1、致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案考点专题二 平面向量与复数（2）【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查 12 题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查 12 题，所占分值比例约为 4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考内容.此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.【知识梳理】重难点1.复数的相等：两个复数 ，当且仅当 且),(),(21 RdcizRbaiz ca时， 特别地，当且仅当 时，db.21z 0.0ba2.
2、复数的模：复数 的模记作 或 ，有),(1izzbi.2baiz3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数的共轭复数记作 、 互为共轭复数.zz,如果 ，则有 的充要条件是 是纯虚数的充要条),(Rbaibiazz;件是 且z.04.复平面在平面直角坐标系中，可以用点 ),(baZ表示复数 ，建立直角坐标系),(1Rbaiz来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称 、 轴分别为实轴和虚轴，并且复数集xy和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系.C5.实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式 时，实系数一元二次042acb方程
3、 且 在复数集中有一对互相共轭的虚数根Rcbaxa,(02 )0.42ib致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案易错点1.在进行复数计算时，要灵活利用 和 的性质，会适当变形，创造条件，i)231(i从而转化为关于 和 的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：i ； ；i2)1(ii1, )(,1,134244 Zniiiinnn ； ，232i .0,232.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 时不总是成立的： 为分数） ；Cznmzn,()(； ，)1(znmn 002121z .2z【基础练习】1. 若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 为
4、实数） ，则)3(ibib._b2.设 为虚数单位） ，则复数 的模为_.【答案】5（2013 江苏）iz2z3. 已知复数 的共轭复数 （i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点位于（ z12z）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】 的共轭复数 ，则 ，对应点的坐标为 ，故答案为zzizi(1,2)D （2013 福建理）4. 已知集合 为虚数单位， ， ，则复数 （ ）iM,214,3N4MziA2.B. iC. iD.解析：因为 ， ，由 ，得 ，所以 ，所以zi, 4i.答案：iz4C【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013 江西理）5
5、. 若向量 ， 满足 ，则 与 所成角的大小为_ |【答案】90（2001 上春）6. 已知 ，且 为虚数单位，则 的最小值是( )z2i1,z 2izB（A） . （B） . （C） . （D） .（2009 上春）2345致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案7. “ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ）2a 012ax（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件解：由实系数一元二次方程 有虚根,可得 ,210xa240a即可得 , , “ ”是“实系数一元二次方程(2,)a(,)有虚根”的必要不充分条件, 故应选 A （2009 上文
6、）210x8. 设 、 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） 【答案】D（2013 陕西理）z2若 ，则 若 ，则.A11z2.B1z21z2若 ，则 若 ，则C2z【解析】设 若 ，则 ，12,abizcdi12|0z12|()zacbdi，所以 ，故 A 项正确；若 ，则 ，所以 ，,acd2,12z故 B 项正确；若 ，则 ，所以 ，故 C 项正确；12|z2abcd12.z当 时，可取 ，显然 ，即 ，假命题.12|ziz, ,21zz【例题精讲】例 1. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，复数 的虚部为 ， 是1z1(2)ii2z12z实数，求 .（2011 上）2解： 1()zi
7、1zi设 ，则 ， 2,aR2()2()(4aai ， 1z24zi例 2. 已知 是复数， 均为实数（ 为虚数单位） ，且复数 在复平面上iz、 i 2)(iaz对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.（2005 上春）a设 ， ，由题意得 . R)yxiz、( iyxiz)2(2y致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案 ixiixiz )4(51)2(2由题意得 . . ， 4xiz2aiz ia)2(8)41(2根据条件，可知 ，解得 ， 实数 的取值范围是 . 0)2(81a6)6,(例 3. 已知复数 （ 、 ）( 是虚数单位)是方程 的根 zbiRi2450x复数 （ ）满足
8、 ，求 的取值范围 （2009 上文）3wui 25wzu解：原方程的根为 ,2,1ix,Rba,z,524)(|)2(3(| uiiuw 6u例 4. 对于复数 ，若集合 具有性质“对任意 ， ，必有dc,SabcdxyS”，则当 时， 等于（ ） （2010 福建理）xyS21abcA.1 B.-1 C.0 D.i解法 1：由 ，得 或 .又 由集合中元素的互异性知 由21,1a.1b，即 ，得 或 .（1）当 时，bc2ici icb,1，因为集合 具有性质“对任意 、 ，必有 ”，所以diS,SxSySxy，故 ， .（2）当 时，icaiddcb icba,1,，因为集合 具有性质“
9、对任意 、 ，必有 ”，所以,1xyxy，故 ， .Sibcici1c解法 2： ， 或 或 或 ，又因为集合中的元素具有2,1acbc1abciabi致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案互异性，且对任意 ， ，必有 ，所以 或 ，所以xySxyS1abcidibcd1点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型（2）解法 1 步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 的不同取值，进、cd而求出 ；解法 2 直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法 1 优c于解法 2（3）主要考查推理论
10、证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想 （4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高 “出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势【能力强化】1. 在复平面内，复数 对应的点位于( )（2013
11、北京理） 【答案】2)i DA.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）（2013 全国新课标 I 理）zizi34)3(z. . . .A4B5C454【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知 = = = ，故 z 的虚部为 ，故选 D.z|43|i2(3)4iii453. ，若 对应点在第二象限，则 的取值范围为_.Rmiz,2iz1m4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 、 、0，则第四个i13i2顶点对应的复数为_.5. 已知 为复数，则 的一个充要条件是 满足 .（2003
12、 上春）z2zz【答案】致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案6. 设集合 ， ,则RxyM,sinco22 RxixN为 虚 数 单 位 ，,21为_.【答案】 （2011 陕西理）N1,07. （ 2013 福建理第 5 题）满足 ，且关于 x 的方程 有实,12ab20axb数解的有序数对 的个数为（ ）(,)abA14 B13 C12 D10【答案】B【解析】方程 有实数解，分析讨论20x当 时，很显然为垂直于 x 轴的直线方程，有解此时 可以取 4 个值故有 4 种0a b有序数对当 时，需要 ，即 显然有 3 个实数对不满足题意，分别为4ab1（1,2） ， （2,1） ，
13、（2,2） 满足题意的 的取值为),(，),201,)2(,1),(0, （2,0） ，共 9 个.8. 在复数范围内解方程 (i 为虚数单位)（2005 上）iz3)(2解：原方程化简为 ,iz1设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 且 y= ,3原方程的解是 z=- i.129. 已知实数 满足不等式 ，试判断方程p0x 0522pz有无实根，并给出证明.（2004 上春）解：由 ，解得 ， . 方程 的判别式021x 2121p 052pz.)4(p， ， ，由此得方程 无实根.41p00522pz10.已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 、 ，且02cbxa1x为虚数单位） ， ，求实数 的值.iaci()31( 11【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算，复数的模及一元二次方程根与系数的关系.解：由题设 ，得 ，所以 ，代入方程 ，求ii)(ca33032bx致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案出两虚根为 ，于是 ，由21,2121 ibxibx 221bx，得 或 .2b
