1、8.1 函数的定义与性质 定义 8.1 设 F为二元关系，若 xdomF 都存在 唯一的yranF 使 xFy成立，则称 F为 函数 。函数也可以称作 映射 。 函数是一种特殊的函数是一种特殊的 二元关系二元关系对于函数 F，如果有 xFy，则记作 y=F(x)，并称 y为 F在 x的值。 单值性例 8.1 设 F1=, F2=, 判断它们是否为函数。解： F1是函数， F2不是函数。因为对应于 x1存在 y1和 y2满足 x1F2y1和 x1F2y2，与函数定义矛盾。 F 是函数（映射） 对于 x1， x2 A， 如果 x1=x2 ，一定有 f(x1) f(x2)。即，如果对于 x1， x2
2、 A有 f(x1) f(x2)，则一定有 x1x2 函数是集合，可以用集合相等来定义 函数的相等 定义 8.2 设 F， G为函数，则 由以上定义可知，如果两个函数 F和 G相等，一定满足下面两个条件：1 domF=domG2 x domF=domG都有 F(x)=G(x)F=G F G G F 例如：函数 F(x)=(x2-1)/(x+1)， G(x)=x-1是不相等的，因为 domF=x|x R x-1 而 domG=R。domFdomG。 定 义 8.3 设 A， B为集合，如果 f为函数，且 domf=A， ranf B，则称 f为 从 A到 B的函数 ，记作 f： AB 。例如 f：
3、 NN ， f(x)=2x是从 N到 N的函数，g： NN ， g(x)=2也是从 N到 N的函数。 定义 8.4 所有从 A到 B的函数的集合记作 BA，读作 “B上 A”。符号化表示为 BA=f | f： AB 例 8.2 设 A=1,2,3， B=a,b，求 BA。解： BA=f0,f1,f 7，其中 f0=, f1=, f2=,f3=, f4=, f5=, f6=, f7=, 由排列组合的知识不难证明：若 |A|=m， |B|=n，且 m,n0,则 |BA|=nm。当 A或 B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况： |A|=3， |B|=2，而 |BA|=23=8 1. A=
4、 且 B= ，则 BA= =。3. A 且 B= ，则 BA= A= 。2. A= 且 B ，则 BA=B =。定 义 8.5 设函数 f： AB ， A1 A， B1 B。(1) 令 f(A1)=f(x)|x A1，称 f(A1)为 A1在 f下的像 。特别的，当 A1=A时称 f(A1)为 函数的像 。 (2) 令 f-1(B1)=x|x A f(x) B1，称 f-1(B1)为 B1在 f下的完全原像 。 注意区别 : 函数的值和像两个不同的概念。函数值 f(x) B，而像 f(A1) B A1 与 f -1(f(A1)的关系 ？f(A1) B 一般说来 f-1(f(A1)A1，但是 A
5、1 f-1(f(A1) f-1(B1) A 令 A=0,1， B=2， 求 f(A)和 f-1(B) f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2f-1(B)= f-1(2)=1,4 例如函数 f： 1,2,30,1 ，满足 f(1)=f(2)=0,f(3)=1 令 A1=1，那么有 f-1(f(A1)=f-1(f(1)=f-1(0)=1,2 这时 A1 f-1(f(A1)。例 8.3 设 f： NN, 且若 x为偶数若 x为奇数函数的性质 定义 8.6 设 f： AB ，(1)若 ranf=B，则称 f： AB 是 满射 的。(2)若 y ranf 都存在唯一的 x A使得 f(x)=
6、y，则称 f： AB 是 单射 的。(3)若 f： AB 既是满射又是单射的，则称 f： AB 是 双射 的 (或一一映像 )。 f： AB 是满射的：对于任意的 y B，都存在 x A，使得 f(x)=y。 f： AB 是单射的： 对于 x1， x2 A， x1x2，一定有 f(x1)f(x2)。即，如果对于 x1， x2 A有 f(x1)=f(x2)，则一定有 x1=x2 例 8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么 ?(1) f： RR ， f(x)= -x2+2x-1(2) f： Z+R ， f(x)=lnx， Z+为正整数集(3) f： RZ ， f(x)= x 是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在 x=1点取得极大值 0。因此它既不是单射也不是满射的。f： Z+R ， f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为 ranf=ln1， ln2， R。是满射的，但不是单射的，例如 f(1.5)=f(1.2)=1
