1、 最专业的 K12 教研交流平台北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期高二年级期末统一考试数学理科试卷 2016.1(考试时间 100 分钟 满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)圆 被直线 截得的弦长为( )2)4xy-+=( 1xA. B. C. D. 13223(2)抛物线 上与其焦点距离等于 的点的横坐标是( )2yxA. 1 B. 2 C. D. 5272(3)已知 , ,则 是 的( ):2px“”:4qx“”pqA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必
2、要条件 D.即不充分也不必要条件(4)已知两条不同的直线 ,三个不同的平面 ,下列说法正确的是 ,ab,A.若 则 B. 若 则/,a/a/C.若 则 D. 若 则,/(5)在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 , 为垂足,当点 在圆上运动时,216xy+=PxPDP线段 的中点 的轨迹方程是( )PDMA. B. C. D. 2424xy2164y+=2164yx+=(6)如图,平行六面体 中, 与 的交点为 ,设 , ,1ABCD-ACBM1ABura1D=rb,则下列向量中与 相等的向量是( )1A=urcurA. B. +2-ab+2abcC. D. c1-bac C1D1B1MA
3、DBCA1最专业的 K12 教研交流平台(7)若由方程 和 所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数 的20xy22()xyb b取值范围是( )A. 或 B. 或 C. D. b2b22b(8)设 是坐标原点,若直线 与圆 交于不同的两点 、 ,O:lyxb04xy+=1P2且 ,则实数 的最大值是( )1212PA. B. C. D. 6(9)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为 A. B. C. D. 163163243(10) 已知动圆 位于抛物线 的内部( ) ,C24xy24xy且过该抛物线的顶点,则动圆 的周长的最大值是( )
4、CA. B. C. D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把正确答案填在答题卡上)(11)写出命题 :” 任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定 :_;p p判断 是_命题. (后一空中填“真”或“假 ”)(12)已知 , , ,则 的外接圆的方程是 . 8,0A( ) B( ) 0O( ) AB(13)中心在原点,焦点在 轴上,虚轴长为 并且离心率为 的双曲线的渐近线方程为 y423_.(14)过椭圆 的右焦点 的直线与椭圆 C相交于 两点若 ,则点:C2143x2F,AB2=FB与左焦点 的距离 =_. A1F1A(15)下图为四棱锥 的表面展开图,四边形
5、 为矩形, , .已知顶点PBCDABD21AD最专业的 K12 教研交流平台NC1D1 B1A1 CADBM在底面 上的射影为点 ,四棱锥的高为 ,则在四棱锥 中, 与平面PABCDA2PABCDP所成角的正切值为_. (16)如图,正方体 的棱长为 , 为 中点, 为线段 上的动点,(1ABCD1N1C1不与 重合)有四个命题:M,1 平面 ; CN 平面 ;/1ABD平面 平面 ;M三棱锥 的体积有最大值.NC其中真命题的序号是_. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请写在答题卡P4() P3()P2()P1()DABC最专业的 K12
6、 教研交流平台上)(17)(本题满分 12 分)如图,长方体 中, , , 为 的中点,点 ,1ABCD1AB=2AD=EBCM分别为棱 , 的中点N1()求证:平面 平面 ; MN1E()求证:平面 平面 .1AD.(18)(本题满分 14 分)如图,四棱锥 的底面 为直角梯形, ,且 ,PABCDADBC1=2AD, ,平面 底面 , 为 的中点, 为等边三角形,BCD60BEP是棱 上的一点,设 ( 与 不重合).MMk()求证: ;()若 平面 ,求 的值;PABE()若二面角 的平面角为 ,求 的值.150k(19)(本题满分 14 分) NMEDA D1CBB1 C1A1EDB A
7、C PM最专业的 K12 教研交流平台已知椭圆 : ,过原点 作直线 交椭圆 于 两点, 为椭圆上异于W214xyO1lW,ABP的动点,连接 ,设直线 的斜率分别为 ( ),过 作直线 ,,AB,PAB,PAB12,k,0OA的平行线 ,分别交椭圆 于 和 .P23l, CD, EF,()若 分别为椭圆 的左、右顶点,是否存在点 ,使 ?说明理由., P9AB()求 的值;12k()求 的值.+CDEF北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高二年级统一考试数学理科答案 2016.1一、选择题(满分 50 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D C A D C
