1、经济数学基础作业 4(一)填空题1.函数 的定义域为 )1ln(4)(xxf _解:要使 有意义,则要求 ,)(f04x解不等式组得: ,21x因此,定义域为 。4,(),2. 函数 的驻点是 ,极值点是 ,它是极 值点.21(3xy_解: =) )1(6x令 得:0yx因此,所求驻点是 ,1极值点是 ,它是极小值点。x3.设某商品的需求函数为 ,则需求弹性 . 2e10)(pqpE解:有弹性公式 = 。)2ppE 2)1(02pe4.若线性方程组 有非零解,则 = 021x解:系数矩阵 1A当方程有非零解,则 (未知量个数) ,2)(r则 。16 求初等函数的定义域,一般要满足:(1) 分式
2、中分母的表达式不为零;(2) 根式中偶次根号下的表达式大于或等于零;(3) 对数中真数的表达式大于零。1 使 的点称为函数 的驻点。0)(xf )(xf2 设 ,且 0f(1) 若 ,则 为极小值点;)(0x(2) 若 ,则 为极大值点。f0齐次方程组 有非零解的0AX充分必要条件为: , ( 为nr)(方程组中未知量的个数) 。5. 设线性方程组 ,且 ,则 时,方程组有bAX010236t_t唯一解.解:要使线性方程组 有唯一解,则要求 (方程未知量个数) ,nAr)(因此,当 时, ,方程组有唯一解。1t 3)(Ar(二)单项选择题1. 下列函数在指定区间 上单调增加的是( ) (,)A
3、sinx Be x Cx 2 D3 x解:函数 sinx , e x , x 2 均为基本初等函数,由它们的性质知:函数 e x 在区间 上是单调增加。(,)该题正确答案为:B2. 设 ,则 ( )xf1)()(xfA B C D2x2x解:因为 ,则 ,xf1)(fxfx1)(该题正确答案为:C3. 下列积分计算正确的是( ) A B 10d2exx 10d2exxC Dsin1- )(31-解:注意到:定积分 ,adxf)((1)当 为奇函数时,则 ;)(xf 0)(af(2)当 为偶函数时,则 。)(f aadxfxf0)(2)(答案 A 中设 , = ,2)(xef2)()(xxeef
4、 )(f因此, ,10d2exx该题正确答案为:A4. 设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是( ) bXnmA B C D r)(nAr)(nmnAr)(解:该题正确答案为:D5. 设线性方程组 ,则方程组有解的充分必要条件是( ) 32131axA B 0321a0321C D解: 1323210aa 21301方程组有解的充分必要条件是: ,)(Ar即 ,即 ,213a0321a该题正确答案为:C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程:(1) yxe解:原方程变形为: dxey方程两边积分得: 即为方程通解 . cexy(2) 23d解:原方程变形为: dxey2方程两边积分得: c
5、exdexdy3即为方程通解 . cex2. 求解下列一阶线性微分方程:(1) 32yx解:由一阶线性微分方程通解公式: )()()( cdxeqeypdxp得原方程通解: ()2(3)2ceyxdx= ln3ln2x= )1(2cd= 2x(2) xysin解:由一阶线性微分方程通解公式: )()()( cdxeqeypdxp得原方程通解: 2sin()1()1eyxdx= llnce= )si2(xd= co3.求解下列微分方程的初值问题:(1) ,yx2e0)(解:原方程变形为: dxey2方程两边积分得: 即为方程通解 cexy21将 代人通解得: 则0)( ce02121因此,原方程
6、特解为: xy(2) ,exy0)1(解:原方程变形为: xey由一阶线性微分方程通解公式: )()()( cdxeqpdxp得方程通解: )(11cexydd= )(lnln= )(1)(1cexdxe将 代人通解得: ,则0)(y0原方程特解为: )(1exy4.求解下列线性方程组的一般解:(1) 03522412xx解: 012121A所以,方程的一般解为(其中 是自由未知量)4321x21,x(2) 514724321xx解: 5147122A 00337502412 0053714605371242一般解: (其中 是自由未知量)537464321xx21,x5.当 为何值时,线性方
7、程组4321432110957xx有解,并求一般解。解: 14826039132510957323 A 80041005当 时, ,方程有无穷多解 .842)(Ar方程的一般解为: (其中 是自由未知量)3915432xx21,x5 为何值时,方程组ba,bax321解: 1402121baA 30121ba当 且 时,方程组无解;3当 时,方程组有唯一解;当 且 时,方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品 个单位时的成本函数为: (万元),q qqC625.01)(求:当 时的总成本、平均成本和边际成本;0当产量 为多少时,平均成本最小?解: (万元) ;1850612
8、5.)1( C(万元/单位) ;80102).() q= (万元/单位) .)65.10q平均成本: ,625.(C.01).01() 2 qq令 得唯一驻点C02)0(3q因此,当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。(2).某厂生产某种产品 件时的总成本函数为 (元) ,单位销售201.42)(qqC价格为 (元/件) ,问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少qp01.4解:收入函数 201.4)01.4()(pR利润函数 =CL ).(. 22qq2.10qq4)( 求经济最值问题的解题步骤: (1)列出目标函数(就是所求实际问题达到最值的经济函数,比如利润函数或平均成本函
9、数等) ;(2)对目标函数求导,令目标函数的导数等于 0,求出驻点; (3)若驻点唯一,再判定该驻点为极值点; (4)在驻点唯一的情况下,极大(小)值点即为最大(小)值点,得出结论,回答问题。令 得唯一驻点0)(qL250q4.25因此,当产量为 250 个单位时可使利润达到最大,且最大利润为:(元) 。1230)10.()0502qqL(3)投产某产品的固定成本为 36(万元) ,且边际成本为 (万元/百台)试402)(xC求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解:当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为464)02()(dxdxC(万
10、元) 1062总成本函数 00)()(Cdqx36436)42(20 xx平均成本: 0,)xC2361(x令 得唯一驻点0)76(63xC因此,当产量为 6 百台时,平均成本达到最低.(4)已知某产品的边际成本 =2(元/件) ,固定成本为 0,边际收益)(xC,求:xxR02.1)(产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润将会发生什么变化?解:边际利润 )()(xCRxL x02.102.1令 得唯一驻点 ,0)( 502.)50(L因此,当产量为 500 件时,利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润增量 5050 )2.1()(dxdxL.1502即利润将减少 25 元.