1、1组 合数学 练习题 (一 )1. 有 20根完全相同的木棍从左至右 竖 立成一行，占 据 20个位置 . 要从中 选 出 6根 .(1) 有多少种 选择 ？(2) 如果 选 出的木棍中没有两根是位置相 邻 的，又有多少种 选择 ？(3) 如果 选 出的每一 对 木棍之 间 必 须 至少有两根木棍，又有多少种 选择 ？解 (1) 有 种 .2(2) 所 选 出的 6根木棍 实际 上可将 这 20根排成一行的木棍分割成 7段 (加上首和尾 ).设 所 选 左 边 第1根木棍的左 侧 有 x1根未被 选 中的木棍；在第 1 与第 2根所 选 木棍之 间 有 x2根未被 选 中的木棍； ；在第 5
2、与第 6根所 选 木棍之 间 有 x6根未被 选 中的木棍；在第 6根所 选 木棍的右 侧 有 x7根未被 选 中的木棍， 则 由于没有两根 选 出的木棍是相 邻 的，所以3作变量代换则原方程变成这个方程的非负整数解的个数即为所求的选择数4(3) 同 (2)中的分析，此 时 有不定方程仿照 (2)， 这 个方程的非 负 整数解的个数即 为 所求的 选择 数52. (1) 在 2n个物体中有 n个是相同的， 则 从 这 2n个物体中 选 取 n个的方法有几种？(2) 在 3n +1个物体中有 n个是相同的， 则 从 这3n +1个物体中 选 取 n个的方法有几种？解 (1) 若 选 出的物体有
3、个不相同 ,则 其余 n - k个是相同的 ,所以 选 取的方法数 为(2) 类 似于 (1)的分析可知，所以 选 取的方法数 为63. 用 种 颜 色去涂 棋 盘，每格涂一种 颜 色，求使得相 邻 格子异色，首末两格也异色的涂色方法数 .解 用 hn表示所求方法数 .易知用 m种 颜 色去涂 棋盘，每格涂一种颜色， 使得相邻格子异色的涂色方法数有种 ,其中使得首末两格同色的涂色方法有 种 ,所以从而784. 用 种 颜 色去涂 棱 锥 的n + 1个 顶 点 ,每个 顶 点涂一种 颜 色，求使得棱 锥的每条棱的两个端点异色的涂色方法数解 设 V是一个 n棱 锥 ,则 可依如下两个步 骤 去完成 V的 n + 1个顶点的涂色工作 :先涂 顶 点 v0,有 m种涂色方法 ;然后用异于 v0颜 色的 m - 1种 颜 色去涂 顶 点序列 v1， v2， ， vn, 使得相邻顶点异色且首末两个顶点也异色 .9由上题可知 ,完成此步骤的方法有种， 由乘法原理 ,得所求涂色方法数为105. 将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨 这 4种水果装袋，要求各袋有偶数个苹果，最多 2个橘子， 3的倍数个香蕉，最多 1个梨 . 如果每袋装 n个水果，求装袋的种 类 数 .
