1、1等差数列教材分析 本节教学内容是人教社 2003 年审查通过的全日制普通高级中学教科书（必修）第一册第三章第二节等差数列第一课时，首先，数列，特别是等差数列和等比数列，有着广泛的实际应用，如衣服的尺寸、鞋子的号码等，其次，数列在整个高中教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，如函数、方程等知识在这一章得到了较为充分的应用，而且与极限密切相关。最后，一些综合性问题，如点列，更与数列知识密不可分，本章知识有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。本节知识的学习，直接关系到等比数列的学习， 扎实的基础和推理的熟练能直接迁移到等比数列的定义及通项公式的研究中，通过类比，学
2、生能自学完成。教学中所体现的数学思想在后续的知识中有指导作用。教学目标 1知识与技能:理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式；能运用等差数列的通项公式进行有关计算。2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型，通过对等差数列的通项公式的探究，形成归纳、猜想的逻辑推理能力。3情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识；感受方程思想和函数思想；激发热爱家乡、热爱大自然之情，增强环保意识。教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题。难点：概括能力
3、、探究能力和数学思想方法。学法与教学用具学法：引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式。教学用具：投影仪教学模式 主体性问题解决教学流程教学亮点：1 问题情境以当地学生熟悉的背景资料为切入点，配以激情的演说，充分调动了学生的积极性，最大限度的唤起了有意注意，同时起到寓德育教育与数学教学之中的作用。教师创设问题情境教师提供问题素材学生探索猜测结论教师指点师生评价论证反思开发应用与小结正确不正确22 知识的探索过程从观察数列特点到定义的总结归纳再到通项公式的猜想证明，每一个环节都由学生独立、小组讨论，或教师加以指点后得出，学生的
4、探索热情高涨，提高了能力。真正把课堂交给了学生，教师充当的是导演、引导者，符合新课改的教学理念。3 知识的应用四个例题完全由学生完成，教师或启发，或引导，或由学生评价补充，体现了学生的主体地位，调动了主观能动性；解题的关键点、规律的总结和易混点的强调给学生指明了方向；两个知识延伸的发现，充分说明学生的潜能是无穷的。4 课后小结学生独立完成课后小结，能更好地形成知识网或知识树，便于挖掘知识的生长点，为学生今后的学习奠定基础。5 鼓励性语言课堂教学的各个环节，充满着激励语言，你真棒！我很佩服你！为勇敢者喝彩！你能行！配以大拇指的肢体语言，给学生勇气，增强了信心。6 师生交流教师参与学生的探究活动，
5、给学生以鼓励和帮助，拉近了师生的距离，创设了和谐氛围，真正体现了心灵相通，平等交流。遗憾之处：1 反馈验证得到通项公式后，应验证引例中的三个猜想，这样更能加深对公式的理解，同时增强探索信心。由于粗心，丢掉了这个重要环节。2 例 2 的处理两种方法展示后，应比较它们的优劣性，再举一个例子，如递增和递减的两个数列，就更好了。3 时间问题由于是借班上课，我对学生没有一点了解，只是从他们的课上表现来判定，个体差异不好区分，在巡视过程中，缺乏针对性，只能逐个查询，耽误时间过多，导致课堂练习没有完成，有些遗憾。但从学生对例题分析反馈来看，学生对知识的掌握已很熟练，教学目标基本达到，多少弥补一些缺憾。课后反
6、思：1 问题情境的创设要依据所探索问题特点和学生实际，以巧妙的方式向学生提出新问题；首先，教师要注意学生先前知识、生活经验与兴趣，素材的内容能够被学生有的知识消化；其次，要善于分解问题及了解什么是解决问题的必要条件，什么是解决问题的辅助条件，素材要暗示要解决的问题，为学生的对问题的领会体验做好准备。最后，要选择适宜的方法显示学习材料，并细心观察学生学习态度和学习行为的变化。2 积极鼓励学生大胆猜想和归纳新结论，在学生充分发表自己见解的前提下，教师可给于适当的指点帮助，避免虚假探究、超前指路，为急于得出结论加快讲解速度。要多用鼓励性语言，注意学生个体差异加强辅导。3、教师要控制着学生活动的次序，
7、控制着学生对问题由设想到本质的讨论，对学3生提出问题不做正确与错误的评价，只给予积极的鼓励，给学生自由发言的空间，给学生获得解决问题的经历。4 在错例纠正过程中教师应仔细分析学生出问题的本质原因，给学生有针对性的指导。教学设计创设问题情景 导语 来到长治，我非常高兴，我知道：长治古称上党， 意思是“据太行山之巅，地形最高与天为党也” ，素有“得上党可望得中原”之说。长治是我们中华民族的发祥地之一。传说中的后羿射日 、 精卫填海 、 愚公移山等故事就发端于此。长治更是一个革命老区，刘、邓在这里发动了名震中外的上党战役，揭开了解放战争的序幕。我说得对不对呀？ 所以我说“ 太行山是英雄的山，长治市是
8、英雄的摇篮！”如今，长治市已成为中国十大魅力城市、卫生城市、园林城市 （自然过渡）1 长治市辖 2 个市辖区、10 个县。其中长治县、壶关县、屯留县、武乡县、平顺县五个县的人口数（单位万）分别是：32，28，24，20，162 市长杜善学在市区绿化工作会议上指出，近几年来，长治始终坚持“既要金山银山，更要绿水青山”的发展理念，坚定不移地实施生态立市、绿色发展战略， “让森林走进城市、让城市融入森林” 某地区市民响应市政府号召，近几年踊跃参加义务植树活动，植树面积不断增加，以下数据是近几年的绿化面积（单位公顷）：38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 3 某市六中非常重视冬季长跑
9、活动，鼓励同学们踊跃报名，某长跑运动员更是热情高涨，逐渐加大了训练量，以下是一周的训练量（单位：m）7500，8000， 8500，9000，9500，10000， 10500（选择同学们熟知的素材背景，能激发学习兴趣，同时起到寓德育教育与数学教学之中的作用。 ）探索研究 上述三个实例都含有一些数据，我把它们摘录下来的到三个数列，下面请同学们仔细观察,看一看这些数列各有什么特点？共同特点是什么?（1）32，28，24，20，16（2）38, 40, 42, 44, 46, 48, 50,（3）7500，8000，8500，9000，9500，10000， 10500（由学生讨论、分析，引导学生
