专题18最值和定值问题与高考走势.DOC

资源描述

1、 1 专题 18 最值和定值问题与高考走势蒋荣清（台州市教育局教研室浙江台州 318000）【高考展望】最值和定值是反映变量在变化过程中的两个特定状态，最值着眼于变量的最大（或最小）值以及取得最大（或最小）值的条件；定值着眼于变量在变化过程中的不变量最值和定值问题是中学数学解题中碰到的最普遍、最重要的题型之一，并且表现的形式与解决的方法也是千变万化的说它普遍，是最值和定值问题涉及到知识载体有函数、导数、数列、不等式、三角、立体几何、解析几何、向量等，几乎包罗所有知识的方方面面有些应用问题也常以最值作为设问的方式分析和解决最值问题和定值问题的

2、思路和方法也是多种多样的，可以检测学生知识掌握的程度和思维能力层次另一方面，最值问题在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用因此命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则近几年的每一份数学高考试题中，都会出现各种各样的最值问题和定值问题，并且所占的分值均在 10 分 25 分左右，如将取值范围等问题也归类到最值中去，所占比重更大应对最值问题和定值问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，认真分析题目的情景，灵活选择合理的解题方法最值和定值问题仍然是 09 年高考复习的重点与热点问题，既要进行专题归纳，更要在平时的教学中

4、b 与 12b 的等比中项，则 2 2 2 21 4 4 1 4 | | .a b a b a b 1| | .4ab 2 2 24 ( | | 2 | |) 4 | | 1 .a b a b a b 2 22 2 2 | | 4 ( )| | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | |a b a b a b a ba b a ba b a b 22444 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab 11| | 4,4 | |ab ab m a x2 4 2( ) .| | 2 | | 32 4abab 分析三由已知可设 1co s , sin ,2ab则 2|

5、 | 2| |abab sin cos| cos | | sin |，易知只需考虑 sin cos 0 ，故 sin cos| cos | | sin | sin c o s sin c o s 1 1 2sin 22 2 2 42 sin c o s 分析四由已知可设 1co s , sin ,2ab则 2| | 2| |abab sin cos| cos | | sin |设 | cos | | sin |t ，则 2 1| sin cos | ,2t 且 12t ，故 sin cos| cos | | sin | 11()2 t t，由函数单调性得所求最大值为 24 评注本题

6、是二元二次条件最值问题，不易消元分析一是用了二次均值不等式得以解决；分析二是均值不等式与二次函数知识得以解决；分析三是通过三角换元将二个变量化为一个变量，再用均值不等式与正弦函数有界性得到解决；分析四三角换元之后，再次换元解决分析一和分析二均采用了将分子、分母同除以一个式子，将分子变为常数其实这是化繁为简的一个策略运用基本不等式求最值特别要注意等号成立条件另外换元之后，要注意新变量的取值范围例已知双曲线 2 2: 14xCy， P 为 C 上的任意点（ 1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（ 2）设点 A 的坐标为 (3,0) ，求 |

7、PA 的最小值； (2008 年上海理 18) 分析（ 1）设 11( , )Px y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别 20xy和 20xy. 点 11( , )Px y 到两条渐近线的距离分别是 11| 2 |5xy 11| 2 |5xy， 3 它们的乘积是 11| 2 |5xy 221 1 1 1| 2 | | 4 | 4555x y x y. 点 P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数 . （ 2）设 P 点的坐标为 (, )xy ，则 2 2 2| | ( 3)P A x y 22( 3) 14xx 25 12 4()4 5 5x | | 2x ，当 12

8、5x 时， 2|PA 的最小值为 45 ，即 |PA 的最小值为 255 . 评注本题是既有最值又有定值的问题，属中档题涉及到的知识有双曲线渐近线概念，点到直线距离公式，两点间距离公式，二次函数等；容易出错的是第（ 2）小题中 x 的取值范围，因 P 点在双曲线上，隐含着 | | 2x 这一条件如将 A（ 3， 0）改为 A（ ,0a ），求 |PA 的最小值就要对 a 进行分类讨论例 3 求函数2211, , 2211xxyxxx 的最小值分析此函数不熟悉，二条路可选择，一条是对解析式进行变形或通过换元进行化简；另二条通过函数性质入手第一条不太好走，从第二条入手不难

9、知道该函数是奇函数，当 0x 时， 0y ；当 0x 时， 0y ，因此最小值一定在 0x 时取到当 0x 时， 222211()1111 11xxyxx xx ， 1 ,02x ， 2211xxy 在 1 ,02 上为增函数，因此当 12x 时，m in 11()53y 评注求函数最值的重要依据是函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性、连续性等）；研究函数单调性另一个重要方法就是利用导数这一利器，本题也如此 222 0(1 )(1 )y xx， 2211xxy 在 11 , 22 上单调递增例 4 请您设计一个帐篷它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六

10、棱锥（如右图所示）试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ (2006 年江苏理 ) 分析在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考4 虑建立目标函数，转化为求函数的最值将帐蓬的体积用 x 表示（即建立目标函数），然后求其最大值解设 OO1 为 x m ，则 41 x 由题设可得正六棱锥底面边长为： 222 28)1(3 xxx ，故底面正六边形的面积为： (436 22 )28 xx = )28(2 33 2xx ，帐篷的体积为： 233( ) (8 2 )2V x x x 1)1(31 x )1216(23 3xx

11、求导得 23( ) (12 3 )2V x x 令 ( ) 0Vx ，解得 2x （不合题意，舍去）， 2x ，当 21 x 时， ( ) 0Vx ， ()Vx为增函数；当 42 x 时， ( ) 0Vx ， ()Vx为减函数当 2x 时， ()Vx最大答：当 OO1 为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为 316 3m 评注本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力例 5 已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F， A、 B 是抛物线上的两动点，且 AF FB （ 0）过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 FM AB

