1、洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案1第十九章 含参量积分 1 含参量正常积分教学目的 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则教学要求(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式(2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明教学建议(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.教学程序一、 含参量正常积分的概念定义 设二元函数 yxf,在矩形区域 Rdcba,上有定义，且对 ba,内每一点 x，函数 ,关于 在闭区间
2、 c,上可积，则定义了 x的函数I=dcyf,， xba, （1）设二元函数 f,在区域 G=dyx,上有定义，函数 c， 为 ba,上的连续函数，且对ba,内每一点 ，函数 yxf,关于 在闭区间 xdc,上可积，则定义了 x的函数 xF=dcf,， xba, （2）称（1）和（2）为含参量 的正常积分类似可定义含参量 y的正常积分二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一） 、连续性定理 191(连续性) 若二元函数 yxf,在矩形区域 R=dcba,上连续，洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案2则函数 xI=dcyf,在 ba,上连续证明 设 ,，对充分小的 x，有 bax,（若
3、 x为区间端点则考虑 0或 ） ，于是xII=dc dyxfyf,（3）由于 yxf,在有界闭区域 R上连续，从而一致连续，即对任给的正数 ，总存在某个正数 ，对 内任意两点 1,y与 2,x，只要2, 1y就有 21,yxff （4）所以由（3） （4）可得：当 ，xIIdc dyxfyf,c= cd这就证得 在 ba,上连续（同理，若二元函数 yxf,在矩形区域 R=ba,上连续，则函数yJ=badxf,在 c,上连续 ）定理 191 的结论可写成： bax,0 dcxdcx yfyf,lim,li00（极限运算与积分运算交换顺序）.定理 192(连续性) 设二元函数 yf,在区域 G=b
4、xadyxc,上连续，其中函数 xc， d为 ba,上的连续函数，则函数 xF=dcyf,， xba, （6） 在 ,上的连续证明： 对积分（6）作换元，令 xcdtc，则x=dcyf,=10, txdtcxf洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案3xcdcxtcxf , 在矩形 ba,1,0上连续，由定理191 即得结论（二） 、可微性定理 193(可微性) 若函数 yxf,与其偏导数 xyf,都在矩形区域 R=dcba,上连续，则 I=dcf,在 ba,上可微，且xcyf,=dcyxf,证明：设 ba,，对充分小的 x，有 bax,（若 x为区间端点则考虑单侧导数） ，于是dyxfyfx
5、IIdc,.由于拉格朗日中值定理及 yf,在矩形区域 R=dcba,上连续（从而一致连续） ，即对任给的正数 ，总存在某个正数 ，只要 x，就有yxfxfyf ,= yfxfxx, 10因此dcxfI, dfdc x, c这就证得对一切 ba,， xIddcyf,定理 194(可微性) 若函数 yf,与其偏导数 xf,都在区域 R=qpba,上连续， xc， d为定义在 ba,上其值含于 qp的可微函数，则xF=dcyf， 在 ba,上可微，且=dxcf,+ xdf,xcf, . （7）证明 把 看作复合函数：洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案4xF dcH,= yxf,其中 xdc,由
6、复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 xd= dxc=cxdyf,+ xf,dxcf,（三） 、可积性定理 195(可积性) 若二元函数 yxf,在矩形区域 R=dba,上连续，则函数 xI=dcyf,和 J=badf,分别在 ,和 c,上可积证明 由 , 的连续性即知 .定理 196(可积性) 若二元函数 yxf,在矩形 R=dba,上连续，则 badxcf,=dcbaxyf,.证 记 uI1acyf,， uI2dcuaf,其中 bau,，现分别求 与 I2的导数.dI1IxIa，对于 uI2，令 yH,=uadxf,，则有 uI2dcyH,，因为 ,与 u= f,都在 R上连续，由定
7、理 193I2=uIdyfyudydccdc ,，故得 uI1= ， ba,，又 I1= 02a，即 = 2， ，取 u即得所欲证三、 应用的例例 1 求 120limxd.洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案5解 记 I12xd，由于 ， 1， 21x连续，所以120limxd 4102.例 2 计算积分I=102lndx.解 考虑 I102lx，由定理 193102dxI=dxx102221=lnl1arctn12 x= l242，所以10dI=dx1021ln24=arctlnln82I= 1l4I，另一方面 0dI= 10II，所以 I= 12ln8，例 3 设 xf在 0的某个邻
