1、第 1 章模糊集的基本概念理学院数学系 2-231室张昆模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法 . 众所周知，经典数学是以精确性为特征的 .然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的 . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好 .例如 ,要你某时到某地去迎接一个 “ 大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人 ” .尽管这里只提供了一个精确信息 男人，而其他信息 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人 .模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、
2、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用 .1.2 模糊理论的数学基础一 经典集合 1.经典集合具有两条基本属性： 元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明 ,即一个元素 x要么属于集合 A(记作 xA),要么不属于集合 (记作xA)，二者必居其一 .2.集合的表示法(1)枚举法， A=x1 , x2 , xn；(2)描述法， A=x | P(x).3.集合的包含定义 1A包含于 B： AB 若 xA， 则 xB；A包含 B： AB 若 xB， 则 xA；A等于 B： A=B AB且 AB.定义 2 若 A包含于 B，称 A是 B的 子集 ；不含有任何元素的集合称为 空集 ，用 表示
3、；设有集合 U，对于任意集合 A，总有 AU，则称 U为 全集 .显然，任何非空集合 A，都有两个子集： A及 . 全集是个具有相对性的概念 .4.集合的幂集定义 3集合 A的所有子集所组成的集合称为 A的 幂集 ，记为 (A)，即 (A)=B|BA . 对于有限集合来说， |(A)|=2|A|.5.集合的运算定义 4 并集 ： A B = x | xA或 xB ；交集 ： AB = x | xA且 xB ；余集 ： Ac = x | xA .6.集合的运算规律幂等律： A A = A， AA = A；交换律： A B = B A， AB = BA；结合律： ( A B ) C = A ( B
4、 C )，( AB )C = A( BC )；吸收律： A ( AB ) = A， A( A B ) = A；分配律： ( A B )C = ( AC ) ( BC )；( AB ) C = ( A C )( B C )；0-1律： A U = U ， AU = A ；A = A ， A = ；还原律： (Ac)c = A ；对偶律： (A B)c = AcBc， (AB)c = Ac Bc； 排中律： A Ac = U， AAc = .7.集合的直积定义 5X Y = (x , y )| xX , y Y .例 1 设 X =1, 2， Y = a,b,c. 则XY = (1,a), (1,
5、b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c),YX = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2). 对于有限集合来说， | XY |= | X | |Y |. 二 映射与扩张1.映射定义 6设 X 与 Y是两个 非空集合，如果存在一个对应规则 f ，使得 xX ，有唯一的元素 y Y 与之对应，则称 f 是 X 到 Y 的 映射 ，记为f ： X Y定义域、值域、满映射、一一映射 .2. 集合 A的特征函数特征函数满足： 取大运算 ,如 2 3 = 3取小运算 ,如 2 3 = 2扩张：点集映射 集合变换3. 映射的扩张定义 1.2.10 (点集映射 )设 映射 f ： X Y，则称f ： X (Y) x | f(x) =B (Y)为 X 到 Y的 点集映射 .定义 1.2.11 (集合映射 )设 映射 T： X Y，则称T ： (X) (Y) A| (A)为 X 到 Y的 集合映射 .
