高中数学必修5课后习题答案.doc

1、成功学习网 -2013 人教版 高中 数学必修 5 课后习题解答 第一章 解三角形 1 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习 （ P4） 1、（ 1） 14a ， 19b ， 105B； （ 2） 18a cm， 15b cm， 75C. 2、（ 1） 65A， 85C， 22c ；或 115A， 35C， 13c ； （ 2） 41B， 24A， 24a . 练习 （ P8） 1、（ 1） 3 9 .6 , 5 8 .2 , 4 .2 c mABc ； （ 2） 5 5 .8 , 8 1 .9 , 1 0 .5 c mB C a . 2、（ 1） 4 3 .5 , 1 0 0 .3 ,

2、 3 6 .2A B C ； （ 2） 2 4 .7 , 4 4 .9 , 1 1 0 .4A B C . 习题 1.1 A 组 （ P10） 1、（ 1） 3 8 , 3 9 , 8 0a c m b c m B ； （ 2） 3 8 , 5 6 , 9 0a c m b c m C 2、（ 1） 1 1 4 , 4 3 , 3 5 ; 2 0 , 1 3 7 , 1 3A B a c m A B a c m （ 2） 3 5 , 8 5 , 1 7B C c c m ； （ 3） 9 7 , 5 8 , 4 7 ; 3 3 , 1 2 2 , 2 6A B a c m A B a c m

3、； 3、（ 1） 4 9 , 2 4 , 6 2A B c c m ； （ 2） 5 9 , 5 5 , 6 2A C b c m ； （ 3） 3 6 , 3 8 , 6 2B C a c m ； 4、（ 1） 3 6 , 4 0 , 1 0 4A B C ； （ 2） 4 8 , 9 3 , 3 9A B C ； 习题 1.1 A 组 （ P10） 1、证明 ：如图 1，设 ABC 的外接圆的半径是 R ， 当 ABC 时直角三角形时， 90C 时， ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt ABC 的斜边 AB 上 . 在 Rt ABC 中， sinBC AAB， sinAC BAB即 si

4、n2a AR， sin2b BR所以 2 sina R A ， 2 sinb R B 又 2 2 s in 9 0 2 s inc R R R C 所以 2 s i n , 2 s i n , 2 s i na R A b R B c R C 当 ABC 时锐角三角形时，它的外接圆的圆心 O 在三角形内（图 2）， 作过 OB、 的直径 1AB ，连接 1AC ， 则 1ABC 直角三角形， 1 90ACB ， 1BAC BA C . 在 1Rt ABC 中，11 sinBC BA CAB ， 即1sin sin2a B A C AR ， 所以 2 sina R A ， 同理： 2 sinb

5、R B ， 2 sinc R C 当 ABC 时钝角三角形时，不妨假设 A 为钝角， 它的外接圆的圆心 O 在 ABC 外（图 3） 作过 OB、 的直径 1AB ，连接 1AC . abAOCB（第 1 题图 1） （第 1 题图 2） A 1OBAC成功学习网 -2013 则 1ABC 直角三角形，且 1 90ACB ， 1 180B A C B A C 在 1Rt ABC 中， 12 sinBC R BA C， 即 2 si n( 18 0 )a R BA C 即 2 sina R A 同理： 2 sinb R B ， 2 sinc R C 综上，对任意三角形 ABC ，如果它的外接圆半

6、径等于 R ， 则 2 s i n , 2 s i n , 2 s i na R A b R B c R C 2、因为 cos cosa A b B ， 所以 sin c o s sin c o sA A B B ，即 sin 2 sin 2AB 因为 0 2 ,2 2AB ， 所以 22AB ，或 22AB ，或 2 2 2AB . 即 AB 或2AB. 所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形 . 在得到 sin 2 sin 2AB 后，也可以化为 sin 2 sin 2 0AB 所以 c os( ) sin( ) 0A B A B 2AB，或 0AB 即2AB，或 AB ，得到问题的结论

