1、第 2 课时 等差数列的性质及其应用学习目标 重点难点1理解并记住等差数列的性质，能运用性质解决计算问题；2能够综合运用等差数列的通项公式和有关性质解决等差数列中的有关问题；3能够运用等差数列知识解决实际问题.重点：等差数列的性质及其应用，等差数列中的计算问题；难点：等差数列性质的灵活运用；疑点：等差数列的实际应用.预习交流 1若数列a n是公差为 d 的等差数列，那么数列a 2n，a 2n1 是否还是等差数列？预习交流 2在等差数列a n中，项的序号成等差数列的项是否也构成等差数列？预习交流 3若a n，b n是公差分别为 d1，d 2的等差数列，那么数列panqbn仍然是等差数列吗？预习交
2、流 4在等差数列a n中，若 mnpq，那么 ama n与 apa q有何关系？特别地，若 mn2t，那么 ama n与 at有何关系？预习交流 5在等差数列a n中，若 mpq，那么 ama pa q成立吗？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习交流 1：提示：数列a 2n，a 2n1 还是等差数列，且公差都是 2d，这是因为 a2n2 a 2na 1(2n1) da 1(2n 1)d2d，同理a2n1 a 2n1 2d.预习交流 2：提示：构成等差数列，即若 n1，n 2，n 3，成等差数列，那么an1，an 2，an 3，也
3、成等差数列预习交流 3：提示：是，且公差为 pd1qd2.预习交流 4：提示：在等差数列a n中，若 mnpq(m，n，p，qN *)，则 ama na pa q.特别地，若 mn2t，则有 ama n2a t.证明：左边2a 1(mn2)d，右边2a 1(pq2)d.mnpq， 左边右边即ama na pa q.当 mn2t 时，有 ama na ta t2a t.预习交流 5：提示：a ma 1(m1)d，a pa q2a 1( pq2)d2a 1( m2) d，因此只有当 a1d 时，才有 ama pa q，故ama pa q不一定成立一、等差数列的性质及其应用(1)已知等差数列a n中
4、，a 510，a 1525，求 a25 的值(2)已知等差数列a n中，a 3a 4a 5a 6a 770，求 a1a 9 的值思路分析：(1)一方面，题目中涉及到的三项的下标有关系：525215，所以 a5a 252a 15，从而可求得 a25的值；另一方面，题目中涉及到的三项的下标 5,15,25 构成等差数列，所以a5，a 15，a 25也构成等差数列，据此可以求得 a25的值(2)已知条件中共有 5 项相加，且下标满足37462519，由等差数列的性质知a3a 7a 4a 62a 5a 1a 9，因此可先求出 a5的值，再求出a1a 9的值1已知数列a n，b n都是等差数列，且a14
5、，b 13，a 24b 247，则 a12b 12 的值等于( ) A7 B7 C0 D122等差数列a n中，a 25，a 633，则 a3a 5_.3已知数列a n为等差数列，且 a1a 6a 113，则a3a 9_.1一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简，优化解题过程但要注意性质运用的条件，如等差数列a n中，ama na pa q的条件为 mnpq，m，n，p，qN *.2运用等差数列性质解题的关键是分析题目中数列各项的项数序号之间的特点，从这些特点入手，选用相应的性质解决问题二、等差数列中的综合运算问题(1)设a n是公差为正数的等差数列，若a1a 2a 315，a 1a2a38
6、0，则 a11a 12a 13( ) A120 B105C 90 D75(2)设a n是等差数列，且a2a 5a 8a 1127，a 6a 9a 12a 1551，则其公差d_.思路分析：(1)由 a1a 2a 315，a 1a2a380，结合等差数列的性质可先求出 a2的值，从而得到 a1a 3，a 1a3的值，解方程组可得首项和公差，然后再求出 a12的值，结合性质可得 a11a 12a 13的值；(2)已知的两个和式都是 4 项相加，且对应的每一项在该等差数列中都相差 4d，可采用整体相减的办法求出公差已知a n为等差数列，a 1a 3a 5105，a 2a 4a 699，则 a20等于