10、观察相邻两项间的关系发现特点）对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -4 ；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 2 ；4对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 500 ；共同特点是： 数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（若学生回答不完整，师生可一起修改完善） 。等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：（学生总结后，师生可一起修改完善）等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差
11、数列的公差，公差通常用字母 d 表示。（培养学生的总结概括能力，指出关键词（从第 2 项起、每一项、同一个常数）时可举反例如 3，3，4，5，6，7，8；1，3，5，7，8，10，12 等）设等差数列 的公差为 d，由定义可得符号语言na)2(1n（此问题的设计为推导通项公式打伏笔）对于以上三组等差数列，它们的公差依次是-4，2，500提问1 当公差小于 0 和大于 0 时数列是递增的还是递减的?2 数列 1，1，1，1，1，1，1，是等差数列吗？3 你能举出身边的等差数列的例子吗？ （教师可提示衣服的尺寸、鞋子的号码）等差数列的通项公式如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究
12、这个数列有重要的意义。请同学们试着写出上述三个数列的通项公式（1）32，28，24，20，16 nnan 436)(132（2）38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 28（3）7500，8000，8500，9000，9500，10000， 10500 705an（学生分组讨论，代表展示，用首项和公差表示通项，调动积极性，培养探索精神。教师可提示找每项与项数 n 的关系式， ）如果这个等差数列的首项 和公差 d，它的通项公式是什么呢？1a（引导学生根据探讨的过程，大胆猜想通项公式，并试着探索推导证明）由定义知： ,12,23,34dadan15所以 ,12da,2)(13 da3
13、14由此我们可以猜想得出： dnan)(1当 n=1 时，上面等式两边均为 ，这说明当 时上面公式都成立*N即 以 为首项，d 为公差的等差数列 的通项公式为： 1andnn)(也就是说，只要我们知道了等差数列的首项 和公差 d，那么这个等差数列的通项1a就可以表示出来了。na（教师指出这种方法是不完全归纳法，从方程的角度理解，强调 的重要性，da,1然后让学生检验引例中写出的通项公式是否正确） 例题分析 （ 以下练习均以学生回答为主 ，教师点拨）例 1、求等差数列 8，5，2，的第 20 项.-401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？分析：要求出第 20 项，可以利
14、用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。解：由 =8，d=5-8=-3，n=20，得1a 49)3(12(820a由 =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,4)(5nn由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。解这个关于 n 的方程，得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项。（从该例题中可以看出，等差数列的6通项公式其实就是一个关于 、 、
15、d、n（独立的量有 3 个）的方程；让学生体会方a1程的思想。另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 ）例 2：梯子的最高一级宽 33cm，最低一级宽 110cm，中间还有 10 级，各级成等差数列，求公差 d解：用 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由题意知na12,0,3121n由通项公式得 da)(解得 7d（这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会用等差数列的知识解决实际问题。若自下而上成等差数列则同理可得 ，让同学比较）7通项公式的功能： 在 中知三求一dan
16、,1（板书在通项公式后 注：1）例 3：在等差数列 中，已知 ，求首项 和公差n 31,025a1ad解：由题意知 3141da这是一个关于首项 和公差 的二元一次方程组，解得,21（ 让学生进一步熟悉公式，体会方程的思想）通项公式的再挖掘由通项公式 得dnan)1(消去 得m1an)(即： dnam（当 时就是通项公式，板书在通项公式后 注：2，请同学们用这个公式再1m7求解例 3）例 4：已知数列 的通项公式是 ，其中 是常数，那么这个数列naqpnap,是否是等差数列？如果是，其首项和公差各是什么？ （引导学生先猜后证） 解：当 时，2n )1()(1这是一个与 n 无关的常数，所以 是
17、等差数列，且公差为nap令 ，得1qpa1你能得到什么结论？（如果一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次函数型，那么这个数列必定是等差数列。 目的是把等差数列的通项公式和一次函数联系起来，值得注意的是反过来不成立，如常数数列） （板书在通项公式后 注：3 为等差数列，qpanna， ） （引导学生从函数的角度重新审视例 3）qpa1d随堂练习课本 113 页 练习 第 1 题；第 2 题；第 5 题课后小结等差数列定义：即 (n2)dan1等差数列通项公式： )(mn谈谈你的感受作业 课本 114 页习题 1、2、6、11实践探究作业在直角坐标系中，分别画出通项公式为 的数列图像和函数53na的图像，你发现了什么？据此说一说等差数列 的图像与一次函53xy qp数 的图像之间有什么关系。qp