8、 A B B C C二、填空题(满分 30 分)题号 11 12 13 14 15 16答案存在两个等腰直角三角形,它们不相似; 假22435xy24yx563三、解答题(满分 40 分)17. (本题满分 12 分)()在长方体 中,点 和点 分别为所在棱的中点,1ABCD EN所以 且 ,从而四边形 为平行四边形.1NE1AC所以 .又因为 平面 , 平面 ,1AMCN所以 平面 .E最专业的 K12 教研交流平台又点 是棱 的中点,M1D所以 是 的中位线,所以 .NA1ADMN由于 平面 , 平面 ,1CC所以 平面 .D又因为 , 平面 , 平面 ,11=AEAE1D1A1DE所以平
9、面 平面 . .6 分PNMC()在长方体 中, 平面 ,且 平面 ,1BD 1BCABC所以 .1AE在矩形 中, , , 为 的中点,C=2AE则 ,2,D=从而 ,即 . 2EA+D因为 , 平面 , ,11平 面 AE11=AE所以 平面 .D又 平面 ,所以平面 平面 . .12 分E11118.(本题满分 14 分)()因为 为等边三角形, 为 的中点,所以 .PAEADPEAD因为平面 平面 ,且平面 平面 , 平面 ,DBCIBC=PAD所以 平面 .E又 平面 ,所以 .CP由已知得 , ,AE所以 平面 .且 平面 ,所以 .DPCD.5 分()连接 交 于 ,连接 .AC
10、BENM因为 平面 , 平面 ,PANMEDC ABP最专业的 K12 教研交流平台平面 平面 ,PACBMEN所以 .因为 , ,DC所以 .90又 , ,所以 .CBAENAENBAE所以 ,则 为 的中点, . .9 分MP=1k()方法一:依题意,若二面角 的大小为 ,则二面角 的大小为 .B50MBC30连接 ,过点 作 交 于 ,过 作 于 ,连接 .CEFEACFGEG因为 平面 ,所以 平面 .PDBD又 平面 ,所以 .BM又 , 平面 , 平面 ,MFGG所以 平面 ,从而 .EE则 为二面角 的平面角,即 .BC=30F在等边 中, .由于 ,所以 .DPA31Pk31M
11、k又 ,所以 .FGEBC1k在 中,Mtan=MFG解得 .3k.14 分方法二:由于 , , ,以 为原点,EPAEBAE射线 , , 分别为 正半轴, 正半轴, 正半轴建立空间直角坐标系,Bxyz如图. 根据条件 , 可知:12CD60, , , , ,(0,1)A(3,0)(3,)(,1)(,0)(,3)P平面 即 平面的一个法向量为 .BExoy1n设 ,由条件 可知: ( )(,)MzPkCMkC即 ,3(,)xyxyzMEDBACzx yPEDC ABPMFG最专业的 K12 教研交流平台,解得:(3)1xkyzz3131kxyzk即 , .3(,)1kEM(,0)EB设平面 的
12、一个法向量为 ,B2,xyzn则 ,2330110kxkEn,令 ,则 .0x3yz即 .2=,)k( ,n因为二面角 的平面角为 ,MBEA150所以 , ,12cos,cos2213=kn解得 .3k因为 ,所以 . .14 分0k19. (本题满分 14 分)()不存在点 ,使 .说明如下:P90AB设 .依题意,此时 , ,则 , .,)xy( 2,( -) ,0B( ) =2,PAxy=2,PBxy若 ,则需使 ,即 . (1)90P224Pxy又点 在椭圆 上所以 ,把 代入(1)式中解得, ,且PW214xy2 2Px.显然与 为椭圆上异于 的点矛盾,所以不存在.4 分0y,AB
13、()设 , ,依题意直线 过原点,则 .,)Px( ,)Axy( 1l,)ABxy( -由于 为椭圆上异于 的点,则直线 的斜率 ,直线 的斜率,P1PAkB最专业的 K12 教研交流平台.即 .2PAykx21=PAykx椭圆 的方程化为 ,由于点 和点 都为椭圆 上的点,则W24AW,两式相减得 ,因为点 和点 不重合,所以24PAxy22()0PAPxyPA,即 . 8 分 210PAx211=4PAkx()方法一:由于 分别平行于直线 , ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 .23,l B2l1CDk3l2EFk设直线 的方程为 ,代入到椭圆方程中,得 ,解得 .2l1ykx2214x2
14、14x设 ,由直线 过原点,则 .)Cx( 2l,)CDy(则 = .22=()()CDxy24+x(由于 ,所以 ,即 .1Cyk221Ck( 126k直线 的方程为 ,代入到椭圆方程中,得 ,解得 .3l2x24x241xk同理可得 .则 .221=6 4kEF2+=CDEF21216 +k( )由()问 ,且 ,则 .1210214k即 2+=6CDEF22116+4kk化简得 .21221( )即 . 14 分 2+=0CDEF方法二:最专业的 K12 教研交流平台设 , ,由直线 都过原点,则 , .,)Cxy( )Exy( 23l, )CDxy( ,)EFxy(由于 分别平行于直线 , ,则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,由23lPAB2l1k3l2k()问 ,可得 .由于 ,则 .由于点12=4k14CDEFk10CD14EF不可能在 轴上,即 ,所以 ,过原点的直线 的方程为 ,Cx0yEFCxy3lCxy代入椭圆 的方程中,得 ,化简得 .W221(4)46x22164Cxy由于点 在椭圆 上,所以 ,所以 ,不妨设 ,代入,)Cxy( 2+=Cy2Exy到直线 中,得 .即 ,则 .41Eyx1,)Cx( 1,)2CFy( -=2+DEF22()Cx= 214Cyx= .2()又 ,所以 . 14 分2+4Cxy2+=0DEF