1、第 4 课时 等差数列前 n 项和公式的应用学习目标 重点难点1记住等差数列前 n 项和的性质，并能用这些性质解决问题；2知道 an与 Sn的关系并能熟记，能用这个关系解决有关问题；3会利用等差数列的知识解决等差数列的一些实际应用问题.重点：等差数列的前 n 项和的性质，a n与 Sn的关系公式及其应用；难点：a n与 Sn的关系公式及其应用，等差数列的实际应用；疑点：a n与 Sn的关系及应用.1等差数列前 n 项和的性质(1)若a n是等差数列，S n是其前 n 项和，则Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，也构成等差数列(2)若a n是等差数列，S n是其前 n 项和，那么 S2n1
2、(2n1) an.预习交流 1若 Sn是等差数列a n的前 n 项和，那么 是否是等差数列？Snn2数列中 an与 Sn的关系已知数列a n的通项公式 an，前 n 项和 Sn，则 Sn与 an有如下关系：anError!预习交流 2等式 anS nS n1 成立的条件是什么？预习交流 3怎样由数列的前 n 项和公式 Sn求出其通项公式 an?在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习交流 1：提示：是，这是因为 Snna 1 d，所以 a 1 dn(n 1)2 Snn n 12n ，故 是公差为 的等差数列d2 (a1 d2) Sn
3、n d2预习交流 2：提示：条件是 n2，因为当 n1 时，S n1 无意义预习交流 3：提示：先由 SnS n1 求出 an(n2)，再根据 a1S 1求出 a1的值，若当 n1 时，a 1S 1也满足“a n式” ，则数列的通项公式可用anS nS n1 来表示；若当 n1 时，a 1S 1不满足“a n式” ，则数列的通项公式应用分段函数来表示一、等差数列前 n 项和的性质设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S39，S 636，则a7a 8a 9( ) A63 B45 C36 D27思路分析：由 S39，S 636 可求出第一个 3 项之和以及第二个3 项之和，然后利用等差数列前
4、 n 项和的性质可求出第三个 3 项之和，即 a7a 8a 9的值若 Sn表示等差数列a n的前 n 项和，已知 ，那么 ( S5S10 13 S10S20)A B19 18C D310 131这类问题采用等差数列前 n 项和的性质进行求解，显得简捷、迅速，当然，也可利用基本量方法进行求解，但过程将复杂，运算量加大2注意是 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，成等差数列，而不是Sn，S 2n，S 3n构成等差数列二、a n与 Sn的关系及其应用已知数列a n的前 n 项和为 Sn2n 23n1.(1)求数列 an的通项公式；(2)数列 an是否为等差数列？思路分析：利用 an与 Sn的关系
5、求出通项公式后再进行判断已知数列a n的前 n 项和 Snn 29n，第 k 项满足 5a k8，则 k( ) A9 B8C 7 D6已知数列的前 n 项和公式 Sn，求 an时应分三步：第一步：利用 a1S 1求 a1；第二步：当 n2 时，求 anS nS n1 ；第三步：检验 a1是否适合 n2 时得到的 an，若适合，则将 an用一个公式表示，若不适合，将 an用一个分段函数表示已知数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足2Sna n4，求证：a n为等差数列，并求出其通项公式2n思路分析：在等式 2Sna n4 中令 n 取 n1，可得另一个2n等式 2Sn1 a n5
6、，两式相减，然后利用 an与 Sn的关系可消2n 1去 Sn，得到 an与 an1 的关系，从而可判断数列是否是等差数列，再根据 a1S 1可求出 a1的值，即得通项公式已知数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足8Sn( an2) 2，求数列 an的通项公式1证明一个数列a n是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明 an1 a nd(nN *)，二是利用等差中项法，即证明：a n2 a n2a n1 (nN *)在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法2已知 an与 Sn的关系公式，求 an
7、时可根据已给出的关系公式，令 nn1 或 nn1，再写出一个公式，然后将两式相减，消去Sn，得到 an与 an1 或 an与 an1 的关系，从而确定数列a n是等差数列或其他数列，然后求出其通项公式三、等差数列的综合应用一支军队有 15 辆军车，某一天依次执行任务第一辆于下午 2时出发，第二辆于下午 2 时 10 分出发，第三辆于下午 2 时 20 分出发，以此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午 6 时停下休息(1)到下午 6 时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是 60 km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？思路分析：各辆车行驶的时间构成了一个等差数列，可