8、域内连续，验证当 x充分小时，函数 x=xndtftn01!的各阶导数存在，且 n= f解 tF,= tfxn1及其偏导数 txF,在原点的某方邻域内连续，洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案6x= xndtftn021! tfxn1!=ntft02!1，所以 xk= xkndtft01!1，n1=dtf0，故 xn= f.例 4 求 I=10lab.解 baydx=xabln，所以I=10lxb=10bayd= bayx10= bady= ab1ln，注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.思考题:1根据本节的各定理，在一般的区间 I上含参量的正常
9、积分的分析性质有些什么样的结论？2能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？作业 教材 178:16.洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案72 含参量反常积分教学目的 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法教学要求(1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法(2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法教学建议 (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的
10、一致收敛性(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结教学程序定义 设函数 yxf,定义在无界区域 R= ycbxay, 上，若对ba,内每一个固定的 ，反常积分 cdxf,都收敛，则它的值定义了 ba,上一个 x的函数，记 xI= cyf,， ba, . （1）称（1）式为定义在 ba,上的含参量 x的无穷限反常积分.一、 一致收敛概念及其判别法（一） 、一致收敛的定义 定义 1 若含参量的反常积分（1）与函数 xI对任给
11、的正数 ，总存在某个实数 cN，使得当 NM时，对一切 ba,，都有cxIdyf,，即洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案8Mdyxf,，则称含参量的反常积分（1）在 ba,上一致收敛于 xI（二） 、一致收敛的柯西准则定理 19.7 含参量的反常积分（1）在 ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数 ，总存在某个实数 c，使得当 A21时，对一切 xba,，都有 21,AxIdyf.例 1 证明参量的反常积分 0sindyx在 ,上一致收敛（其中 ） ，但在 ,上不一致收敛证 令 xyu， Adysin= Axusi，其中 0A，由于 0sindu收敛，故对任给的 0，总存在正数 M，使当
12、 时就有Ai.取 A，则当 A时，对一切 0x，有Adysin，所以 0sindyx在 0上一致收敛再证0iy在 ,上不一致收敛按定义只要证明：存在某一正数0，使对任何实数 cM，总相应地存在某个 MA及某个 ,0x，使得0sinAdyx，因 0sindu收敛，故对任何正数 0与 c，总相应地存在某个 0x，使得洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案900sinsiduuMx，即有00sinduMxdusin00si，令 210i0,则可得yixi0002sindu，所以 0sindyx在 ,上不一致收敛（三） 、一致收敛的充要条件定理 19.8 含参量的反常积分（1）在 ba,上一致收敛的
13、充要条件是：对任一趋于 的递增数列 nA（其中 c1） ，函数项级数1,nAdyxf=1nxu在 ba,上一致收敛证 必要性由（1）在 ba,上一致收敛，故对任给的正数 ，必存在cM，使当 MA时，对一切 xba,总有Adyf,， （ 8）又由 n，所以对正数 ，存在正整数 N，只要 Nnm时，就有 Am由（8）对一切 xba,，就有1 1,mnnAAn dyxfdyfux，这就证明了级数(7)在上一致收敛.充分性略（四） 、一致收敛的 M判别法设有函数 yg，使得 xgyf,， ba， yc，若 cd收敛，则 cdxf,在 b,上一致收敛（五） 、一致收敛的狄里克莱判别法洛阳师范学院 数学科
14、学学院 数学分析教案10（）对一切实数 cN，含参量的反常积分Ncdyxf,对参量 x在 ba,上一致有界，即存在正数 M，对一切， 及一切 ba,，都有dyxfNc,；（）对每一个 xba,，函数 yxg,关于 是单调递减且当 y时，对参量 x， g,一致地收敛于 0，则含参量的反常积分cdyxf,在 ba,上一致收敛（六） 、一致收敛的阿贝尔判别法（）设cdyxf,在 ba,上一致收敛；（）对每一个 ，函数 yxg,关于 是单调函数，且对参量 x，yxg,在 ba,上一致有界，则含参量的反常积分，cdyxf,在 ba,上一致收敛例 2 证明含参量的反常积分021cosyx在 ,上一致收敛证 由 221cosx，因 02d收敛和一致收敛的 M判别法即可得例 3 证明含参量的反常积分0sinyxey在 d,0上一致收敛证 由 0sindx收敛从而一致收敛， 1xyxye，yx,及对每一 dy,0单调，据阿贝尔判别法即得例 4 证明：若 xf,在 ,cba上连续，又cdyxf,在 ba,上一致收敛，但在 b处发散，则cdyxf,在 ba,上不一致收敛
