为Ek =my(2)/2 由于液体振动过程无能量损失，有 my（2） /2+dy2sg=常量上是对 t 求导，得y（2） +2dsgy/m=0 dtttdtdt液体作简谐振动= ，m/2dsgT =2 / =2 2dsg/m=dLs T=2 /Lf=1/T= /2 2g结论：使用能量法从整体上分析物理过程的变化，从而省去与结论不相关的繁琐过程量，简化解题过程，往往能大大化简解题过程。 dt