7、 . 1 2 应用举例 练习 （ P13） 1、在 ABS 中， 3 2 .2 0 .5 1 6 .1AB n mile， 115ABS ， 根据正弦定理，s in s in (6 5 2 0 )A S A BABS 得 s i n 2 1 6 . 1 s i n 1 1 5 2s i n (6 5 2 0 )A S A B A B S S 到直线 AB 的距离是 s i n 2 0 1 6 . 1 s i n 1 1 5 2 s i n 2 0 7 . 0 6d A S （ cm） . 这艘船可以继续沿正北方向航行 . 2、顶杆约长 1.89 m. 练习 （ P15） 1、在 ABP 中，

8、180ABP ， 180 ( ) 180 ( ) ( 180 )B P A A B P 在 ABP 中，根据正弦定理， sin sinA P A BA B P A P B s in (1 8 0 ) s in ( )A P a sin( )sin( )aAP 所以，山高为 s i n s i n ( )s i ns i n ( )ah A P （第 1 题图 3） A 1OB CA成功学习网 -2013 2、在 ABC 中， 65.3AC m， 2 5 2 5 1 7 3 8 7 4 7BAC 9 0 9 0 2 5 2 5 6 4 3 5ABC 根 据正弦定理，sin sinA C B CA

9、 B C B A Csin 65 .3 sin 7 47 9. 8sin sin 64 35A C B A CBC ABC m 井架的高约 9.8m. 3、山的高度为 20 0 sin 38 sin 29 382sin 9 m 练习 （ P16） 1、约 63.77 . 练习 （ P18） 1、（ 1）约 2168.52 cm ； （ 2）约 2121.75 cm ； （ 3）约 2425.39 cm . 2、约 24476.40 m 3、右边 2 2 2 2 2 2c o s c o s22a b c a c bb C c B b ca b a c 2 2 2 2 2 2 222 2 2a

10、b c a c b a aa a a 左边 【类似可以证明另外两个等式】 习题 1.2 A 组 （ P19） 1、在 ABC 中， 35 0.5 17.5BC n mile， 1 4 8 1 2 6 2 2ABC 78 (180 148 ) 110AC B ， 1 8 0 1 1 0 2 2 4 8BAC 根据正弦定理，sin sinA C B CA B C B A Csin 1 7 .5 sin 2 2 8 .8 2sin sin 4 8B C A B CAC BAC n mile 货轮到达 C 点时与灯塔的距离是约 8.82 n mile. 2、 70 n mile. 3、在 BCD 中，

11、 3 0 1 0 4 0B C D ， 1 8 0 1 8 0 4 5 1 0 1 2 5B D C A D B 130 103CD n mile 根据正弦定理， sin sinCD B DCB D B CD 10s i n (1 8 0 4 0 1 2 5 ) s i n 4 0BD 10 sin 40sin15BD 在 ABD 中， 4 5 1 0 5 5A D B ， 1 8 0 6 0 1 0 1 1 0BAD 1 8 0 1 1 0 5 5 1 5ABD 根据正弦定理， sin sin sinA D B D A BA B D B A D A D B，即 sin 15 sin 110

12、sin 55A D B D A B 1 0 s in 4 0 s in 1 5s in 1 5 1 0 s in 4 0s in 1 5 6 .8 4s in 1 1 0 s in 1 1 0 s in 7 0BDAD n mile 成功学习网 -2013 sin 55 10 sin 40 sin 55 21 .6 5sin 11 0 sin 15 sin 70BDAB n mile 如果一切正常，此船从 C 开始到 B 所需要的时间为： 6. 84 21 .6 520 60 10 30 60 86 .9 830 30A D A B min 即约 1 小时 26 分 59 秒 . 所以此船约在

13、 11 时 27 分到达 B 岛 . 4、约 5821.71 m 5、在 ABD 中， 700 kmAB ， 1 8 0 2 1 3 5 1 2 4A CB 根据正弦定理， 700sin 1 2 4 sin 3 5 sin 2 1A C B C 70 0 sin 35sin 12 4AC ， 70 0 sin 21sin 12 4BC 70 0 sin 35 70 0 sin 21 78 6. 89 k msin 12 4 sin 12 4A C B C 所以路程比原来远了约 86.89 km. 6、飞机离 A 处探照灯的距离是 4801.53 m，飞机离 B 处探照灯的距离是 4704.21