8、用等差数列的通项公式和前 n 项和公式解决问题为了参加运动会的 5 000 m 长跑比赛，李强给自己制定了 10 天的训练计划：第一天跑 5 000 m，以后每天比前一天多跑 400 m那么李强 10 天总共要跑多少米？实际问题中，若出现一组数的相邻两项的差为定值，则可考虑从实际问题中抽象出等差数列模型，把实际问题转化为等差数列问题，然后利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式等知识求解1若 Sn是等差数列a n的前 n 项和，且 S8S 320，则 S11 的值为( )A44 B22 C D8820032已知数列a n的前 n 项和 Sn ，则 a5( ) 1n 1A B C D120 12
9、0 130 1303已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和，且 Sn20，S 2n80，则 S3n( ) A130 B180 C210 D2604若一个等差数列的前 3 项之和为 34，最后 3 项之和等于146，所有项的和为 390，则这个数列一共有_项5已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n1(nN *)，则a5_.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：B 解析：由 S39，S 636 知：a1a 2a 39，a 4a 5a 6S 6S 336927，由等差数列前 n 项和的性质知
10、a1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9仍然构成等差数列，所以 a7a 8a 9227945.迁移与应用：C 解析：S 5，S 10S 5，S 15S 10，S 20S 15成等差数列，由S103S 5，S 156S 5，S 2010S 5， .S10S20 310活动与探究 2：解：(1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 (2n 23n1)2( n1)23( n1) 14n 5，所以数列a n的通项公式为 anError!(2)当 n2 时，a n1 a n4( n1)5(4n5)4，但a2a 1325，所以数列a n不是等差数列迁移与应用：B
11、 解析：当 n2 时，a nS nS n1 n 29n(n1) 29( n1)2n10，当 n1 时，a 1S 18 也适合，所以 an2n10.又因为 5a k8，所以 52k108，解得 7.5k9，故k8.活动与探究 3：证明：令 n1 得 2a1a 14，即21a 2a 130，解得 a13(a 11 舍去)21当 n2 时有 2Sn1 a n5，与 2Sna n4 相减得2n 1 2n2ana a 1，即 a 2a n1a ，( an1) 2a ，因2n 2n 1 2n 2n 1 2n 1此得 an1a n1 或 an1a n1 .若 an1a n1 ，则 ana n1 1，而 a1
12、3，所以 a22，这与数列a n的各项均为正数相矛盾；若 an1a n1 ，即 ana n1 1，因此a n为等差数列，且公差为 1，又 a13，a n3(n1)n2，故a n的通项公式是 ann2.迁移与应用：解：当 n1 时，有 8a1(a 12) 2，解得 a12.当 n2 时，有 8Sn1 (a n1 2) 2，即8Sn1 a 4a n1 4，而 8Sna 4a n4，2n 1 2n两式相减得 8ana a 4a n4a n1 ，所以2n 2n 1a a 4a n4a n1 0，2n 2n 1即(a n an1 )(ana n1 4)0，由于数列a n的各项均为正数，所以 ana n1
13、 0，于是ana n1 40，即 ana n1 4，故数列a n为公差为 4 的等差数列，且 an24(n1) 4n2.活动与探究 4：解：由题意知，第一辆车行驶了 240 分钟，各辆车行驶的时间构成了一个等差数列a n，其中a1240，d10，则 an24010(n1)10n250.(1)因为 a15 2401014100，所以到下午 6 时，最后一辆车行驶了 100 分钟；(2)这支车队当天一共行驶的总时间为 2 550 分钟，15(240 100)2所以这支车队当天一共行驶的路程为 60 2 550 千米2 55060迁移与应用：解：依题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，记为
14、an，则 a15 000，d400.则李强 10 天跑的距离就是该等差数列的前 10 项的和，因此S10105 000 40068 000，即李强 10 天总共要跑 68 1092000 m.当堂检测1A 解析：由 S8S 320 得 a4a 5a 6a 7a 820，因此5a620，所以 a64，故 S1111a 644.2D 解析：a 5S 5S 4 .16 15 1303B 解析：由于 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n仍然构成等差数列，所以 20,60，S 3n80 成等差数列，于是 12020S 3n80，解得S3n180.413 解析：设该数列为a n，S n是其前 n 项和，则a1a 2a 334，a na n1 a n2 146，两式相加得(a 1a 2a 3)(a n an 1a n2 )180 ，即 3(a1a n)180 ，于是 a1a n60.而Sn 390，所以 390，解得 n13.n(a1 an)2 n602516 解析：当 n2 时，由 Sn2a n1 得 Sn1 2a n1 1，两式相减得 an2a n2a n1 ，所以 an2a n1 .又因为 a12a 11，于是 a11，故 a52a 42 2a32 3a22 4a116.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
