1、 1 绝密 启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页， 23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “ 条形码粘贴处 ” 。 2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答 题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划
2、掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x1000的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填 入 A A1 000 和 n=n+1 B A1 000 和 n=n+2 C A 1 000 和 n=n+1 D A 1 000 和 n=n+2 9已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+23 )，则下面结论正确的是 A把 C1上各
3、点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，3 得到曲线 C2 10已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2
4、与 C 交于 D、 E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为 A 16 B 14 C 12 D 10 11设 xyz 为正数，且 2 3 5x y z，则 A 2x100且该数列的前 N项和为 2的整数幂。那么该款软件的激活码 是 A 440 B 330 C 220 D 110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 a， b 的夹角为 60 ， |a|=2， |b|=1，则 | a +2 b |= . 14设 x， y 满足约束条件 210xyxyxy ，则 32z x y的最小值为 . 15已知双曲线 C： 221xyab（ a0， b0）的右顶点为
5、A，以 A 为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于 M、 N 两点。若 MAN=60 ，则 C 的离心率为 _。 16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。 D、 E、 F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC， CA， AB 为折 痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三棱锥。当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 _。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 23sinaA （ 1）求 sinBsinC; 4 （ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周长 . 18.（ 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD，且 90BAP CD P . （ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦
7、值 . 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N （ 1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，求 ( 1)PX 及 X 的数学期望； （ 2）一天内抽检零件中 ，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ ）下面是
8、检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 1611 9.9716 iixx， 16 162 2 2 21111( ) ( 16 ) 0.21 216 16iiiis x x x x ，其中 ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i 用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利 用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( 3 , 3 ) 之外的数据，用剩下
9、的数据估计 和 （精确到 0.01） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ，则 ( 3 3 ) 0 . 9 9 7 4PZ ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 20.（ 12 分） 已知椭圆 C： 22=1xyab （ ab0），四点 P1（ 1,1）， P2（ 0,1）， P3（ 1， 32 ）， P4（ 1， 32 ）中恰有三点在椭圆 C 上 . （ 1）求 C 的方程； 5 （ 2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 . 21.（ 12 分） 已知函数
10、)fx（ ae2x+(a 2) ex x. （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）若 ()fx有两个零点，求 a 的取值范围 . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos ,sin ,xy （ 为参数 ），直线 l 的参数方程为 4,1,x a t tyt （ 为 参 数 ）. （ 1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标； （ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 23 选修 4 5：不
11、等式选讲 （ 10 分） 已知函数 f（ x） = x2+ax+4， g(x)= x+1+ x 1. （ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集； （ 2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含 1， 1，求 a 的取值范围 . 6 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 D 10 A 11 D 12 A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 1
12、3 23 14 -5 15 233 16 315cm 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 23sinaA （ 1）求 sinBsinC; （ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周长 . 解： （ 1） 由题意可得 21 s in2 3 s inABC aS b c A A ， 化简可得 222 3 sina b
