1、第三章 力学量的算符表示1如果算符 、 满足条件 1，求证： 22，3， 1nn证 利用条件 ，以 左乘之得2则有 )1(最后得 2。再以 左乘上式得 22)(， 即 232则有 3最后得 2应用数学归纳法可以证明 1nn：先设 21)(n 成立，以 左乘上式得 11nn则有 11)()( n最后得 1nn2证明 )()(2121nnML )(11Lmn证 应用 AB 及 BA，则 ()()( 2112121 nnnn L同理可证 121 mm则 )()()()( 21221 mnn MML 11L3若算符 e满足 !21 nL，求证： ),(!31),(!21),( aLaLaeaL其中，
2、证 方法一：把 Le直接展开，比较系数法。 !)1(!21!21 nLLaneaL 3322 )( aaaL!2而 L),(Laaa!21)(,!21!21 L)(,!3),(!32LLaa!1!123因此，把 Lea展开式的 的同次幂的系数合并之后，我们容易得到： ),(!31),(!21),( aLaLL方法二：定义算符 Ses其中 S 是辅助参数。则算符 )(对 S 的微商给出 )(,)( saLeaLdsLS,()(,2s )(,(,)(aLdsann个取 1S，得 e)将 )(展开为麦克劳林级数 2)0(!1()0dsasa按定义， (，所以我们最后得到 ),(!3),(!), aL
3、LeL4如果 GF,都是厄密算符，但 FG，向：（1） 是否厄密算符？（2） )(i是否厄密算符？解 利用厄密算符具有的性质 C及 AB)(（1）令 FG则 )()( FGFG当 时， ，故 不是厄密算符。（2）因 i，故 )()()( iiFiFi 因此 G是厄密算符。例如， x和 p都是厄密算符，且 xp，所以 )(xp不是厄密算符，事实上 ix显然不可能是厄密的。但是在 zyxLL中，把它改写为xi)(，显然左方是厄密算符。5如果 GF,都是厄密算符，而算符 GiFK，求证： K。证 iiK)( 。6试证明力学量 2p所对应的算符是2i，并进一步用数学归纳法证明力学量 np所对应的算符是
4、ni。证 先证明一维情况，按定义 dptCtpxxx ),(),(2*2而 xetCEtix)(*2/1, ，dttptpix x)(2/1),)(,( ， xetetxpixix x),(,2*2利用恒等式 xpixpixpi ddie 222故 xxpixpix dptedetP),(),(212* 由于： edxtxextedx pipixpi x 222 ),(),(epipii xx 2222 diexpi故 xxpix dptiet ),(),(212)(* tidtCxpix ,2* dxtpttit x),(),(),(),( 2*22xipx同理 22yiy22zipz故 i
5、对于 np，可先设11nni成立，然后写出 np的表示式，进行一次分部积分后，不难得出 nni7求： ?xyxLPyzxz并由此推出 、 y、 分别与 zyp,的对易关系。解 yzxpL， yxL， xyzpL且 0),(),(0),(),(xi0),(ypz以及 zyxp,之间均可对易。故 )()( yzxzxx pL0xzx zxyxy zzpippz i)()(2 同理 yzxziLp同理可证，对于 y,分别有 zxyxi， 0yyLp， xzyzpiLp及 zp， xzi， 0一般地，我们可以将上述各式合并写为： kijxzjiL其中 k,为循环指标，而时当 为 逆 序 循 环 时且当
6、 为 顺 序 循 环 时且当 ji，jijiijk0,1,8求 ?xxLyyzz并由此推出 yx,分别与 z,的对易关系。解 0)()( yzyz pxpLxyyzizx)()(2xyyzzxipx同理可证： ziLyxx0yyL， xiLyzzzxiz， 0一般地，可以把上面的式子合并为 kixjjji 9一维谐振子处于基态21)(xex，其中 求 ?)(2px解 2x。利用第二章第 3 题的结果，我们知道 )(是已归一化了的，故 2222*2 12 dedxx02221)(x同理， p注意到一维情况下，只须考虑 x，因此 dxeidxipxx 22* 0)(22edxepxx 222x22
7、dxeexx2232dxx22523 125)()22 xxpp最后得 4122讨论：通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系 4)(22xp一致。 0的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第 3 题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为212),(petpC，它是 p的偶函数， 0，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。 2也可以从动量空间中求平均而得到。在以 x为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为 0)(212 xEd，令 x,代入上式可得0)(2在以 p为自变量的表示式中，考虑到算符 pix，
8、故薛定谔方程为0)(2)(22 cpEdc同理可令 ,1，于是有 0)()22pcdpc显然 )(pc的解只须在 (x中以 代替 x即得：)(2!12HenCnn pnp2而 11故 21)(20202 2dpedpcp和上面得出的结果一致。10一维运动的粒子处在 0,0)(xAex当当， )0(求 ?2p解由第二章第 1 题知归一化系数为 2/3A238430232* dxeAdxx 542 2229)(x在上面的计算中利用了积分公式 10)(!nxnde02* )(dxexiApei(02 32221 )(!1)ixx0422iA dxedxeAdxexp )()( 020 22 320
9、)()(1)( xeAx223241)(p最后得 2223x讨论： 43)(2，满足测不佳关系。用 dpcp(*及 dpc)(2*2求得的结果也和上面的结果一致。显然，在已知 )(x的情况下，把 用算符i代替，直接用坐标几率分布函数表计算 p或 2，比先由 求动量几率分布函数 )(pc，再由 )(来 或 简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。在第四章将看到，一个力学量，不管用 作自变数，还是用 x或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。11求粒子处在态 lmY时角动量的
10、 x分量和角动量 y分量的平均值 yxL,；并证明：2222 )()()(lLyx 解（1）先证明两个普遍的关系： 1,)()( mllmyx YlYi 可以用两种方法来证明。（a）从角动量算符 L所满足的对易关系出发：iL或 zxyxzyyxzLi由一式与二式乘 i 后相加减可得： )()()( yxzyxyxz LiiL或 i用算符 )(yxz对 lmY运算得： lmyxlmzyxl YLiYiLi )()1)( 另外，注意到 2和 z,均可对易，故有： 22)()(iiLyxyx所以 lmyxlmlm iY)()12从上面二式可见 lyxi)(既是 zL的本征函数，本征值为 1，又是 2
11、L的本征函数，本征值为 21l，亦即 lyxYi)(，具有 1,l的形式。令 1,)(mllyxCLi它的共轭复式是*ll二式相乘，对 ,积分，再注意到 ,的正交性，得：dYiiClmyxlmyx *2 )()( LLYll*)()( yxyxyx iii dlmlm)(*2Yilxyxyxl )(2LYlzl )(*22)1)()1l1,)()( mllmyx YlYLi （b）用直接求微分的方法证明 cossintgxincotiLy ictgeiiyxitLiiyx而 imllmePlY)(cos)!(412；其中 )(sincolml pdp故 )(cos)(scoi)(1 lmlyx dLi )(cos)(ini)()(cossin1 impdtgpd lmlmm !42)1(lei )!1(42)1)( llYLilmyx 1,)11 )(cos)(cssin mlmilm Ylepd 同样，对 yx也有 111 )(cossin)(c)(osi)( mmlmlm ddYLi !42csincos )1(leiptgp ilml )(cos)(cssini)!(42)1)( 121 lmmpdll)1(cossco2ilmepd)1)(sin)!(42)1)( 1 lll m
