1、1 静止氖原子的 42 23 PS 谱线中心波长为 632.8 纳米，设氖原子分别以 0.1C、 O.4C、 O.8C的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？ 解答： 根据公式（激光原理 P136） cc110 由以上两个式子联立可得： 0 CC代入不同速度，分别得到表观中心波长为： nmC 4.5721.0 ， nmC 26.4144.0 ， nmC 9.2109.0 解答完毕 （验证过） 2 设有一台麦克尔逊干涉仪，其光源波长为 ，试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离 L 时，接收屏上的干涉光强周期性的变化 L2 次。 证明： 对于迈氏干涉仪的两个臂对应两个光路，其中一个光
2、路上的镜是不变的，因此在这个光路中不存在多普勒效应，另一个光路的镜是以速度 移动，存在多普勒效应。在经 过两个光路返回到半透镜后，这两路光分别保持本来频率和多普勒效应后的频率被观察者观察到（从半透境到观察者两个频率都不变），观察者感受的是光强的变化，光强和振幅有关。以上是分析内容，具体解答如下： 无多普勒效应的 光 场： tEE 2c o s0 产生多普勒效应光场： tEE 0 2c o s 在产生多普勒效应的光路中，光从半透经到 动 镜产生一次多普勒效应，从动镜回到半透 镜又产生一次多普勒效应（是在第一次多普勒效应的基础上） 第一次多普勒效应： c 1第二次多普勒效应： ccc 21112
3、在观察者处： tctctEtctEEEE2c o s22c o s2212c o s2c o s0021观察者感受到的光强： tcII 22cos120显然，光强是以频率 c2 为频率周期变化的。 因此，在移动的范围内，光强变化的次数为： Lc LLctc 2222 证明完毕。 （验证过） 3 在激光出现以前， Kr86低气压放电灯是最好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估计在 77K 温 度下它的 605.7 纳米谱线的相干长度是多少？并与一个单色性 / =10-8的 He-Ne激光器比较。 解：根据相干长度的定义可知， cLc。其中分母中的是谱线加宽项。从气体物质的加宽类型看，因为
4、忽略自然和碰撞加宽，所以加宽因素只剩下多普勒加宽的影响。 根据 P138 页的公式 4.3.26 可知，多普勒加宽： 2107 )(1016.7 MTD 因此，相干长度为： cmMTccLDc 4.89)(1016.72107 根据题中给出的氦氖激光器单色性及氦氖激光器的波长 632.8 纳米，可根据下述公式得到氦氖激光器的相干长度： cmccL c 6 3 2 810108.6 3 2 892 可见，即使以前最好的单色光源，与现在的激光光源相比，相干长度相差 2 个数量级。说明激光的相干性很好。 （验证过） 4 估算 CO2 气体在 300K 下的多普勒线宽 D，若碰撞线宽系数 =49MHZ
5、/Pa，讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。 解： 根据 P138 页的公式 4.3.26 可知，多普勒加宽： ZD MHMT 53)(1016.7 2107 因为均匀加宽过渡到非均匀加宽，就是 LD 的过程，据此得到： PLD ， 得出 PaP D 31008.1 结论： 气压 P 为 1.08 103Pa 时 ,是 非均匀加宽 与 均匀加宽 的过渡阈值， .当气压 远 远大于 1.08 103Pa 的情况下 ,加宽主要表现为 均匀加宽 。 （验证过） 5 氦氖激光器有下列三种跃迁，即 3S2-2P4 的 632.8 纳米 ， 2S2-2P4 的 1.1523 微米和 3S2-3
6、P4的 3.39 微米的跃迁。求 400K 时他们的多普勒线宽，并对结果进行分析。 解：根据 P138 页的公式 4.3.26，可分别求出不同跃迁的谱线加宽情况。 3S2-2P4 的 632.8 纳米的 多普勒加宽： G H zMTcMTD 5.1)(1016.7)(1016.7 21072107 2S2-2P4 的 1.1523 微米的多普勒加宽： G H zMTcMTD 83.0)(1016.7)(1016.7 21072107 3S2-3P4 的 3.39 微米的多普勒加宽： G H zMTcMTD 28.0)(1016.7)(1016.7 21072107 由以上各个跃迁的多普勒线宽可
7、见，按照结题结果顺序，线宽是顺次减少，由于题中线宽是用频率进行描述，因此频率线宽越大，则单色性越好。 （验证过） 6 考虑二能级工作系统，若 E2 能级的自发 辐射寿命为 S，无辐射跃迁寿命为 nr。假设 t=0时激光上能级 E2的粒子数密度为 n2(0)，工作物质的体积为 V，发射频率为，求： （ 1）自发辐射功率随时间的变化规律。（ 2） E2 能级的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数。（ 3）自发辐射光子数与初始时刻 E2能级上的粒子数之比 2。 解： （ 1）根据 P11 相关内容，考虑到 E2 的能级寿命不仅仅是自发辐射寿命，还包括无辐射跃迁寿命，因此， E2 能级的粒子数变化规
