1、椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之和为常数 的动点 的21F、 |)|2(2FaP轨迹叫椭圆,其中两个定点 叫椭圆的焦点.21、当 时, 的轨迹为椭圆 ; ; 21FaPFP当 时, 的轨迹不存在; 21当 时, 的轨迹为 以 为端点的线段21 21F、（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 (定点 不在定直线 上)的距离之比是ll常数 ( )的点的轨迹为椭圆e0（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 )0
2、,(,c ),0(c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )0,()0(,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cax2cay23.点 与椭圆 的位置关系:),(0yxP)0(12bya当 时,点 在椭圆外; 当 时,点 在椭圆内; 当 时,点 在12ba 12yaxP12byaxP椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离000例题分析：题 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、 （4，0） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10；两个焦点坐标分别是（0，
3、2）和（0,2）且过（ , ） 奎 屯王 新 敞新 疆235(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.(5)焦点在 轴上，与 轴的一个交点为 P(0，10)， P 到它较近的一个焦点的距离y等于 2.解：（1）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为x12byax)0(ba945,80222c所以所求椭圆标准方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 1yx2 因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为12bxay)0(ba由椭圆的定义知，22)5()322)5()310又a2c
4、642b所以所求标准方程为 奎 屯王 新 敞新 疆 102xy另法： 422acb可设所求方程 ，后将点（ , ）的坐标代入可求出 ，从而求12xy235a出椭圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆(3)椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12bayx ，2 c=6.1035(3522 ,ca 6222b所求椭圆的方程为： .15yx(4)椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为.)0(2bax .142cab所求椭圆方程为： 1692xy（5）椭圆的焦点在 轴上，所以可设它的标准方程为： )0(12baxy （，）在椭圆上， .a又 P 到它较近的一焦点的距离等于 2， c（），
5、故 c=8. .3622ab所求椭圆的标准方程是 .102xy题 2。已知 B，C 是两个定点，BC6，且 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方ABC程 奎 屯王 新 敞新 疆解：以 BC 所在直线为 轴，BC 中垂线为 轴建立直角xy坐标系，设顶点 ，根据已知条件得),(yA|AB|+|AC|=10 奎 屯王 新 敞新 疆再根据椭圆定义得 奎 屯王 新 敞新 疆4,35bca所以顶点 A 的轨迹方程为（ 0） （特别强调检验)1625yx A CB xOy因为 A 为ABC 的顶点，故点 A 不在 轴上，所以方程中要注明 0 的条件 奎 屯王 新 敞新 疆xy题 3。在 ABC 中， BC
6、=24， AC、 AB 的两条中线之和为 39,求 ABC 的重心轨迹方程.分析：以 BC 所在直线为 轴， BC 的中垂线为 轴建立如xy图所示的平面直角坐标系， M 为重心，则|MB|+|MC|= 39=26.2根据椭圆定义可知，点 M 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 ( 0) 奎 屯王 新 敞新 疆12569yx题 4。已知 轴上的一定点 A（1,0） ，Q 为椭圆 上的动点，求 AQ 中点 M 的轨迹方x 142yx程 奎 屯王 新 敞新 疆解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 M),(yx),(x因为点 为椭圆 上的点，Q142所以有 ，
7、即)(22yx 14)2(2yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M12题 5。长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 轴、 轴上滑动，点 M 分 AB 的比为xy，求点 M 的轨迹方程 奎 屯王 新 敞新 疆32解：设动点 的坐标为 ，则 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 的坐标为 奎 屯王 新 敞新 疆 ),(yx)0,35()25,0(因为 ，2|AB所以有 ，即4)5(32yx 429yx所以点 的轨迹方程是 奎 屯王 新 敞新 疆M5题 6。已知定圆 ，动圆 M 和062xy 已知圆内切且过点 P(-3，0)，求圆心 M 的轨迹及其方程 奎 屯王 新 敞新 疆