14、 m，飞机的高度是约 4574.23 m. 7、飞机在 150 秒内飞行的距离是 1501 0 0 0 1 0 0 0 m3600d 根据正弦定理，s in (8 1 1 8 .5 ) s in 1 8 .5dx 这里 x 是飞机看到山顶的俯角为 81 时飞机与山 顶的距离 . 飞机与山顶的海拔的差是： s i n 1 8 . 5t a n 8 1 t a n 8 1 1 4 7 2 1 . 6 4 ms i n ( 8 1 1 8 . 5 )dx 山顶的海拔是 2 0 2 5 0 1 4 7 2 1 .6 4 5 5 2 8 m 8、在 ABT 中， 2 1 .4 1 8 .6 2 .8A

15、TB ， 90 18.6ABT ， 15 mAB 根据正弦定理，si n 2.8 cos 18.6AB AT，即 15 cos 18 .6sin 2. 8AT 塔的高度为 1 5 c o s 1 8 .6sin 2 1 .4 sin 2 1 .4 1 0 6 .1 9 msin 2 .8AT 9、 32 6 18 97 .8 k m60AE 在 ACD 中，根据余弦定理： 22 2 c o s 6 6A C A D C D A D C D 225 7 1 1 0 2 5 7 1 1 0 c o s 6 6 1 0 1 . 2 3 5 根据正弦定理， sin sinA D A CA CD A D

16、 C sin 57 sin 66sin 0. 51 4410 1. 23 5A D A D CA CD AC 30.96ACD 1 3 3 3 0 .9 6 1 0 2 .0 4A C B 在 ABC 中，根据余弦定理： 22 2 c o sA B A C B C A C B C A C B 221 0 1 . 2 3 5 2 0 4 2 1 0 1 . 2 3 5 2 0 4 c o s 1 0 2 . 0 4 2 4 5 . 9 3 EBACD（第 9 题） 成功学习网 -2013 CBA（第 10 题） 2 2 2 2 2 22 4 5 . 9 3 1 0 1 . 2 3 5 2 0 4

17、c o s 0 . 5 8 4 72 2 2 4 5 . 9 3 1 0 1 . 2 3 5A B A C B CBAC A B A C 54.21BAC 在 ACE 中，根据余弦定理： 22 2 c o sC E A C A E A C A E E A C 221 0 1 . 2 3 5 9 7 . 8 2 1 0 1 . 2 3 5 9 7 . 8 0 . 5 4 8 7 9 0 . 7 5 2 2 2 2 2 29 7 . 8 9 0 . 7 5 1 0 1 . 2 3 5c o s 0 . 4 2 5 42 2 9 7 . 8 9 0 . 7 5A E E C A CAEC A E E

18、 C 64.82AEC 18 0 ( 18 0 75 ) 75 64 .82 10 .18AEC 所以，飞机应该以南偏西 10.18 的方向飞行，飞行距离约 90.75 km . 10、 如图，在 ABC 中，根据余弦定理： 22 2 c o s 3 9 5 4A C B C A B A B B C 22(6 4 0 0 3 5 8 0 0 ) 6 4 0 0 2 (6 4 0 0 3 5 8 0 0 ) 6 4 0 0 c o s 3 9 5 4 224 2 2 0 0 6 4 0 0 2 4 2 2 0 0 6 4 0 0 c o s 3 9 5 4 3 7 5 1 5 . 4 4 k m

19、 2 2 2 2 2 26 4 0 0 3 7 5 1 5 . 4 4 4 2 2 0 0 0 . 6 9 2 42 2 6 4 0 0 3 7 5 1 5 . 4 4A B A C B CBAC A B A C 133.82BAC ， 9 0 4 3 .8 2BAC 所以，仰角为 43.82 11、（ 1） 211sin 28 33 sin 45 32 6. 68 c m22S ac B （ 2）根据正弦定理：sin sinacAC， 36sin sin 66 .5sin sin 32 .8acCA 221 1 sin 66 .5sin 36 sin( 32 .8 66 .5 ) 10 82