8、律修正为： tentn )0()( 22 ，其中的 与 S、 nr的关系为nrS 111 ，为 E2 能级的寿命。 在时刻 t， E2 能级由于自发和无辐射跃迁而到达下能级的总粒子数为： Vtn )(2 由于自发辐射跃迁而跃迁到激光下能级的粒子数为 212 )( VAtn ，因此由于自发辐射而发射的功率 随时间的变化规律 可以写成如下形式： tS ehVnhVAtntP 1)0()()(221221（ 2）由上式可知，在 t-t+dt 时间内， E2 能级自发辐射的光子数为： dteVndtVAtndth tPdn tS 1)0()()( 22122121 则在 0- 的时间内， E2 能级自
9、发辐射的光子总数为： VndteVndtVAtndth tPdnn StS )0(1)0()()( 2020 2120 212121 （ 3） 自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比为 : SVnn )0(2212 此题有待确认 7 根据激光原理 4.4 节所列红宝石的跃迁几率数据，估算抽 运 几率 13W 等于多少时红宝石对波长 694.3 纳米 的光 透 是 明的（对红宝石，激光上、下能级的统计权重为 421 ff ，且计算中可不考虑光的各种损耗） 解答： 已知红宝石的 1732 105.0 SS ， 1531 103 SA ， 1321 103.0 SA ， 021S ，031S 分
10、析如下：增益介质对某一频率的光透明，说明介质对外界光场的吸收和增益相等，或者吸收极其微弱，以至于对进入的光场强度不会产生损耗。对于本题中的红宝石激光器，透明的含义应该属于前者。 根据公式： 2112221112321323212122121212323131313BBfBfBnnnnSnSAnWnWndtdnSAnWndtdn（激光 原理 P146-4.4.22） 由上边的第二项和第四项，可以得到： 323212122121323212122121212SnSAnnnBSnSAnWnWndtdn-1 又因为 小信号下（粒子数翻转刚刚达到阈值） 2132 AS ，因此 03n ， 且 03 dt
11、dn 由此，方程组的第一个式子可以转变为：32311313 SA Wnn ，代入 1 式，得到： 3231 321312121221213232121221212 SA SWnSAnnnBSnSAnnnBdtdn 既然对入射光场是透明的，所以上式中激光能级发射和吸收相抵，即激光上能级的粒子数密度变化应该与光场无关，并且小信号时激光上能级的粒子数密度变化率为零，得到 21212132313213121212323132131212122121200nnnnBSASWnSAnSASWnSAnnnBdtdn 最后得到： 1232312113 1018.31 SSAAW 解答完毕。 （验证过） 8 略
12、 9 略 10 略 11 短波长（真空紫外、软 X 射线）谱线的主要加宽是自然加宽。试证明峰值吸收截面为 220 。 证明：根据 P144 页吸收截面公式 4.4.14 可知，在两个能级的统计权重 f1=f2 的条件下，在自然加宽的情况下， 中心频率 0 处吸收截面可表示为： NvA 14 20222112- -1 上式sN 21 （ P133 页公式 4.3.9） 又因为sA 121 ，把 A21和 N的表达式代入 1 式，得到： 22021 证毕。 （验证过） 12 已知红宝石的密度为 3.98g/cm3，其中 Cr2O3 所占比例为 0.05%（质量比），在波长为694.3nm 附近的峰
13、值吸收系数为 0.4cm-1，试求其峰值吸收截面（ T=300K）。 解： 分析：红宝石激光器的 Cr3+是工作物质，因此，所求峰值吸收截面就是求 Cr3+的吸收截面。 根据题中所给资料可知： Cr2O3 的质量密度为 3.98g/cm3 0.05%=1.99 10-3g/cm3,摩尔质量为 52 2+16 3=152g/mol 设 Cr3+的粒子数密度为 n，则 n=2 （ 1.99 10-3 /152） 6.02 1023=1.576 1019/cm3 根据 n 12 可知， n12根据 n n1+n2， n=n1-n2,且 KThenn12 ，其中 693 0 01038.1 103.6