8、 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 奎 屯王 新 敞新 疆 根据图形，用数学符号表示此结论： 奎 屯王 新 敞新 疆 PQ8上式可以变形为 ，又因为 ，所以86Q圆心 M 的轨迹是以 P，Q 为焦点的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆 解 已知圆可化为： 432yxFE AMCBxOyMAQ 2-2 xOyMAB xOyr 8MP QxOy圆心 Q(3，0)， ，所以 P 在定圆内 奎 屯王 新 敞新 疆 设动圆圆心为 ，则 为半径 奎 屯王 新 敞新 疆 又圆 M8r ),(yxMP和圆 Q 内切，所以 ，M即 ，故 M 的轨迹是以 P，Q 为焦点的椭圆，且 PQ 中点为原点，所以，
9、，故动圆圆心 M 的轨迹方程是： 奎 屯王 新 敞新 疆 82a72b 1762yx题 7。 ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0，6)和 C(0，-6)，另两边 AB、 AC 的斜率的乘积是-，求顶点 A 的轨迹方程.94选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点 A 的坐标为 .),(yx依题意得 ，946yx顶点 A 的轨迹方程为 .)6(1382yx说明：方程 对应的椭圆与 轴有两个交点，而此两交点为（，）与612y(0，6)应舍去.题 8P 为椭圆 上的点，且 P 与 的连线互相垂直，求 P 奎 屯王 新 敞新
10、疆 925x21,F解：由题意，得 64 ，20)4(20)54(x6570x182yP 的坐标为 ， ， ， 奎 屯王 新 敞新 疆,79,7)49,()49,(题 9椭圆 上不同三点 与焦点 F(4,0)的距离成 1925yx ),()5,(21yxCByxA等差数列，求证 奎 屯王 新 敞新 疆821证明：由题意，得 2)54(1x)(x)45(821x题 10设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点， 为右焦点，求证：以线段 为直径的FPF2圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 奎 屯王 新 敞新 疆 F2F1 PO1A2A1xOy证明：设椭圆方程为 ,( )，12byax0a焦半径 是圆 的
11、直径，PF21O则由 知，两圆半径之差等于圆心距，1122 OPFa所以，以线段 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 奎 屯王 新 敞新 疆F2题 11。已知椭圆的焦点是 ， 为椭圆上一点，且 是 )0,1(,(21F21F1P和 的等差中项.2PF(1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且 120，求 .21P21tanP选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设 41F221F ， 2 c=2， 4a3椭圆的方程为 .12yx（）设 ，则 60 21PF12F由正弦定理得： )60sin(siin1P由等比定理得： )i(12ii
12、221)60sin(234sin整理得： 故)cos1(i553cos1in23tan题 12. 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆相交于点P F2F1xOyP 和点 Q，且 OPOQ，|PQ|= ，求椭圆方程.210解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0，n0） ，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去 y，整理得（m +n）x 2+2nx+n1=0. =4n24（m +n） （n1）0，即 m+nmn 0，OP OQ x1x2+y1y2=0，即 x1x2+（x 1+1） （x 2+1）=0
13、，2x 1x2+（x 1+x2）+1=0， +1=0.nm)(m+n=2. 由弦长公式得 2 =（ ） 2，将 m+n=2 代入，得 mn= . 2)(4nm043m= ， m= ，2123n= n= . 31椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1.x3y题 13. 直线 l 过点 M（1，1） ，与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点为423M，试求直线 l 的方程.解：设 A（x 1， y1） 、B（x 2，y 2） ，则 + =1， 423+ =1. 2xy，得+ =0.4)(2121xx3)(2121yy = .21xy321y又M 为 AB 中点，x 1+x2=
