1、第 11 章 结构的稳定计算习题解答习题 11.1 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。 （ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。 （ ）（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。 （ ）（4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。 （ ）（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。 （ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。 （ ）【解】 （1）错误。能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。（2）错误
2、。既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。（3）错误。在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。（4）正确。一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。（5）正确。（6）错误。习题 12.2 填空题（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。（2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线 y(x)必须满足 条件，并尽量满足 条件。（4）利用对称性，求习题 11.2（4）图所示结构的临界荷载 FP
3、cr 。APllEII习题 11.2（4）图（5）习题 11.2（5）图（a）所示结构可简化为习题 11.2（5）图（b）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数 k 。 BkPClI=0I1l3(a) (b)习题 11.2（5）图（6）习题 11.2（6）图（a）所示结构可简化为习题 11.2（6）图（b）计算，则抗移动弹簧刚度系数 k1 ，抗转动弹簧刚度系数 k2 。lEIlBAPFFPAB2k1=0(a) (b)习题 11.2（6）图【解】 （1）二重性。（2）大。（3）位移边界；力的边界。（4） 。该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确2lEI定。（5） 。lI（6
4、） ； 。3El习题 11.3 用静力法计算习题 11.3 图所示体系的临界荷载。FPll2PllPklk=0EII0=EI0k(a) (b) (c)习题 11.3 图【解】 （1）给出失稳形式，如习题解 11.3（a）图所示。由 得0AMP(3)Fkly cr1FPkPPF(a)(b)(c)yyFPFPRA /l y/lkyAky213习题解 11.3 图（2） 给出失稳形式，如习题解 11.3（b）图所示。由 得0AMP()klFy cr12l（3）给出失稳形式，如习题解 11.3（c）图所示。先求得支反力： PR14Fkyl由 得0AMP56klFy crl习题 11.4 用静力法计算习
5、题 11.4 图所示体系的临界荷载。k 为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩） 。 lPFEI0=习题 11.4 图【解】给出失稳形式，如习题解 11.4 图所示。分析 AC，由 得0CMP2ykFlP20kFyl crlkFPABCyR=0习题解 11.4 图习题 11.5 用静力法计算习题 11.5 图所示体系的临界荷载。FPEIA=lPEIhl0I0(a) (b)习题 11.5 图【解】 （1）原体系可简化为习题解 11.5（a）图所示。弹性支承刚度系数为 B=0EIAh0=IFP(a)(b)PFkk习题解 11.5 图 3362lEIlIk可求得Pcr21IFl（2）原
6、体系可简化为习题解 11.3（b）图所示。弹性支承刚度系数为 4EIkl可求得PcrIFhl习题 11.6 用能量法重做习题 11.3（c） 。【解】 变形能 21125237Ukykyky荷载势能 ，其中PF2223()()1llyl总势能 PPEU由 及 得d0yP25071kFl Pcr6Fl习题 11.7 用静力法求习题 11.7 图所示各结构的稳定方程。l/2EI0=EIlPk=4/l(刚)(1) (2)EIllPFBAlIlP=0E(3) (4)lEIAlFPBlCD(5)习题 11.7 图【解】 （1）失稳曲线如习题解 11.7（1）图所示。微分方程为P()2EIyMFyx或 2
7、其中 PI该微分方程的通解为xBxAy21sinco代入边界条件： 0, ; , 0; , xlyly所得齐次方程中，由 不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得BtanlPFyxFP21习题解 11.7（1）图（2）失稳曲线如习题解 11.7（2）图所示。微分方程为 P()EIyMyk或 22P, FIEI通解为 。PcosinkyAxBF代入边界条件： 0, ; 0, ; , 0yxyxly由 不全为零的条件，整理后得,B1tan4lFPkyx0习题解 11.7（2）图（3）原结构可等效为习题解 11.7（3） （a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解 11.7（3） （b）图
8、所示。微分方程为 FAEIBPFAEIBP(a)(b)12Ilk=yyxk习题解 11.7（3）图 PEIyMFykx或 22P, kxIEI通解为 PcosinkyABxF由边界条件 0, ; , ; , 0xxlyly得稳定方程为 33()1tan()2llEIllk（4）原结构可等效为习题解 11.7（4） （a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解 11.7（4） （b）图所示。微分方程为PF刚abFP4EIlk=AByxk习题解 11.7（4）图 PIyMFy220, EI该方程的通解为 xBAysinco由边界条件 , ; , xlly得稳定方程为 4tanl（5）原结构可等
9、效为习题解 11.7（5） （a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构 ACD 求出。 刚aFPAEI3l4k= 11MCD(b) B习题解 11.7（5）图分析 ACD，如习题解 11.7（5） （b）图所示。在 A 点加单位力偶并作 图，图乘得柔M度系数为EIl34则弹性支承的刚度系数为lk1该题的稳定方程为43tanEIl习题 11.8 用能量法计算习题 11.8 图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数，设失稳曲线为 。3lEIk(1cos)2xylylxPFk习题 11.8 图【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下，sin2xyl2cos4xyll42
10、223301()d6l EIIUkIll22PPP01()1l FFyxl由 及 得Pd()0Pcr24.9EIl习题 11.9 求习题 11.9 图所示结构的临界荷载。已知各杆长为 ，EI常数。lFP习题 11.9 图【解】 （1）对称失稳2PcrEIFl对 称（2）反对称失稳 PF(a)(b)M(c) 刚EIEI,lIlkA12I 2E习题解 11.9 图取半结构分析，如习题解 11.9（a）图所示，可等效为习题解 11.9（b）图进行分析。其中，弹性支承的刚度系数 ，可先由习题解 11.9（c）图所示弯矩图自乘求得柔度系数k后，取倒数而得，为 322113lllEIIEI故3lk在习题解 11.9（b）图中，由 得0AMP()Fkl由此，反对称失稳时的临界荷载为 Pcr2=EIl反 对 称经比较，原结构的临界荷载为 Pcrr2IFl反 对 称习题 11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题 11.10 图所示结构的稳定方程。PAEII2ll习题 11.10 图【解】 （1）对称失稳(b)FPEI，lFPEIlI，l(d)EIlFP(a) (c)k=3k=习题解 11.10 图对称失稳时，可取半结构如习题解 11.10（a）图所示。将其等效为习题解 11.10（b）图分析，求得稳定方程为
