1、1第四章 代数系统本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象 代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。主要内容如下：4.1运算 4.3代数系统的同态和同构 4.2代数系统 4.4代数系统的积代数24.1 运算 一、 运算讨论从集合 到 的这一类函数。 在这里 是笛卡尔积，即例 1 设 A=a,b,c,则例 2 设 A=a,b,则
2、3设有集合 和函数 ，于是对于 中的每一个有序 元组 ， ,在 中必有唯一个元素 与之对应，即 定义 设有非空集合 A， 函数 称为 A上的一个 n 元运算。特别，函数 称为A上的二元运算， 称为 A上的一元运算 . 。例如例如 对例 2定义函数 ， 使得对任意的，4例 设有函数 ，对于任意 例如， 例 设有函数 ，对于任意 ，例如 ， ,但减法运算不是正整数集 N上的二元运算 . 5例 3 定义函数 为 。例如 ， 求倒数的运算不能看作实数集上的一元运算。 例 集合的并、交运算可以看作是全集合 U的幂集 上的二元运算。求补集的运算可看作是 上的一元运算。对任意 ， 对任意 , 6二、一元运算
3、和二元运算的表示方法当 A是有限集时， A上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义 。例如 设 上的一元运算 和二元运算 *用运算表定义如下：7三、运算的封闭性定义在集合 A上的运算在 A上一定是封闭的 .定义在集合 A上的运算在 A的子集上是否封闭呢？例 定义函数 ，使 令 显然 ，于是 ， 若 ，则 ， 是否属于 呢？ 对于任意 ， , ， , 这意味着正整数集 N上的运算 *在 N的子集 上也是封闭的 .8令 ，显然 ， 任取 ，且 *是 N上的二元运算，因此 ，但 是否属于 呢？我们取 ，则 ， 因此 运算在的子集 上不封闭。但9定义 设 是集合 A 上的一个二元（或一元）运算， ，若对于每一个序偶 （或对于每一 ）都有 则称运算 在 S上 是封闭的。10四、二元运算的一些常见的性质定义 - 设是非空集合， 和 是 A上的二元运算。（）若对于任意 ，有 ，则称 在 A 上是可交换的。（）若对于任意 ，有 则称 在 A上是可结合的。（）若对于任意的 有则称运算 对运算 是可分配的。