14、2，y 1+y2=2.直线 l 的斜率为 .43直线 l 的方程为 y1= （x1） ，解得 或即 3x+4y7=0.题 14。已知椭圆 的中心为坐标原点 ,一个长轴端点为 ,短轴端点和焦点所组成的CO01四边形为正方形，直线 与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B，且lPBA3（1）求椭圆方程；（2）求 m 的取值范围【解题思路】通过 ，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关PA3系得到一个关于 m 的不等式解析（1）由题意可知椭圆 为焦点在 轴上的椭圆，可设Cy2:1(0)yxCab由条件知 且 ，又有 ，解得 abc22abc1,2abc故椭
15、圆 的离心率为 ，其标准方程为： Ce2xy（2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）Error! 得（k 22）x 22kmx（m 21）0（ 2km） 2 4（k 22） （m 21）4（k 22m 22）0 （*）x1x 2 ， x1x2 2kmk2 2 m2 1k2 2 3 x 13x 2 Error!AP PB消去 x2，得 3（x 1x 2） 24x 1x20，3（ ） 24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220 m2 时，上式不成立；m 2 时，k 2 ，14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k 2
16、 0，12m22 成立，所以（ *）成立即所求 m 的取值范围为（ 1， ）（ ，1） 12 12题 15。设 x、yR，i、j 为直角坐标平面内 x、y 轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（ y+2）j，b= xi+（y 2 ）j ，且|a|+| b|=8.（1）求点 M（x，y）的轨迹 C 的方程.（2）过点（0，3）作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，设 = + ，是否存在这OPAB样的直线 l，使得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：a=xi+（y +2）j ，b=xi+（y2）j ，且|a|+|b|=8 ，点 M（x
17、，y）到两个定点 F1（0，2） ，F 2（0，2）的距离之和为 8.轨迹 C 为以 F1、F 2 为焦点的椭圆，方程为 + =1.1x6y解法二：由题知， + =8，2)(yx2)(移项，得 =8 ，22)(两边平方，得x2+（y+2） 2=x2+（y2） 216 +64，22)(yx整理，得 2 =8y，)(两边平方，得 4x 2+（y 2） 2=（8y） 2，展开，整理得 + =1.16（2）l 过 y 轴上的点（ 0，3） ，若直线 l 是 y 轴，则 A、B 两点是椭圆的顶点. = + =0，OPP 与 O 重合，与四边形 OAPB 是矩形矛盾.直线 l 的斜率存在.设 l 方程为
18、y=kx+3，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，y=kx+3，+ =1，12x6（21）0 恒成立，且 x1+x2= ，x 1x2= .348k234k = + ，四边形 OAPB 是平行四边形.若存在直线 l，使得四边形 OAPB 是OPAB矩形，则 OAOB，即 =0.O =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ， =x1x2+y1y2=0，OAB即（1+k 2）x 1x2+3k（x 1+x2）+9=0，即（1+k 2）（ ）+3k（ ）+9=0，即 k2= ，得 k= .3423418k16545由 消 y 得（4+3k 2）x 2+18kx21=0.此时， =（1
19、8k 2）4（4+3k 2）存在直线 l：y = x+3，使得四边形 OAPB 是矩形.45椭圆作业班级：_姓名：_题 16。选择题1. 已知 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点，162x9y则MNF 2 的周长为A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用椭圆的定义易知 B 正确.答案：B2. 椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一4x个交点为 P，则| |等于2A. B. C. D.423327解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为 F1，左焦点为 F2，过 F1 垂直于 x 轴的直线与椭
20、圆在第一象限的交点为 P.x y O F FP 2 1 +y2=1，a=2 ，b=1， c= .4x3F 1（ ，0）.设 P（ ，y P）代入 +y2=1，得 yP= ，34x1P（ ， ） ，|PF 1|= .2又|PF 2|+|PF1|=2a=4，|PF 2|=4|PF 1|=4 = .73. 设 F1、F 2 为椭圆的两个焦点，以 F2 为圆心作圆 F2，已知圆 F2 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于 M 点，若直线 MF1 恰与圆 F2 相切，则该椭圆的离心率 e 为A. 1 B.2 C. D.33 3解析：易知圆 F2 的半径为 c， （2ac ） 2+c2=4c2， （ ） 2+2（ ）2=0， = 1.acac答案：A4. 已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆P2156xy,MN2(3)1xy上的点，则 的最小值为（ ） 2(3)4xP
