1、1.2.3.4.5.6.7.8.9. 设随机试验 的分布律为X求 的概率密度和分布函数,并给出图形。X解: )0.210.520.3iiifxpxxxx( ).iiiFuuuu(10.11. 设随机变量 的概率密度函数为 ,X()xfxae求:(1) 系数 ;(2)其分布函数。a解:(1)由 ()1fxd00() 2x xxfxdaeaededa 所以 12a(2) 1()2xxtFftded所以 的分布函数为X1,021,xxeFx12.13.14. 若随机变量 与 的联合分布律为XY求:(1) 与 的联合分布函数与密度函数;(2) 与XY X的边缘分布律;(3) 的分布律;(4) 与YZX
2、Y的相关系数。解:(1), ,0.7,10.8,0.15,1832,.2,ijijijFxypuxyuuxyxyux , ,0.7,10.8,0.15,1832,.2,ijijijfxypxyxyxyxyy (2) 的分布律为( )XiijjP0.70.18.50.41326P的分布律为Y10.7.08.15.8.32.10.5.0.5PY(3) 的分布律为ZXY111,0.800,0.4.32.7111,0PZPXYPXYPZXYPXY(4)因为 0.410.6.051.350.2EY10.80.72.1X则 ov,0.12.60.20CXYEXYEXY与 的相关系数 ,可见它们无关。XYX
3、Y15.16. 设随机变量 , 且相互独立, 0,1N0,1N。UXYV(1) 随机变量 的联合概率密度 ;,V,UVfuv(2) 随机变量 与 是否相互独立?U解:(1)随机变量 的联合概率密度为,XY2 21, ,xyXYfxyexR由反函数 , , 2uvxvy1122J2 241, ,uvUVXYfuvfxyJeR由于, (3)2 2 24 4 41112uv u veee 2, ,UVUVfuvfufvuvR所以随机变量 与 相互独立。17.18.19.20.21. 已知对随机变量 与 ,有 , ,XY1EX3Y, , ,又设 ()4DX()16D0.5X, ,试求 , , ,3UY
4、2VUV()DU和 。()V(,)CovU( )22DE解:首先, 2 2()()5EXDEX。2 2()()YY又因为 ()(,) 7XYECovXYEYD于是 (3)36EUEXY225VXYE2222()()3()96()76DUYUEY222 22()() ()4()5VEVXYEVEXYEV22()(3)()570UVYXYEX(,)() 4CovUVEV22.23.24. 已知随机变量 服从 上的均匀分布。随机变X0,a量 服从 上的均匀分布,试求Y,a(1) ;(),(0)Ea(2) Y解:(1)对 有,0,xa()2XEY(2) /23()24aXaEYYXEa25.26. 设
5、太空梭飞行中,宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从(参数为 )泊松分布。进舱后每个粒子造成N损坏的概率为 p,彼此独立。求:造成损坏的粒子平均数目。解:每个粒子是否造成损坏用 表示iX1, 1,2,0iXiN 造 成 损 坏没 有 造 成 损 害 造成损坏的粒子数 ,于是1NiiYX11(|)(|)|niiniiEYNEnXNn可合理地认为 和 是独立的,于是i1(|)niiEYNEXnp()(|)YNpNp27 若随机变量 X 的概率特性如下,求其相应的特征函数: (1) 为常数 c,即 ; 1Pc(2)参数为 2 的泊松分布;(3) (1,1)伯努利分布:()0.4(1)0.6(1)fxxx(4
6、)指数分布:30(),0xef其 他解:(1) ,()jvXjvcjvcXvEee如果 c=0,则 。()1Xv(2) 00 01()!jvjvjvXjvkXkkjvkjvk keevEeeP (3) 11()0.40.6.40.6jvjvXjv jvjvXEee (4) 3(3)0 0()jvXjvxxjvxXveddjv 28. 随机变量 彼此独立;且特征函数分别为123,X,求下列随机变量的特征函数:123(),(),()vv(1) ; 12XX(2) ; 123(3) ; (4) ; 123410XX解:(1) 1212()()jvXXvEev(2) 123XX同(1) , 123()()()vv(3) 123XX123()()()vv(4) 12324100123()()(4)jvXev29. 随机变量 X 具有下列特征函数,求其概率密度函数、均值、均方值与方差。(1) ; 2424()0.30.0.0.1jvjvjvjvveeee (2) ; .7jvjv(3) ; ()4/()vj(4) ; sin5/v解:(1) 1()ikjvxiivpe1kiiifxpx2424()0.30.0.0.jvjvjvjvv ee .3.0.20.14fxxxx