20、 .5 8 c m2 2 sin 32 .8S ac B （ 3）约为 1597.94 2cm 12、 212sin2nR n . 13、根据余弦定理： 2 2 2cos 2a c bB ac 所以 2 2 2( ) 2 c os22a aam c c B 2 2 222()a a c bc a c ac 2 2 2 2 2 2 2 2 2 211( ) 4 2 ( ) ( ) 2 ( ) a c a c b b c a m aabcAB C（第 13 题） 成功学习网 -2013 所以 2 2 21 2( )2am b c a ，同理 2 2 21 2( )2bm c a b ， 2 2 2

21、1 2( )2cm a b c 14、根据余弦定理的推论， 2 2 2cos2b c aA bc， 2 2 2cos2c a bB ca所以，左边 ( cos cos )c a B b A 2 2 2 2 2 2()22c a b b c ac a bc a b c 2 2 2 2 2 2 221( ) ( 2 2 )2 2 2c a b b c ac a bcc 右边 习题 1.2 B 组 （ P20） 1、根据正弦定理：sin sinabAB，所以 sinsinaBb A代入三角形面积公式得 21 1 sin 1 sin sinsin sin2 2 sin 2 sina B B CS ab

22、 C a C aAA 2、（ 1）根据余弦定理的推论： 2 2 2cos2a b cC ab由同 角三角函数之间的关系， 2 2 222s in 1 c o s 1 ( )2a b cCC ab 代入 1 sin2S ab C，得 2 2 2 21 1 ( )22a b cS a b ab2 2 2 2 21 ( 2 ) ( )4 ab a b c 2 2 2 2 2 21 ( 2 ) ( 2 )4 a b a b c a b a b c 1 ( ) ( ) ( ) ( )4 a b c a b c c a b c a b 记 1 ()2p a b c ，则可得到 1 ()2 b c a p

23、a ， 1 ()2 c a b p b ， 1 ()2 a b c p c 代入可证得公式 （ 2）三角形的面积 S 与三角形内切圆半径 r 之间有关系式 1 22S p r pr 其中 1 ()2p a b c ，所以 ( ) ( ) ( )S p a p b p crpp （ 3）根据三角形面积公式 12aS a h 所以， 22 ( ) ( ) ( )a Sh p p a p a p aaa ，即 2 ( ) ( ) ( )ah p p a p a p aa 同理 2 ( ) ( ) ( )bh p p a p a p ab ， 2 ( ) ( ) ( )ch p p a p a p a

24、c 成功学习网 -2013 第 一 章 复习参考题 A 组（ P24） 1、 （ 1） 21 9 , 38 51 , 8.69 c mB C c ； （ 2） 41 49 , 10 8 11 , 11 .4 c mB C c ；或 13 8 , 11 49 , 2.4 6 c mB C c （ 3） 11 2 , 38 58 , 28 .02 c mA B c ； （ 4） 20 30 , 14 30 , 22.92 c mB C a ； （ 5） 16 20 , 11 40 , 53 .41 c mA C b ； （ 6） 28 57 , 46 34 , 104 29A B C ； 2、解法

25、 1：设海轮在 B 处望见小岛在北偏东 75 ，在 C 处望 见小岛在北偏东 60 ，从小岛 A 向海轮的航线 BD 作垂 线，垂线段 AD 的长度为 x n mile， CD 为 y n mile. 则 ta n 3 0 ta n 3 08ta n 3 0 ta n 1 5ta n 1 5 88 ta n 1 5x x yy xxxx yy 8 ta n 1 5 ta n 3 0 4ta n 3 0 ta n 1 5x 所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险 . 3、根据余弦定理： 2 2 2 2 c osA B a b ab 所以 22 2 c o sA B a b a b 2 2