7、( )A1 B1C 3 D7求解等差数列中的这类综合计算问题，既要充分利用通项公式，又要善于运用等差数列的性质简化运算，还要注意整体思想的灵活运用三、等差数列在实际中的应用某公司经销一种数码产品，第一年可获利 200 万元从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路分析：依题意该公司每年的获利构成等差数列，公差为20，因此可利用等差数列的知识解决第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，以后每 4 年举行一次，如因故不能举行，届数照算，那么 2012 年伦敦奥运会
8、是第( )届A27 B28 C29 D30求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的定义、通项公式、单调性及等差数列与一次函数的关系等解决问题1(2012 辽宁高考，文 4)在等差数列a n中，已知a4a 816，则 a2a 10( )A12 B16 C20 D242若a n是等差数列，给出数列：a ；|a n|；2n an1 a n；a nn，则仍然是等差数列的个数是( ) A1 B2 C3 D43在等差数列a n中，a 5120，则a2a 4a 6a 8_.4已知等差数列a n共有 10 项，其奇数项之和为 10，偶数项之和为 30，则公差是_5已知数列a n满足 a
9、11，且 an an1 n(n2，且 nN *)，13 (13)求数列 an的通项公式提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)(解法一)由于 525215，所以在等差数列 an中有 a5a 252a 15，从而 a252a 15a 52251040.(解法二) 由于 5,15,25 成等差数列，所以 a5，a 15，a 25也构成等差数列，因此 a25a 15a 15a 5，即 a25252510，解得 a2540.(2)由等差数列的性质知 a3a 7a 4a 62a 5a 1a 9，所以a3a
10、4a 5a 6a 75a 570，于是 a514，故 a1a 92a 528.迁移与应用：1A 解析：由于数列a n，b n都是等差数列，所以a nb n也是等差数列，而 a1b 14(3)7a 24b 24，所以a nb n是常数列，故 a12b 127.238 解析：a 3a 5a 2a 653338.32 解析：数列a n为等差数列，a 1a 112a 6，3a 63，得 a61，a 3a 92a 62.活动与探究 2：(1)B (2) 解析：(1)a n是等差数列，所以32a1a 32a 2，于是 a1a 2a 33a 215，得 a25，因此可得Error!又因为公差为正数，所以Er
11、ror!Error!所以Error!故a11a 12a 133a 123(2113)105.(2)由于 an是等差数列，所以( a6a 9a 12a 15)(a 2 a5 a8a 11) 5127，即 16d24，故 d .32迁移与应用：B 解析：设公差为 d，则(a 2a 4a 6)(a 1a 3a 5)3d991056，即 d2.又 a1a 3a 5105，所以3a3105，即 a335，可求得 a139，因此 a20392191.活动与探究 3：解：设第一年获利为 a1，第二年获利为a2，第 n 年获利为 an，依题意 ana n1 20，所以数列a n构成等差数列，且 an20020
12、(n1)22020n，若 an0，则该公司经销这一产品将亏损令 22020n0，则 n11，故从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损迁移与应用：D 解析：依题意知举行奥运会的年份数构成以 1 896 为首项、4 为公差的等差数列，通项公式为 an1 8964(n1) ，令 2 0121 8964(n 1)，解得 n30.当堂检测1B 解析：由等差数列的性质知，a 2a 10a 4a 816，故选 B.2B 解析：数列仍然是等差数列3480 解析：a 2a 4a 6a 84a 5480.44 解析：已知两式相减，得 5d20d4.5解：由 an an1 n两边同乘以 3n可得13 (13)3nan3 n1 an1 1，即 3nan3 n1 an1 1，因此数列3 nan是等差数列，又因为 3a13，所以 3nan3(n1)n2，故 an .n 23n高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