14、 9 41031062.6239834 KTh ，可知 E2 能级粒子数密度接近于零， 可求出 n=n1=1.756 1019/cm3 ，代入到 n12，可求出： 220319 112 1055.2/105 7 6.1 /4.0 cmcmcmn 解答完毕。 13 略 14 在均匀加宽工作物质中，频率为 1、强度为 I 1 的强光增益系数为 gH( 1,I 1), gH( 1,I1)- 1 关系曲线称为大信号增益曲线，试求大信号增益曲线的宽度 H。 解： 大信号增益系数表达式为 P153-4.5.17： 1)2()()2()(),(11 22012001SHHHHIIgIg 根据谱线宽度的定义：
15、增益下降到增益最大值的一半时，所对应的频率宽度，叫做大信号增益线宽。 根据大信号增益曲线表达式可知，其中心频率处具有最大增益，即 1= 0 时。在此条件下，增益最大值为： 11)(),(11 000m a xSHHIIgIg 根据 ),(21),(11 0m ax1 IgIg HH ，可求出当SH II 11201 时满足增益线宽条件，因此，线宽位： SH II 11201 解答完毕。 15 有频率为 1、 2 的两强光入射，试求在均匀加宽情况下： (1) 频率为 的弱光的增益系数。 (2) 频率为 1 的强光增益系数表达式。 (设频率为 1 和 2 的光在介质里的平均光强为 I 1、 I 2
16、) 解：在腔内多模振荡条件下， P151-4.5.7 应修正为： i iSSS IInIIIInni )(1)()(1021021 根据 P150-4.5.5 可知，增益系数与反转粒子数成正比，即： 021 ,ng 把修正后的反转粒子数表达式代入上式，得到： i iSIInngi )(1, 0021021因此，所求第一问“频率为 的弱光的增益系数”为： )()(1)(),(),(2100212121SSHHIIIIgnIIg 第二问“频率为 1 的强光增益系数表达式”为： )()(1)(),(),(2110012112121SSHHIIIIgnIIg 解答完毕。 17 激光上下能级的粒子数密度
17、速率方程表达式为 P147-4.4.28 所示。 (1) 试证明 在稳态情况下，在具有洛伦兹线型的均匀加宽介质中，反转粒子数表达式具有如下形式： lNnn 012121 0 ,1 ，其中 11 2112ff ， 212 ， n0 是小信号反转粒子数密度。 (2) 写出中心频率处饱和光强 Is 的表达式。 (3) 证明 121 时， n 和 Is 可由 P152-4.5.13 及 P151-4.5.11 表示。 解： 1 稳态工作时 ,由激光上、下能级的粒子数密度速率方程 (4.4.28)可得 : lvNnffnnRdtdn ),()(0 012111222222 - 1 lvNnffnnnRd
18、tdn ),()(0 012111222121111 -2 1122 nffnn -3 其中 01R ， 20302 WnR 由 (3)式和 (2)式可得 : 221112012111221201211121122),(1),(nffvNffnnvNnffnnffnnll整理得 : nffvNffnl21112012111221),(1将 (4)代入 (1)式 : llvNnnffvNffR ),(1),(10121221112012111222 整理得 ： llllvNnvNffffvNffWnffvNffvNRn),(1)1(),(1)1(1),(1),(01212102111221112
19、012122111220302111201211120121222其中 112112ff ，212 ， n0 是小信号反转粒子数密度。 (2) )(1)1(),()1)(,(1)1(),()1)(,(1)1(),()1)(,(1)1(121112203001211122111201212021112203000121112211120121221112203001211122111201212211122030111SIIffWnffffhIffWnhIffffffWnvNffffffWnn当 1= 0 时，)()1()(2121121122120211122111221200 ff hfff
20、f hI S(3) 高功率的激光系统中 212 当 121 时， n 和 Is 可由 P152-4.5.13 及 P151-4.5.11 表示 22 设有两束频率分别为 0 和 0 ，光强为 1I 和 2I 的 强光 沿相同方向或者相反方向通过中心频率为 0 的非均匀加宽增益介质， 21 II 。试分别划出两种情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。 分析 : 非均匀加宽的特点是增益曲线按频率分布，当有外界入射光以一定速度入射时，增益曲线对入射光频率敏感，且产生饱和效应的地方恰好是外界光场频率对应处，而其他地方则不会产生增益饱和现象。当然，产生增益饱和的频率两边一定频谱范围内也会产生饱和现象，但是与外界光场对应的频率出饱和现象最大最明显。 设外界光场以速度 z 入射，作为增益介质，感受到的表观频率为：
