1、经济数学基础作业 4（一）填空题1.函数 的定义域为 )1ln(4)(xxf _解：要使 有意义，则要求 ，)(f04x解不等式组得： ，21x因此，定义域为 。4,(),2. 函数 的驻点是 ，极值点是 ，它是极 值点.21(3xy_解： =) )1(6x令 得：0yx因此，所求驻点是 ，1极值点是 ，它是极小值点。x3.设某商品的需求函数为 ，则需求弹性 . 2e10)(pqpE解：有弹性公式 = 。)2ppE 2)1(02pe4.若线性方程组 有非零解，则 = 021x解：系数矩阵 1A当方程有非零解，则 （未知量个数） ，2)(r则 。16 求初等函数的定义域，一般要满足：（1） 分式
2、中分母的表达式不为零；（2） 根式中偶次根号下的表达式大于或等于零；（3） 对数中真数的表达式大于零。1 使 的点称为函数 的驻点。0)(xf )(xf2 设 ，且 0f（1） 若 ，则 为极小值点；)(0x（2） 若 ，则 为极大值点。f0齐次方程组 有非零解的0AX充分必要条件为： ， （ 为nr)(方程组中未知量的个数） 。5. 设线性方程组 ，且 ，则 时，方程组有bAX010236t_t唯一解.解：要使线性方程组 有唯一解，则要求 （方程未知量个数） ，nAr)(因此，当 时， ，方程组有唯一解。1t 3)(Ar（二）单项选择题1. 下列函数在指定区间 上单调增加的是（ ） (,)A
3、sinx Be x Cx 2 D3 x解：函数 sinx ， e x ， x 2 均为基本初等函数，由它们的性质知：函数 e x 在区间 上是单调增加。(,)该题正确答案为：B2. 设 ，则 （ ）xf1)()(xfA B C D2x2x解：因为 ，则 ，xf1)(fxfx1)(该题正确答案为：C3. 下列积分计算正确的是（ ） A B 10d2exx 10d2exxC Dsin1- )(31-解：注意到：定积分 ，adxf)(（1）当 为奇函数时，则 ；)(xf 0)(af（2）当 为偶函数时，则 。)(f aadxfxf0)(2)(答案 A 中设 ， = ，2)(xef2)()(xxeef
4、 )(f因此， ，10d2exx该题正确答案为：A4. 设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ ） bXnmA B C D r)(nAr)(nmnAr)(解：该题正确答案为：D5. 设线性方程组 ，则方程组有解的充分必要条件是（ ） 32131axA B 0321a0321C D解： 1323210aa 21301方程组有解的充分必要条件是： ，)(Ar即 ，即 ，213a0321a该题正确答案为：C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1) yxe解：原方程变形为： dxey方程两边积分得： 即为方程通解 . cexy（2） 23d解：原方程变形为： dxey2方程两边积分得： c
5、exdexdy3即为方程通解 . cex2. 求解下列一阶线性微分方程：（1） 32yx解：由一阶线性微分方程通解公式： )()()( cdxeqeypdxp得原方程通解： ()2(3)2ceyxdx= ln3ln2x= )1(2cd= 2x（2） xysin解：由一阶线性微分方程通解公式： )()()( cdxeqeypdxp得原方程通解： 2sin()1()1eyxdx= llnce= )si2(xd= co3.求解下列微分方程的初值问题：(1) ,yx2e0)(解：原方程变形为： dxey2方程两边积分得： 即为方程通解 cexy21将 代人通解得： 则0)( ce02121因此，原方程
6、特解为： xy(2) ,exy0)1(解：原方程变形为： xey由一阶线性微分方程通解公式： )()()( cdxeqpdxp得方程通解： )(11cexydd= )(lnln= )(1)(1cexdxe将 代人通解得： ，则0)(y0原方程特解为： )(1exy4.求解下列线性方程组的一般解：（1） 03522412xx解： 012121A所以，方程的一般解为（其中 是自由未知量）4321x21,x（2） 514724321xx解： 5147122A 00337502412 0053714605371242一般解： （其中 是自由未知量）537464321xx21,x5.当 为何值时，线性方
7、程组4321432110957xx有解，并求一般解。解： 14826039132510957323 A 80041005当 时， ，方程有无穷多解 .842)(Ar方程的一般解为： （其中 是自由未知量）3915432xx21,x5 为何值时，方程组ba,bax321解： 1402121baA 30121ba当 且 时，方程组无解；3当 时，方程组有唯一解；当 且 时，方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,q qqC625.01)(求：当 时的总成本、平均成本和边际成本；0当产量 为多少时，平均成本最小？解： （万元） ；1850612
8、5.)1( C（万元/单位） ；80102).() q= （万元/单位） .)65.10q平均成本： ，625.(C.01).01() 2 qq令 得唯一驻点C02)0(3q因此，当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。（2）.某厂生产某种产品 件时的总成本函数为 （元） ，单位销售201.42)(qqC价格为 （元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少qp01.4解：收入函数 201.4)01.4()(pR利润函数 =CL ).(. 22qq2.10qq4)( 求经济最值问题的解题步骤： （1）列出目标函数（就是所求实际问题达到最值的经济函数，比如利润函数或平均成本函
9、数等） ；（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于 0，求出驻点； （3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点； （4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。令 得唯一驻点0)(qL250q4.25因此，当产量为 250 个单位时可使利润达到最大，且最大利润为：（元） 。1230)10.()0502qqL（3）投产某产品的固定成本为 36(万元) ，且边际成本为 (万元/百台)试402)(xC求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为464)02()(dxdxC（万
10、元） 1062总成本函数 00)()(Cdqx36436)42(20 xx平均成本： 0,)xC2361(x令 得唯一驻点0)76(63xC因此，当产量为 6 百台时，平均成本达到最低.（4）已知某产品的边际成本 =2（元/件） ，固定成本为 0，边际收益)(xC，求：xxR02.1)(产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？解：边际利润 )()(xCRxL x02.102.1令 得唯一驻点 ，0)( 502.)50(L因此，当产量为 500 件时，利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润增量 5050 )2.1()(dxdxL.1502即利润将减少 25 元.
