1、第 3 课时 等差数列的前 n 项和公式学习目标 重点难点1记住等差数列的前 n 项和公式，会推导等差数列的前n 项和公式；2能利用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的计算问题；3能够利用等差数列的五个基本量 a1，d，n，S n，a n之间的关系解决计算问题；4能够解决等差数列前 n 项和的最值问题.重点：等差数列前 n 项和公式及其应用，等差数列前 n项和的最值问题；难点：等差数列前 n 项和的最值问题的解法；疑点：等差数列的通项公式和前 n 项和公式.等差数列的前 n 项和公式等差数列前 n 项和公式是 Sn na 1 d.n(a1 an)2 n(n 1)2预习交流 1等差数列前 n
2、 项和的两个公式有何异同点？如何选用两个公式？预习交流 2等差数列前 n 项和公式与二次函数解析式有何关系？预习交流 3若一个数列a n的前 n 项和 SnAn 2BnC (A，B，C R )，那么该数列一定是等差数列吗？预习交流 4等差数列a n的前 n 项和 Sn是否一定存在最大值或最小值？怎样求解最值？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习交流 1：提示：两个公式的共同点是需要知道 a1和 n，不同点是公式Sn 还需要知道 an，而公式 Snna 1 d 还需要知道n(a1 an)2 n(n 1)2d.一般地，当已知首项、末
3、项和项数时，选用公式 Sn ；n(a1 an)2当已知首项、公差和项数时，则选用公式 Snna 1 d.n(n 1)2预习交流 2：提示：由等差数列的前 n 项和公式 Snna 1 d，可得n(n 1)2Sn n2 n.若设 a ，ba 1 ，则有 Snan 2bn.由此可知：d2 (a1 d2) d2 d2当 a0，即 d0 时，S n是关于 n 的二次函数，其中点(1，S 1)，(2， S2)，(3，S 3)， (n，S n)是二次函数 yax 2bx 图象上的一群孤立的点预习交流 3：提示：当 C0 时，该数列a n一定是等差数列；当 C0 时，该数列一定不是等差数列，但从第 2 项起是
4、等差数列预习交流 4：提示：当 d0 时，a n递增，S n必有最小值；当 d0 时，a n递减，S n必有最大值可借助二次函数的对称轴求解 Sn的最值，也可通过分析a n中正项、负项的变化情况求 Sn的最值一、等差数列前 n 项和的基本运算(1)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，且 a11，a 47，则S9_.(2)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 S33，S 624，则a9_.思路分析：利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，建立关于基本量 a1，d 的方程组，求出 a1，d 的值再套用相关公式进行计算求解1设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a23，a 59，
5、则 S5等于( )A15 B20 C25 D302已知 Sn为等差数列a n的前 n 项的和，a 2a 54，S 721，则 a7 的值为( ) A6 B7 C8 D9a1，n，d 称为等差数列的三个基本量，a n和 Sn都可以用三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，a n，S n可知三求二，利用方程( 组)的思想，在具体求解过程中要注意与等差数列的性质相联系，利用整体思想解题，可简化运算二、等差数列前 n 项和的最值问题已知a n为等差数列，a 125，S 17S 9，求前 n 项和 Sn的最大值思路分析：(思路一) 题目中 a1已知，由 S17S 9求出公差 d，从而得到 Sn的表达式，
6、利用求二次函数的最值的方法，结合对称轴进行求解(思路二) 题目中 a1已知，由 S17S 9求出公差 d，从而得到 an的表达式，然后利用 an找出数列中正负项的分界项，从而求出 Sn取最大值时 n 的值，然后得到 Sn的最大值(思路三) 由 S17S 9可知 a10a 11a 170，然后利用等差数列的性质，找出数列中正负项的分界项，从而求出 Sn取最大值时 n的值，然后得到 Sn的最大值已知数列a n为等差数列，且 an2n26，则当其前 n 项和 Sn取最小值时，n 的值等于( )A12 B12 或 13C 13 或 14 D13一般地，在等差数列a n中，若 a10，d0，则其前 n
7、项和有最大值；若 a10，d0，则其前 n 项和有最小值，具体求解方法有以下几种：(1)利用 Sn n2 n，二次函数配方法求得最值以及取最d2 (a1 d2)值时 n 的值；(2)利用等差数列的性质，找出数列中正负项的分界项利用an，当 an0，d0 时，前 n 项和有最大值，可由 an0，且an1 0，求得 n 的值；当 an0，d0 时，前 n 项和有最小值，可由 an0，且 an1 0，求得 n 的值1设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，公差 d2，若S10S 11，则 a1( )A18 B20C 22 D242设数列a n是等差数列，且 a2a 3a 415，则这个数列的前 5
8、项和 S5( ) A10 B15C 20 D253已知a n为等差数列，a 1a 3a 5105，a 2a 4a 699，以 Sn表示a n的前 n 项和，则使得 Sn达到最大值的 n 是( ) A21 B20C 19 D184等差数列a n中前 n 项和为 Sn，已知 S525，a 23，则a4_.5已知等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 a310，S 672.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn an30，求数列b n的前 n 项和 Tn.12提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：(1)8
9、1 (2)15 解析：(1)设公差为 d，则a4a 13d13d7，所以 d2.于是 S99a 1 d9982281.982(2)设公差为 d，则Error! 解得Error! a 9a 1 8d15.迁移与应用：1C 解析：设公差为 d，则Error!解得Error!于是 S551225.5422D 解析：设公差为 d，则Error!解得Error!所以a73629，故选 D.活动与探究 2：解：(解法一)设该等差数列的公差为 d，因为a125，S 17S 9，所以 1725 d925 d，解得17162 982d2.于是 Sn25n 2n 226n(n13) 2169，n(n 1)2因此当
10、 n13 时，S n取最大值 169.(解法二) 同解法一先求得 d2，于是 an252(n1)272n.因为 a1250，所以由Error!解得 12.5n13.5.由于nN *，所以 n13，即 a130，a 140，故当 n13 时，S n取最大值，最大值为 S131325 (2)169.13122(解法三) 由于 S17S 9，所以 a10a 11a 170，由等差数列的性质得 a10a 17a 11a 16a 12a 15a 13a 14，所以 4(a13a 14)0，又因为 a1250，所以必有 a130，a 140，因此当 n13 时，Sn取最大值，最大值为 S13169.迁移与
11、应用：B 解析：因为 an2n26，所以a1240，a 130，a 140，所以当其前 n 项和 Sn取最小值时，n的值等于 12 或 13.当堂检测1B 解析：依题意知 10a1 (2)11a 11092(2) ，解得 a120.111022D 解析：由 a2a 3a 415 得 3a315，a 35，于是 S555a 325.a1 a523B 解析：由已知可得 3d(a 2a 4a 6)( a1a 3a 5)991056，所以 d2.又因为 a1a 3a 53a 3105，所以a335，a 1435，所以 a139.由Error!解得 19.5n20.5，所以n20，即 a200，a 210，因此 Sn达到最大值的 n 是 20.47 解析：设公差为 d，则Error!解得Error!于是a41327.5解：(1)设等差数列的公差为 d，S 6 (a1a 6)3(a 3a 4)72，62故 a3a 424，由已知 a310，得 a414，da 4a 34，故 ana 3(n3) d4n2；(2)b n an302n31，T nb 1b 2b n2(12n)1231nn(n1) 31nn 230n，即 Tnn 230n.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
