一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题一、 实对称矩阵的一些性质引理 1 设 A是实对称矩阵，则 A的特征值皆为实数证：设 是 A的任意一个特征值，则有非零向量满足其中 为 的共轭复数，令又由 A实对称，有 那么由于 是非零复向量，必有故 所以有对于 实对称矩阵 A ，在 n 维欧氏空间 上 定义一个线性变换 取 的如下一组标准正交基记 则 则 在基 下的矩阵为 A，即引理 2 设 A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上定义如上线性变换 ,则对任意 有 或二、 对称变换1定义则称 为 对称变换 设 为欧氏空间 V中的线性变换，如果满足 证：1） n维欧氏空间 V的对称变换与 n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的： 2基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换 一组标准正交基事实上，设 为 V的定义 V的线性变换 ：则 即为 V的对称变换 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵为 V的一组标准正交基，事实上，设 为 n维欧氏空间 V上的对称变换，为 在这组基下的矩阵，即或于是即所以 A为对称矩阵由 是对称变换，有
