1、第八章 生灭服务系统M/M/n 系统鱼与熊掌兼得？18.1 M/M/n 损失制8.1.1 M/M/n 损失制，无限源 (M/M/n: /n/FIFO) 令从顾客源来的顾客到达率为 ， 每台的服务率为 则有 j = , j=0,1, . , n1; n=0， j = j, j=0,1, . , n 将 j , j 代入生灭方程，得 式中 =/ 称为 业务量 (traffic)， 是无量纲量 ； 表示单位时间内要求系统提供的服务时间； 和 的单位必须一致；由于纪念 Erlang， 用 爱尔兰 作单位 (Erl) 2系统的服务质量 系统的质量用顾客的损失率来度量，有两种度量方法 按时间计算的 损失率
2、 pn，即 单位时间内服务台全被占用的时间 按顾客计算的 损失率 B， 即单位时间内损失的顾客数与到达顾客数之比 在本系统中有 B=pn=En()， 称为 爱尔兰损失公式 不是所有系统都有 B=pn 的性质 工程上经常是已知 ，给定 B， 求所需最少的服务台 n 求 n 一般有三种方法：迭代计算，查图，查表 3求所需服务台的方法1、查图，如书上 P186页2、 迭代计算 无法由 En() 给出 n 的 逆函数，因此采用逐次试算的方法 注意， En() 有较简单的递推公式3、工程上经常采用查表的方法 爱尔兰表最左边一列为服务台数 n， 最上面一行为服务质量的不同等级，即 B 爱尔兰表中元素的值为
3、 ，表示服务台数为 n， 服务质量为 B时，系统最大所能承担的业务量；工程上经常用 A表示 ， A 是 加入话务量4爱尔兰损失表n=3, B=0.01, 查表得 =0.455已知 n 和 如何求 B， 线性内插法 ；例： n=3， =2.5， 由表可知 B 落在 0.20.3 之间，若假设在这区间所承担的业务量与 B 成线性关系，则有 线性内插公式B 2.5=0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281 5例 1 M/M/n 损失制无限源系统，已知 n=3， =5人 /小时，平均服务时长 30分钟 /人 ，试求： (1)系统中没有顾客的概率； (2)
4、只有一个服务台被占用的概率； (3)系统的损失率解 ：由题意可知 =60/30=2人 /小时，所以 =/ =2.5Erl(1) p0=(1+2.5+2.52/2+2.53/3!)1=0.108(2) p1= p0=2.50.108=0.27(3) B=E3(2.5)=p0 3/3!=0.108 2.604=0.28例 2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为 240， 每次通话平均时长为 5 分钟，规定两局间中继线的服务等级为 B 0.01,问： (1) 应配备多少条中继线？ (2)中继线群的 利用率 为多少？解 ：中继线群上的加入话务量为 =240 5/60= 20Erl，(1)查 186页图，
5、n=30条；(2)查爱尔兰表可知： n=30， B=0.01时 可承担 A=20.337，B=0.005 时 可承担 A=19.034， 因此， E30(20)=0.005+0.005 (2019.034)/(20.33719.034)=0.008707中继线群利用率 = (1B)/n=20(1-0.008707)/30=0.660862 6服务台利用率与服务台数量的关系 n 图当给定 n 和 B 后，系统所能承担的业务量 可以通过爱尔兰公式求出，从而可计算出服务台利用率 ；若保持 B 不变，不断增加服务台数 n， 也会发生变化，就可以得到n 图如下；通过观察，有几点结论：1、 B不变时， 随
6、 n 增加；说明大电路群效率高2、 n 不变时， 随 B 增加；说明效率与质量是矛盾的； (高效路由 )3、 具有 边际递减 规律4、 越大，系统抗过负荷能力越差7系统过负荷特性 B 图 过负荷 是指系统加入的业务量 A, 超过给定服务质量所能承担的业务量 A 过负荷用过载业务量与标准应承担的业务量的比值来表示，即 = (AA)/A = A/AEn(A) = B, En(A) = B 由图可见，在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下，大系统的质量劣化严重；说明效率与可靠性是矛盾的8例 3 某服务部门把顾客分为两组，分别组成两个单独的服务系统。各系统的到达率分别为 1 =4人 /小时， 2 =8
7、人 /小时，每人的平均占用时长都为 6 分钟；给定损失率为 B 0.01 ， 试求：(1)分组服务时每组应配备的服务台数； (2)合并为一个服务系统时，各种条件不变，应配备的服务台数； (3)比较两种组织方式的服务台利用率。解 ： (1) 分组时： 1=4 0.1=0.4Erl, 2=8 0.1=0.8Erl查爱尔兰表，得 n1=3台， n2=4台，共需 7台。B1=0.005+0.005 (0.40.349)/(0.455 0.349)=0.0074B2=0.005+0.005 (0.80.701)/(0.869 0.701)=0.00795 = 1(1 B1)+2(1 B2)/(n1+n2
8、)=0.17(2) 合组时： =12 0.1=1.2Erl, 查爱尔兰表，得 n =5台，节省了 2台。B =0.005+0.005 (1.21.132)/(1.3611.132)=0.006485 = (1 B)/n=0.23898.2.1 M/M/n 损失制，有限源 (M/M/n: N/n/FIFO)例 交换机内部有 n 条绳路， N条入中继线， N n； 每条入中继线上的呼叫到达强度为 ，且为波松分布，通话时长为负指数分布 (参数为 )， 问入中继线上呼叫的损失率为多少？上述例子就是一个 M/M/n 损失制，有限源系统。当已经接受绳路服务的中继线在通话中，该中继线上就不会有新的呼叫。因此，整个系统的呼叫到达率是与系统中被服务的中继线数相关的。这就是有限源系统的特点显然，系统在各状态下的到达率和离去率分别为j =(N j), j=0,1, . , n1, n=0， j = j, j=1, . , n将 j , j 代入生灭方程，得10
