1、9.2 等差数列第 1 课时 等差数列的概念与通项公式学习目标 重点难点1知道并记住等差数列的定义；2知道什么是等差中项；3能记住等差数列的通项公式，能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题；4会判断和证明一个数列是等差数列.重点：等差数列的概念和通项公式，以及通项公式的应用；难点：判断和证明一个数列是等差数列；疑点：判断一个数列是否是等差数列.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这样的数列称为_，这个常数叫作数列的_，公差通常用字母_表示预习交流 1如何理解等差数列定义中的两个关键词“从第 2 项起”和“同一个常数”？预习交流 2常
2、数列一定是等差数列吗？2等差中项(1)如果 b _，那么数 b 称为 a 和 c 的等差中项(2)若某三个数成等差数列，则可设这三个数分别为_，x， xd，其中 d 为公差预习交流 3任何两个实数都有等差中项吗？等差中项是唯一的吗？3等差数列的通项公式等差数列的通项公式为_，a 1 为首项，d 为公差预习交流 4你能否利用等差数列的通项公式，得出等差数列中任意两项之间的关系？预习交流 5等差数列的通项公式与一次函数有何关系？预习交流 6判断和证明一个数列是否是等差数列的方法有哪些？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：1等差数列 公差
3、 d预习交流 1：提示：(1) 如果一个数列，不是从第 2 项起，而是从第 3 项，第4 项，起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从第 2 项，第 3 项，起是一个等差数列)(2)如果一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差是常数，那么此数列不一定是等差数列(当常数不同时，不是等差数列)预习交流 2：提示：一定，且公差为 0.2(1) (2)xda c2预习交流 3：提示：任何两个实数都有等差中项，且等差中项是唯一的3a na 1(n1) d预习交流 4：提示：由等差数列的通项公式得 ana 1(n1)d，a ma 1( m1) d(nm)，两式
4、左右两边分别相减，得ana m(nm) d，因此有 d (nm )所以可将等差数列的an amn m通项公式进行变形，即 ana m(nm)d.预习交流 5：提示：由等差数列的通项公式 ana 1(n1) d，可得andn( a1d) ，这里 a1，d 是常数，n 是自变量，a n是 n 的函数如果设 da，a 1db，则 ananb 与一次函数yax b( a0) 对比，点(n，a n)在一次函数 yaxb 的图象上预习交流 6：提示：等差数列的判断方法有以下几种：(1)定义法：a n1 a nd( 常数)(nN *)数列a n是等差数列(2)等差中项法：2a n1 a na n2 (nN
5、*)数列a n是等差数列(3)通项公式法：a nanb( a，b 为常数，nN *)数列a n是等差数列但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法一、等差数列通项公式及其应用求解下列各题：(1)在等差数列a n中，首项 a11，公差d3，那么当 an2 012 时，n 等于( )A671 B672C 673 D674(2)在等差数列a n中，若 a312，a 627，则 a10_.(3)在等差数列 40,37,34，中，第一个负数项是( ) A第 13 项 B第 14 项 C第 15 项 D第 16 项思路分析：利用等差数列的通项公式，建立 a1与 d 的方程组，求出 a1与
6、d 的值，然后解决相关问题在等差数列a n中，求解下列各题：(1)已知 d ，a 78，则 a1_；13(2)已知 a3 0，a 72a 41，则公差 d_；(3)a1 ， d0，且从第 10 项开始每项都大于 1，则此等差数125列公差 d 的取值范围是_1等差数列的通项公式 ana 1(n1) d 中包含了四个量，已知其中的三个量，就可以求得另外一个量2求解等差数列基本计算问题时，主要采用解方程(组) 的思想，即根据已知条件建立关于 a1和 d 的方程组，求出 a1和 d 的值，再解决相关的问题二、等差中项及其应用在1 和 7 之间插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求这三个数思
7、路分析：由题意知，该数列首项为 a11，a 57，根据通项公式可求出公差 d，从而进一步求出第 2,3,4 项，即 a，b，c 的值；也可以根据等差中项先求出 b，再依次使用等差中项，求出 a，c.设 x 是 a 与 b 的等差中项， x2 是 a2 与b 2 的等差中项，则有 ( )Aab Ba3bC a 3b 或 ab Dab01若 a，b，c 成等差数列，则有 2bac ；反之，若 2bac ，则 a，b ，c 必成等差数列2在等差数列a n中，由定义有 an1 a na na n1 ，所以an ，因此等差数列中，从第 2 项起，每一项都是它an 1 an 12前一项和后一项的等差中项三