26、 2cos2a A B bB a A B 2 2 2 2222 c o s2 2 c o sa a b a b ba a b a b 22 co s2 co saba b a b 从 B 的余弦值可以确定它的大小 . 类似地，可以得到下面的值，从而确定 A 的大小 . 22 c o sc o s 2 c o sbaA a b a b 4、如图， ,CD是两个观测点， C 到 D 的距离是 d ，航船在时刻 1t 在 A 处，以从 A 到 B 的航向航行，在此时测出 ACD 和 CDA . 在时刻 2t ，航船航行到 B 处，此时，测出 CDB 和 BCD . 根 据正弦定理，在 BCD 中，可

27、以计算出 BC 的长，在 ACD 中， 可以计算出 AC 的长 . 在 ACB 中， AC 、 BC 已经算出， A C B A C D B C D ，解 ACD ， 求出 AB 的长，即航船航行的距离，算出 CAB ，这样就可以算出航船的航向和速度 . 5、河流宽度是 sin( )sin sinh . 6、 47.7 m. 7、如图， ,AB是已知的两个小岛，航船在时刻 1t 在 C 处，以从 C 到 D 的航向航行，测出 ACD 和 BCD . 在时刻 2t ，航船航行 （第 2 题） dCDBA（第 4 题） dCDBA（第 7 题） 成功学习网 -2013 EFABCD（第 1 题）

28、到 D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出 C 到 D 的距离是 d ，在 D 处测出 CDB 和 CDA . 根 据正弦定理，在 BCD 中，可以计算出 BD 的长，在 ACD 中，可以计算出 AD 的长 . 在 ABD 中， AD 、 BD 已经算出， A D B C D B C D A ， 根据余弦定理，就可 以求出 AB 的长，即两个海岛 ,AB的距离 . 第 一 章 复习参考题 B 组（ P25） 1、如图， ,AB是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点 E 处，测出图中 AEF ， AFE 的大小，以及 EF 的距离 . 利用正弦 定理，解 AEF ，算出 AE . 在 B

29、EF 中，测出 BEF 和 BFE ， 利用正弦定理，算出 BE . 在 AEB 中，测出 AEB ，利用余弦定 理，算出 AB 的长 . 本题有其他的测量方法 . 2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式： （ 1）已知一边和这边上的高： 1 1 1,2 2 2a b cS ah S bh S c h ； （ 2）已知两边及其夹角： 1 1 1sin , sin , sin2 2 2S ab C S bc A S c a B ； （ 3）已知三边： ( )( )( )S p p a p b p c ，这里2a bp ； （ 4） 已知两角及两角的共同边： 2 2 2s in s in s

30、in s in s in s in,2 s in ( ) 2 s in ( ) 2 s in ( )b C A c A B a B CS S SC A A B B C ； （ 5）已知三边和外接圆半径 R ：4abcS R. 3、设三角形三边长分别是 1, , 1n n n，三个角分别是 , 3 ,2 . 由正弦定理， 11sin sin2nn，所以 1cos2( 1)nn . 由余弦定 理， 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) c o sn n n n n . 即 2 2 2 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )2 ( 1 )nn n n n n n ，化简，得 2 50n

31、n 所以， 0n 或 5n . 0n 不合题意，舍去 . 故 5n 所以，三角形的三边分别是 4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍 . 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数 . （ 1）三边的长不可能是 1,2,3. 这是因为 1 2 3 ，而三角形任何两边之和大于第三边 . （ 2）如果三边分别是 2, 3, 4a b c . 因为 2 2 2 2 2 23 4 2 7c o s 2 2 3 4 8b c aA bc 227 17c os 2 2 c os 1 2 ( ) 18 32AA 2 2 2 2 2 22 3 4 1c o s 2 2 2

32、3 4a b cC ab 在此三角形中， A 是最小角， C 是最大角，但是 cos2 cosAC ， 所以 2AC ，边长为 2,3,4 的三角形不满足条件 . （ 3）如果三边分别是 3, 4, 5a b c ，此三角形是直角三角形，最大角是 90 ，最小角 不等于 45 . 此三角形不满足条件 . （ 4）如果三边分别是 4, 5, 6a b c . 成功学习网 -2013 此时， 2 2 2 2 2 25 6 4 3c o s2 2 5 6 4b c aA bc 2231c o s 2 2 c o s 1 2 ( ) 148AA 2 2 2 2 2 24 5 6 1c o s2 2 4