12、为定值；（）设 ABM 的面积为 S，写出 S f()的表达式，并求 S 的最小值 (2008 年上海理 18) 分析本题是解析几何中最常见的一种题型，探索定值及参数取值范围问题，由抛物线方程已知，可得焦点 F 的坐标；若直线 AB 平行于 x 轴，易得 FM AB 的值为 0，可由此特殊情况猜想结论，用作参变量，然后根据直线与圆锥曲线的相交问题进行处理即可解决第一问由第一问的结果得出第二问的面积可表示成参数的函数关系式，由此关系式求得面积的最小值解 ( )由已知条件，得 F(0， 1)， 0 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由 AF FB ，即得 ( x

13、1， 1 y) (x2， y2 1)， x1 x2 1 y1 (y2 1) O 1O5 将式两边平方并把 y1 14 21x ， y2 14x22 代入得 y1 2y2 解、式得 y1 ， y2 1，且有 x1x2 x22 4y2 4，抛物线方程为 y 14x2，求导得 y 12x 所以过抛物线上 A、 B 两点的切线方程分别是 y 12x1(x x1) y1， y 12x2(x x2) y2，即 y 12x1x 14x12， y 12x2x 14x22 解出两条切线的交点 M 的坐标为 (x1 x22 ， x1x24 ) (x1 x22 ， 1) 所以 FM AB (x1 x22 ， 2

14、)(x2 x1， y2 y1) 12(x22 x12) 2(14x22 14x12) 0 所以 FM AB 为定值，其值为 0 ( )由 ( )知在 ABM 中， FM AB，因而 S 12|AB|FM| |FM| 2 2 2 2121 2 1 2111( ) ( 2 ) 42 4 4 2xx x x x x = 122yy 1 2 1 因为 |AF|、 |BF|分别等于 A、 B 到抛物线准线 y 1 的距离，所以 |AB| |AF| |BF| y1 y2 2 1 2 ( 1)2 于是 S 12|AB|FM| ( 1)3，由 1 2 知 S 4，且当 1 时， S 取得最小值 4 评注审

15、题时须考虑如下问题： 1)弄清问题的已知条件和未知条件； 2)注意题目的隐含条件； 3)弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互联系； 4)思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似 . 本题融向量运算、导数的几何意义、运用基本不等式求最值、抛物线的几何性质于一体 .考查运用所学知识与方法综合分析解决问题的能力 . 因最值与定值问题枚不胜举，现将常见问题总结如下： 1函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性的最值问题）最后总是转化为函数 (特别是二次函数 )的最值问题求函数最值的方法有：函数性质法 (单调性、

16、奇偶性、周期性、有界性等 )、均值不等式法、导数法、判别式法、图象法等 6 2 与向量、线性规划有关的最值问题要充分发挥图形直观性作用 3不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题 ()f x m 恒成立，即 min)(xf m ；()f x m 恒成立，即 max)(xf m 4 定值问题往往出现在以解几或立几为背景的题目中解决方法通常是先由一个或几个特例找到定值，再进行一般性的论证【精题集粹】 1 若实数 xy，满足1000xyxyx ，则 223log ( 2)z x y 的最大值是 ( ) A 3log2 B 3 C 1 D 3log1.5 2 用长度分别为 2、 3

17、、 4、 5、 6（单位： cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( ) A 85 cm2 B 610 cm2 C 355 cm2 D 20 cm2 3 设集合 1 2 3 4 5 6M ，，，，，， 12 kS S S，，，都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 i i iS a b ，， j j jS a b ，（ ij ， 1 2 3 i j k、，，，，），都有 m i n m i n jjiii i j jababb a b a ，，（ min xy，表示两个数 xy，中的较小者），

18、则 k 的最大值是 ( ) A 10 B 11 C 12 D 13 4 设两个向量 22( 2 , c o s )a 和 ( , sin ),2mbm 其中 ,m为实数 .若 2,ab 则 m的取值范围是 ( ) A 6,1 B 4,8 C. ( ,1 D 1,6 5已知抛物线 C 的方程为 2 2 ( 2 1)y x m x m (m R)，则抛物线 C 恒过定点 . 6 满足条件 BCACAB 2,2 的三角形 ABC 的面积的最大值 . 7 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4510, 15SS，则 4a 的最大值为 _ 8 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，

19、底面为直角三角形， ACB 90， AC 6， BCCC1 2 ， P 是 BC1 上一动点，则 CP PA1 的最小值是 _ 9已知2211l og ( ) l og ( ) ( 2 4)a ay a x ax x 的最大值为 0，最小值为 18 ，求 a 的值 PC1B1A1CAB7 10已知函数 0 xbxaxxf ，其中 Rba , . （）若曲线 xfy 在点 2,2 fP 处的切线方程为 13 xy ，求函数 xf 的解析式；（）讨论函数 xf 的单调性；（）若对于任意的 2,21a，不等式 10xf 在 1,41上恒成立，求 b 的取值范围 . （ 2008 年天津高考理科

20、 20） 11 若 A、 B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦” .已知当 x2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“相关弦” .给定 x02. （ I）证明：点 P（ x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同； (II) 试问：点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0 表示）：若不存在，请说明理由 .（ 2008 年湖南高考理科）【参考答案】 1.C 2. 3.B 4.A 5.(-1,0) 6.22 7.4 8.52 9.12 10.（ I） 8( ) 9f x x x ( ) ()fx 在 ( ,)a ， ( ),a 上是增函数，在( ,0)a ， (0, ) 上是减函数 ( )( 7,4 11 （ I）所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2 ( )当 x03 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（ x0-1）；当 2 x0 3 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值 .

展开阅读全文