1、洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案1第十八章 隐函数定值及其应用1 隐函数教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法教学要求(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法(2)掌握隐函数定理的证明教学建议(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求教学程序一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.（一） 、隐函数及其几何意义: 以 为例作介绍.0),(yxF（二） 、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性；
2、2 隐函数的解析性质.二、 隐函数存在条件的直观意义:三、 隐函数定理:定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:1 函数 在以 为内点的某一区域 D 上连续 ;),yxF),(0yxP2R2 ; ( 通常称这一条件为初始条件 )(03 在 D 内存在连续的偏导数 ; ),(yxF4 .),(0yxF则在点 的某邻域 ( ) D 内 , 方程 唯一地确定一个定义在某区0PP0),(yx间内的隐函数 , 使得) , (00x)(fy洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案21 , 时 ( )且 )(0yxf) , (00x) ,xf0P.(fF2 函数 在区间 内连续 .)(xf )
3、 , (00x例 1 设 ， ， 及 ，证明vw2uy2vz2 ),(),(wvuFzyxfwzx Fff 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对uvzy22 ),(,vuzyx各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得， 即 udvzwyx2dvzuvdzwyydxvdx22故 wzvuyxvu 0 2 0 zuvyx将函数组代入方程 ，得关于变元 的方程),(),(Fyxfwv,，)(,uFvzv在这方程两边分别对 求偏导，得wu, uzyx Ffff, vzv, wzyxffwf将上面三式分别乘以 后再相加，得u,洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案3,zuvfywf2zuvfxf
4、2yuwfxf2.wvuF将 ， ， 代入即得x2y2uvz2.wvzyxff 例 2 若 有连续二阶偏导数，满足方程 ，证明：),(f 22)(yxzxz若把 中 看成 的函数，则它满足同样形状的方程 ),(yxfzzx,.22z证 由 确定 是 的函数，则有 ，方程两边分),(yxfzx, ),(zxyfz别对 求偏导，得zx, （1）xyf0, （2）zf1(1)式再分别对 求偏导，得x, (3)22222 )(0 xyfyfxyff , （4）zyfzfzxf222(2)式再对 求偏导，得, （5）222)(0zyfzyf由（3） （5）式22)(zyfx )( 2222 xyfyfx
5、yfzyf 洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案4)(2)( 2222 xyfyxfzyfzxy (由（5）式)()()( 2222 ffyffzxy,)( 2222 zyxfzyxfzff 由（4）式 222 )()( zxyfzyfzyxf zxyfyfyfyf 2222)()(,)( 222 zxfzxfzfzxf 因为 ，则22)(yxz2)( 222 zyxfzyxfzyffz ,)( 22 yfyfxfxyf结合（4）式得 22)(yfzx 2) 222 zxyfzyfzyxfyfzxf .2)(f即 .22)(zxyxy例 3 设 ，问什么条件下 是 的函数啊？求 。0),(
6、,tzhygtfuuyx, yux,洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案5解 当 对各变元有连续的偏导数，且 时，方程组hg, 0),(tzhg可确定函数组 ，代入 即得 是 的函数 0),(tzhyg)(ytz,(tyxfuuyx,.)(,ytxfu对方程组 求微分，得0),(),tzhgtxfu(3) 021 dthztgydtfzyfx记 ，若 ，由（2） （3）式),(tzgJJ,Jdyhgdygtt 01,hJt zyzy 代入（1）得zyxfdfduJdygtJyhfzt,fhff tztyx dytzfhJgfxfy),(故 ， .xfuu),(tzfJgfy注: 利用一阶微
7、分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些.四、隐函数可微性定理:定理 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内),(yxF存在且连续 . 则隐函数 在区间 内可导 , 且),(yxF)(xf) , (00x洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案6. ),()(yxFf例 1 验证方程 在点 满足隐函数存在唯一0sin21, ) ,(性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . 例 2 . 其中 为由方程 所确定的隐21xyz)(xfy 033axyx函数 . 求 . d例 3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内有连)(xfy0续的导函数 , 且 , .
8、用隐函数定理验证存在反函数 , )xf0)(yf(0xf并求反函数的导数. 五、 元隐函数: n例 4 . 验证在点 存在 是0),(323zyxzyxF ) 0, (z),(yx的隐函数 , 并求偏导数 . 作业 教材 151 页: 15.洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案72 隐函数组教学目的 掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法教学要求(1)掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法(2)理解隐函数组和反函数组定理的证明教学建议 (1) 要求学生熟记隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法(2) 隐函数组和反函数组定理的证明较为繁复，对一
9、般学生可不作要求教学程序一、 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组. 0,222111eydxcvbua设由方程组 确定了 ：),(vuzGF的 函 数是 zyxvu,并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导),(),(zyxvzyxu数？解决方案： 0xvxuxVGUF)0(vuvxxGFU. 求 完全相同。)0(vuxyxGFV xzy V,的 方 法 与 求，及例 设 yxyrrr ,sin,cos求例 uuvuzyx ,2022求二、 隐函数组定理:洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案8分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定条件uv)下拟线性化
10、, 分析可解出 和 的条件 , 得出以下定理 . 定理 的一个邻域内对),(),(),()1 00vuyxPyxGvyxF在 点和设各个变元有连续的偏导数；（2） ；， 0),(0 vyxGF（3） F，G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵： 在点 的秩为vuyxF,0P2。则：存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 0P可以确定唯一的函数： 满；， 0),(),( vuyxvuyx ),(),(yxvyx足： ,(,)(,FG，；并且 u , v 都是关于 x 和 y u , v 都是关于 x 和 y 的连续偏导数的连续偏导数.例 1 设 ， ， 及 ，证明:w22z2 ),()
11、,(wvuFzf.wvuzyx Fff 证 方程组 确定了函数组 ，先求这个函数组对vz22 ),(,vuzyx各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得， 即 udvzwyx2dvzuvdzwyydxvdx22故 wzvuyxvu 0 2 0 zuvyx将函数组代入方程 ，得关于变元 的方程),(),(Fyxfwv,洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案9，),(),(),(),( wvuFvzwuyvxf 在这方程两边分别对 求偏导，得uzyx Ffuffvzvwzyxffwf将上面三式分别乘以 后再相加，得u,zvfyf2zuvfxf2yufxf2wvuF将 ， ， 代入即得x2y2uvz
12、2.wvzyxff 例 2 问：（1）由方程确定的 u , v 是关于 x 和 y022uv的可微函数？（2）由方程确定的 u , x 都是关于 v 和 y 的可微函数？例 3 设 ，问什么条件下 是 的函数啊？求 。0),()tzhygtf ux, yux,解 当 对各变元有连续的偏导数，且 时，方程组, 0),(tzhg0),(tzhyg可确定函数组 ，代入 即得 是 的函数)(ytz,txfuuyx,.)(,(tyzf洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案10对方程组 求微分，得0),(),tzhygtxfu(3) 021 dthztgydtfzyfx记 ，若 ，由（2） （3）式),(tzgJJJdyhgdygtt 01hJt zyzy 代入（1）得zyxfdfduJdygtJyhfztfhff tztyx dytzfhJgfxfy),(故 ， xfuu),(tzfJgfy注: 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。例 4 在方程 ，做变换：022dyzxzywxvyu, 程 ？的 函 数 ， 求 代 换 后 的 方看 作将 vu,三、 反函数组和坐标变换:（一） 、反函数组存在定理:（二） 、坐标变换: 两个重要的坐标变换.作业 教材 P157 1，2，3，5.
