1、有噪声的多维混沌时序的非线性检验研究摘要：时间序列的线性/非线性检验是时间序列分析领域中一个受到广泛重视的间题。线性/非线性检验有助于在对时间序列进行时域模型分析时正确地选择模型类，并可应用于工程领域中各种测试信号的状态识别。采用多变量时间序列替代数据生成原理，生成实测多变量时间序列的多组替代时间序列.综合线性冗余和广义冗余两种检验统计量，对一种定量检验多维信号非线性方法的抗噪声能力进行分析.从 Lorenz 和Chens 系统获得多维时间序列，分别对加不同噪声水平的时间序列检验方法的有效性，并比较不同噪声水平对方法的影响.仿真实验结果表明，方法具有很强的抗噪声能力. 关键词：多维信号，广义冗
2、余，非线性，噪声 中图分类号：P733.22 文献标识码： A 文章编号： 混沌系统是非线性系统，从时间序列中检验其非线性特性有必要的.对单个信号进行分析的结果并不够确切，因为在实际问题中常能同时获得多维信号.广义冗余引入的同时，也提出了一种定量检验多维信号非线性的方法，它可用于检验多维时序的非线性，特别是混沌时序的非线性特性，但该方法仅对无噪声的信号进行讨论。因此，以下本文就在无噪声的信号的基础上，对有噪声的多维信号进一步地验证该方法的有效性，并探讨了其对噪声的容忍度。 一、线性和广义冗余的定义和计算 设xm，n n=1N(m=1,2,M,)为通过实验或观测获得的多个变量的时间序列，为了便于
3、计算，对每一变量分别标准化，即 则对每一个 m=1,2,.,M, xm，n n=1N 的均值为零，方差为 1.设C 为时间序列X1，n n=1N，X2，n n=1N ”， xm，n n=1N 的关联矩阵， m ( m=1，2，M)为 C 的特征值，则xm，n n=1N，m=1,2，M 的线性冗余为: 记 M 维向量 Xi=(X1,n ；XM,n )与 ， Xj(X1,n XM,n)之间的距离为 定义 M 变量时间序列Xn 的一阶广义关联积分为 xm，n n=1N ( m=1，2， ，M)的一阶广义冗余为 其中，H(x)是 Hevaside 函数线性冗余只考虑了变量的线性依赖性 ，而广义冗余检验
4、了时序的所有依赖性4,5 二、多维时序替代数据生成方法 设xm，n n=1N，m=1,2，M）为标准化后的实测时间序列 ，对每个变量分别作离散 Fourier 变换 ，有 在式(6)中，j=.在区间一 ，内取 N 随机数，使其满足 则得xm，n n=1N 的替代时间序列 M这样生成的替代时间序列是线性高斯多维随机时间序列 ，但对每个有相同的幅度分布 ，从而有相同的自相关函数这样替代时间序列保持了原时间序列的线性性质 ，但改变了原时间序列的非线性特性 三、非线性的定量分析 在确定了合适的广义冗余后 ，有必要研究延迟时间序列之间的依赖性记广义冗余 R(r1，r2，rL1)= R，线性冗余 L(rl
5、，r2，rM1) 。 假设为原时间的广义冗余和线性冗余 ，为某组替代时间序列的广义冗余和线性冗余 ，由替代时间序列的生成原理可知它们是线性的，因此：。由于替代时间序列和原时间序列有相同的 自关联函数 ，则 L (rl，r2， ，rM-1)=L0(rl，r2， ，r M-1)， R (rl，r2， ，r M-1)= L0 (rl，r2， ，r M-1) 等价于 R0 (r1，r2，r M-1)=R(r1，r2，r M-1)由于比较的量具有相 同的数值性质，只要在估计冗余 R0(rl，r2， ，r M-1)和 R(rl，r2， ，r M-1)时用相同的数值参数 ，它们的值就可以定量地比较定义广义冗
6、余和线性冗余的显著性检验统计量(D)为 在式(9)，(10)中，分别是多组替代时间序列广义冗余和线性冗余的均值 ，分别是它们的标准差用 t 检验比较实测时间序列与替代时间序列的广义冗余 的分布如果由多变量时间序列替代数据法生成 39 组替代时间序列 ，且以原实测时间序列是线性高斯多变量随机序列为零假设 ，则当显著性检验统计量的值大于 196 时，实测时间序列就以大于95置信水平拒绝零假设在实际应用中，利用 Fourier 变换生成的替代时间序列并不总是保持原时间序列的线性性质因此 ，只有原时间序列和替代时间序列的广义冗余有明显差异，而它们的线性冗余没有明显差异时，认为原时间序列具非线性特征才比
7、较合理 四、仿真计算 （一）Lorenz 系统 ： ，取初值 X1,0 =15.34，X2,0 =13.68，X3,0 =37.91，积分步长h=0.04，利用 四阶 Runge-Kutta 法积分 ，迭代生成长度的 时间序列 ( m=1，2，3)从第 3001 个点取 N=1024 的三变量时间序列 (m=1，2，3)，与加噪声后的时间序列分别用多变量时间序列替代数据法生成 39 组替代时间序列线性和广义的显著性检验统计量对应于时间延迟间隔 r 的函数 ，如图 1 所示图中实线是无噪声时序的，其余 9 条虚线是有噪声时序的显著性检验统计量 ，它们的噪声水平(方差的百分比 ，%)分别为 5，1
8、0，15，20，25 ，30，35，40 和 45在图 1(a)中，除带有“”号(35 ，45 )的有噪时序有少数个别点大于 196 外，其他都很小且分布在无噪声时序的附近可见 ，噪声水平在 30 以内，原时序与替代时序的线性冗余没有明显差异在图 1(b)中，自上而下 ，随噪声水平的增大 ，广义冗余的显著性检验统计量逐渐减小 ，当噪声水平达到 40 ，4596(带有“”号)时，统计量的值小于 196可见噪声水平在 35 以内 ，原时序与替代时序的广义冗余有明显差异综合上述两种冗余的显著性统计量可知，当噪声水平在 30 以内，可认为时间序列具有混沌的非线性特征，与实际情况相吻合 （图：loren
9、z 系统显著性检验统计量） 由于非线性动力系统的实际观测时间序列总是不可避免的混有噪声,噪声的普遍存在性和高破坏性掩盖了系统的内在动态特性,极大地影响了混沌特征参数的计算及其单变量或多变量的预测精度。因此,对实际观测的混沌时间序列进行有效的降噪具有重要的意义。 为了充分体现混沌系统的确定性、非线性以及初始状态的敏感性等特征,此次研究从混沌信号自身的规律出发,根据噪声对混沌的影响,探索了不同应用背景下混沌时间序列的多维问题。针对未知系统动力学特性以及模型的混沌时间序列，该方法通过将非线性约束条件引入局部投影方法之中,并在局部邻域内进行奇异谱分析,利用代表吸引子的主分量来重构时间序列,克服了传统局部投影方法不能充分刻画系统内在非线性关系的问题。 结束语：仿真结果表明，建立在广义关联积分基础上的定量检验多维时序非线性的方法，适用于小数量数据，具有计算简便 、速度快等优点，而且还有较强的抗噪能力，能很好地检测到噪声水平高达 30的多维混沌时序的非线性特征 参考文献： 1. 汤龙坤.有噪声的多维混沌时序的非线性检验J.华侨大学学报（自然科学版）.2006,(10) 2.王海燕，汤龙坤.一种定量检验多维信号非线性的方法J.信号处理.2003,(19) 3.朱向阳；钟秉林；贾民平；黄仁.时间序列线性/非线性在线检验J.振动工程学报.1997,(3)