13、c A ， 根据正弦定理化简 可得： 22 22 s i n 3 s i n s i n C s i n s i n s i n C 3A B A B 。 （ 2） 由 2sin sin C123 c o s c o s sin sin C c o s c o s1 23c o s c o s6BA A B B B C ABC ， 因此可得 3BC， 将之代入 2sin sinC 3B 中可得： 231sin sin sin c o s sin 03 2 2C C C C C ， 化简可得 3ta n ,3 6 6C C B ， 7 利用正弦定理可得 31sin 3sin 232abBA ，
14、同理可得 3c ， 故而三角形的周长为 3 2 3 。 18.（ 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD，且 90BAP CD P . （ 1）证明：平面 PAB 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦值 . （ 1） 证明： / / ,A B C D C D P D A B P D , 又 ,A B P A P A P D P ,PA、 PD 都在平面 PAD 内， 故而可得 AB PAD 。 又 AB 在平面 PAB 内，故而 平面 PAB 平面 PAD。 （ 2） 解： 不妨设 2P A P D A B C D
15、 a ， 以 AD 中点 O 为原点， OA 为 x 轴， OP为 z轴建立 平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 2 , 2 , 0P a A a B a a C a a， 因此可得 2 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2P A a a P B a a a P C a a a ， 假设平面 PAB 的法向量 1 , ,1n x y ，平面 PBC 的法向量 2 , ,1n m n ， 故而可得 112 2 0 12 2 2 0 0n P A a x a xn P B a x a y a y ，
16、即 1 1,0,1n ， 同理可得 222 2 2 0 022 2 2 02n P C a m a n a mn P B a m a n a n ，即2 20, ,12n。 8 因此法向量的夹角余弦值：1213c os ,3322nn 。 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 33。 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N （ 1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 ,
17、3 ) 之外的零件数，求 ( 1)PX 及 X 的数学 期望； （ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 1611 9.9716 iixx， 16 162 2 2 21111( ) ( 16 ) 0
18、.21 216 16iiiis x x x x ，其中 ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i 用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样 本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( 3 , 3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ，则 ( 3 3 ) 0 . 9 9 7 4PZ ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 解：（ 1） 161 1 0 1 0 . 9 9 7 4 1 0 . 9 5 9 2 0 . 0 4 0 8P X P
19、 X 由题意可得， X 满足二项分布 16, 0.0016XB ， 因此可得 1 6 , 0 . 0 0 1 6 1 6 0 . 0 0 1 6 0 . 0 2 5 6EX （ 2） 1 由（ 1）可得 1 0 .0 4 0 8 5 %PX ，属于小概率事件， 故而如果出现 ( 3 , 3 ) 的零件，需要进行检查。 2 由题意可得 9 . 9 7 , 0 . 2 1 2 3 9 . 3 3 4 , 3 1 0 . 6 0 6 ， 9 故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。 此时： 9 . 9 7 1 6 9 . 2 2 1 0 . 0 215x
20、 ， 15 11 0.0915 i xx 。 20.（ 12 分） 已知椭圆 C： 22=1xyab （ ab0），四点 P1（ 1,1）， P2（ 0,1）， P3（ 1， 32 ）， P4（ 1， 32 ）中恰有三点在椭圆 C 上 . （ 1）求 C 的方程； （ 2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 . 解：（ 1） 根据椭圆对称性可得， P1（ 1,1） P4（ 1， 32 ） 不可能同时在椭圆上， P3（ 1， 32 ）， P4（ 1， 32 ） 一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过 P2（
21、 0,1）， P3（ 1， 32 ）， P4（ 1， 32 ）， 代入椭圆方程可得：2131, 1 24baa ， 故而可得椭圆的标准方程为： 2 2 14x y。 （ 2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A 为： 1y kx,P2B 为： 11y k x . 联立 222214 1 8 014y k xk x k xx y ， 假设 11,Ax y ， 22,B x y 此时可得： 2222228 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 14 1 1 4 1 1kkkkABkkkk ， 10 此时可求得直线的斜率为： 2 22 221212 2
22、1 4 1 14414 1 181 8414 1 1ABk kkkyykkx x kkk ， 化简可得 2112ABk k ，此时满足 12k 。 1 当 12k 时， AB 两点重合，不合题意。 2 当 12k 时，直线方程为： 22 221 8 1 44 1 4 112 kkyx kkk ， 即 224 4 112k k xyk ，当 2x 时， 1y ，因此直线恒过定点 2, 1 。 21.（ 12 分） 已知函数 )fx（ ae2x+(a 2) ex x. （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）若 ()fx有两个零点，求 a 的取值范围 . 解： （ 1）对函数进行求导可得 2 2
23、 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e 。 1 当 0a 时， 1 1 0xxf x ae e 恒成立，故而函数恒递减 2 当 0a 时， 1 1 1 0 l nxxf x a e e x a ，故而可得函数在 1,lna上单调递减，在 1ln ,a上单调递增。 （ 2）函数有两个零点，故而可得 0a ，此时函数有极小值 11ln ln 1faaa ， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0， 故而可得 1ln 1 0 0aaa ，令 1g ln 1aaa ， 对函数进行求导即可得到 2 1g 0aa a，故而函数恒递增， 又 g1 0 ， 1g l n 1 0 1a a aa ， 因此可得函数有两个零点的范围为 0,1a 。