8、、等差数列的判断与证明已知 ， 成等差数列，求证： ， ， 也成等差数1a1b 1c b ca a cb a bc列思路分析：可根据等差中项的定义，只需证明 2 a cb b ca即可a bc已知 x，y，z 成等差数列，求证：x 2(yz)，y 2(xz )，z 2(yx) 也成等差数列要证明三个数 a，b，c 依次成等差数列，只要证明中间一项是另外两项的等差中项即可，亦即只要证明 ac2b 即可已知数列a n满足 a12，a n1 .2anan 2(1)数列 是否为等差数列？为什么？1an(2)求出 an的表达式思路分析：根据已知条件式，对其两边取倒数，考查 1an 1是否等于一个与 n
9、无关的常数，如果是，那么它就是等差数列；1an然后根据(1)的结论，先求出 的表达式，再求出 an的表达式1an已知数列a n的通项公式为 anpnq，其中 p，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？证明一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1 a nd( d 为常数)，也可以用 2ana n1 a n1 (n2) 进行判断对于“生成数列问题” ，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式1lg( 2)与 lg( 2)的等差中项是( )5 5A B2 Clg D05 52已知等差数列的前 3 项分别是 a1， a，a3，则其一个12通项公式是( ) Aa n2n5，nN *
10、B an2n1，nN *C an2n1，nN *Da n2n3，nN *3等差数列a n中，a 29，a 533，则a n的公差为_4401 是等差数列5，9，13，中的第_项5在公差不为零的等差数列a n中，a 1，a 2 为方程x2a 3xa 40 的根，求 an的通项公式提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：(1)B (2)47 (3)C 解析：(1) 由于ana 1( n 1)d，所以 13( n1)2 012 ，解得 n672.故选 B.(2)设首项为 a1，公差为 d，则有Error!解得Er
11、ror!于是a10a 19d24547.(3)首项 a1 40，公差 d3，所以 an403(n1)433n，令 an433n0，解得 n ，由于 nN *，所以433n15，即第一个负数项是第 15 项迁移与应用：(1)10 (2) (3) d 解析：(1)依题意得12 875 325a16 8，解得 a110；( 13)(2)依题意可得Error!解得 d ；12(3)依题意应有Error!即Error! 解得 d .875 325活动与探究 2：解：(解法一)这五个数构成的等差数列是a n，依题意知 a11，a 57，设公差为 d，则有14d7，解得 d2，于是其第 2,3,4 项，即
12、a，b，c的值分别为：aa 2121，ba 3143，ca 4165.(解法二) 依题意， 1，a，b，c, 7 成等差数列，所以 b 是1 和7 的等差中项，于是 b 3.同理 a 是1 和 b 的等差中项， 1 72所以 a 1，c 是 b 和 7 的等差中项，所以 c 5.故 1 b2 3 72a，b，c 的值分别为 1,3,5.迁移与应用：C 解析：依题意 2xab,2x 2a 2b 2，消去 x 可得2 2a 2b 2，(a b2 )整理得 a22ab3b 20，所以 a3b 或 ab.活动与探究 3：证明：因为 ， 成等差数列，所以 ，1a1b 1c 2b 1a 1c即 2acb(
13、ac )而 b ca a bc c(b c) a(a b)ac c2 a2 b(a c)ac 2 ，所以 ， ， 也成等c2 a2 2acac c2 a2 2acb(a c)2 a cb b ca a cb a bc差数列迁移与应用：证明：因为 x，y ，z 成等差数列，所以 2yxz ，而 x2(yz )z 2(yx)x 2yx 2zz 2yz 2xx 2yz 2yxz(xz)x 2yz 2y2xyz y(xz) 22y 2(xz) ，因此 x2(yz )，y 2(xz) ，z 2(yx)也成等差数列活动与探究 4：解：(1)由 an1 两边取倒数，可得2anan 2 ，即 ，所以 ，因此数
14、列1an 1 an 22an 1an 1 12 1an 1an 1 1an 12是公差为 的等差数列1an 12(2)由于 a1 2，所以 ，由(1) 知，数列 是首项为 ，公差1a1 12 1an 12为 的等差数列，因此 (n1) n，故 an .12 1an 12 12 12 2n迁移与应用：解：由于 anpnq，所以 an1 p(n1)q，于是 an1 a np(n1)q( pnq)p，而 p 是常数，所以数列a n一定是等差数列当堂检测1D 解析：等差中项是 0.lg(r(5) 2) lg(r(5) 2)2 lg(5 4)22A 解析：依题意得 a1a32 a，解得 a2，于12是该数列首项为3，公差为1(3)2，所以通项公式为an32( n1) 2n 5，nN *.38 解析：设公差为 d，则Error!于是 3d24，解得 d8.4100 解析：该等差数列首项为5，公差为4，设401是第 n 项，则有40154(n1)，则有 n100.5解：依题意可得Error!若设公差为 d，则有Error!解得a1d2，所以a n的通项公式为 an2n(n N *)高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