33、 5 8a b cC ab 此时， cos2 cosAC ，而 0 2 ,AC ， 所以 2AC 所以，边长为 4,5,6 的三角形满足条件 . （ 5）当 4n ，三角形的三边是 , 1, 2a n b n c n 时， 三角形的最小角是 A ，最大角是 C . 2 2 2cos2b c aA bc2 2 2( 1) ( 2 )2 ( 1)( 2 )n n nnn 2 652( 1)( 2)nn52( 2)nn 132 2( 2)n 2 2 2cos2a b cC ab2 2 2( 1) ( 2 )2 ( 1)n n nnn 2 232 ( 1)nnnn 32nn1322ncosA 随 n

34、的增大而减小， A 随之增大， cosC 随 n 的增大而增大， C 随之变小 . 由于 4n 时有 2CA ，所以， 4n ，不可能 2CA . 综上可知，只有边长分别是 4,5,6 的三角形满足条件 . 第 二 章 数列 2 1 数列的概念与简单表示法 练习 （ P31） 1、 n 1 2 5 12 n na 21 33 69 153 3(3 4 )n 成功学习网 -2013 2、前 5 项 分别是： 1,0, 1,0, 1. 3、例 1（ 1）1 ( 2 , )1 ( 2 1, )nn m m Nnan m m Nn *； （ 2） 2 ( 2 , )0 ( 2 1, )n n m m

35、Na n m m N *说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子 . 4、（ 1） 1 ()21na n Zn ； （ 2） ( 1) ()2 nna n Zn ； （ 3）121 ()2n na n Z 习题 2.1 A 组 （ P33） 1、（ 1） 2,3,5,7,11,13,17,19； （ 2） 2 , 6 , 2 2 , 3 , 1 0 , 2 3, 1 4 , 1 5 , 4 , 3 2； （ 3） 1,1.7,1.73,1.732, 1.732050； 2,1.8,1.74,1.733, ,1.732051.

36、 2、（ 1） 1 1 1 11, , , ,4 9 16 25； （ 2） 2, 5,10, 17,26 . 3、（ 1）（ 1）， 4 ， 9，（ 16 ）， 25，（ 36 ）， 49； 12( 1)nnan ； （ 2） 1， 2 ，（ 3 ）， 2， 5 ，（ 6 ）， 7 ； nan . 4、（ 1） 1 ,3,13,53,2132； （ 2） 1 4 1,5, , ,54 5 4. 5、对应的答案分别是：（ 1） 16,21； 54nan；（ 2） 10,13； 32nan；（ 3） 24,35； 2 2na n n . 6、 15,21,28； 1nna a n. 习题 2.1

37、 B 组 （ P34） 1、前 5 项是 1,9,73,585,4681. 该数列的递推公式是： 111 8 , 1nna a a .通项公式是： 817nna . 2、 1 1 0 (1 0 .7 2 ) 1 0 .0 7 2a ； 22 1 0 (1 0 .7 2 ) 1 0 .1 4 4 5 1 8a ； 33 1 0 (1 0 .7 2 ) 1 0 .2 1 7 5 5 9a ； 1 0 (1 0 .7 2 )nna . 3、（ 1） 1,2,3,5,8； （ 2） 3 5 8 132, , , ,2 3 5 8 . 2 2 等差数列 练习 （ P39） 1、表格第一行依次应填： 0.5， 15.5， 3.75；表格第二行依次应填： 15， 11 ， 24 . 2、 1 5 2 ( 1) 2 1 3na n n ， 10 33a . 3、 4ncn 4、（ 1）是，首项 是 11ma a md ，公差不变，仍为 d ； （ 2）是，首项是 1a ，公差 2d ；（ 3）仍然是等差数列；首项是 716a a d ；公差为 7d .