1、 你的首选资源互助社区典型例题一例 1 正六棱锥的底面周长为 24，侧面与底面所成角为 60，求：（1 ）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量解：正六棱锥的底面周长为 24正六棱锥的底面边长为 4在正棱锥 ABCDEFS-中，取 中点 H，连 ， BS，O是正六边形 的中心连 ，则 底面 S是侧面与底面所成二面角的平面角，即 60SHO（1 ）在 Rt OH中， 32BC， 60SHO， 60tanS（2 ）同样在 中，斜高 342S，（3 ） Rt OH中， ， BC 132BS（4
2、） 底面 ADEF， SO是侧棱与底面所成角，同样在 中， 2tan， 23arctn，说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中比如：已知正四棱锥底面边长为 a，相邻两侧面所成二面角为 120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为 a23，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为 a21，斜高为 典型例题二例 2 如图所示，正四棱锥 ABCDP-棱长均为 13， M， N分别是 PA， BD
3、上的点，且 你的首选资源互助社区85： NDBMAP（1 ）求证：直线 /平面 PBC；（2 ）求直线 与底面 A所成角的正弦分析：（1）要证明 平面 ，只需证明 MN与平面C内某一条直线平行为此连 并延长交 于 E，连 PE可考虑证明 E/ （2）若能证明 P/，则 O即为直线 N与底面所成的角解：（1）连 并延长交 BC于 ，再连 PE ADB/， D： ，又 M： ， ： ， PE/，又 平面 ， N平面 ， /MN平面 BC（2 ）设 O为底面中心，连 PO， E，则 平面 AD又 PEN/，则 O为直线MN与平面 ABC所成的角由 85： D及 13A，得 865，在 中，60PE，
4、 13， 6E，由余弦定理，得 91PE在 Rt PE中， 213，891，则 724sinPO说明：本题（2）若直接求 MN与平面 ABCD所成的角，计算就比较复杂，而平移为求 与底面所成的角，计算就易得多可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法典型例题三例 3 斜三棱柱 1-CBA的底面 是直角三角形， 90C，侧棱与底面成 60角，点1B在底面的射影 D为 的中点， cm2（1 ）求证 1；（2 ）若 CBA-为 30的二面角，求四棱锥 1-BCA的体积分析：证 1关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高这两个问题可由题设及线与线、线与面的位
5、置关系求得解：如图所示，（1 ） DB1平面 AC，AC底面 ， 你的首选资源互助社区 DBAC1 ， 平面 1， 1B在底面 AC上的射影 D为 BC的中点，侧棱与底面成 60角，四边形 1是菱形， 1， BC平面 1A， 1（2 ）过 作 BE1，连结 E AC平面 ， 是 在平面 C1上的射影， BE1， A是二面角 -1的平面角， 30C在 Rt BE中， 360sinC，在 Rt ACE中，由 90可得13taanA 221SCE ， ACEBBAVV-11SS33ACE1B 你的首选资源互助社区231 3211- BCABCAV（体积单位） 说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明
6、时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化典型例题四例 4 如图，在三棱锥 ABCP-中， 底面 ABC， ， D、 G分别是 PA和 B的中点，E为 PB上一点，且 E31， 21： （1 ）求证： G平面 D；（2 ）求截面 分棱锥 -所成两部分的体积之比分析：由 底面 ，可以判定平面 P平面 ， 且相交于A，因为 是 的中点，且 ACB，所以 ABG，于 是有C平面 PB， EC若证 平面 ，只
7、需 与平面 中的另一条直 线垂直就可以了为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直 关系平面 D把三棱锥 -分成两部分，显然这两部分具有 相同的高线G所以，只要找到 和四边形 ED的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了证明：（1 ） PA平面 BC，且 PA平面 B平面 平面 ，且相交于在 中， ， G是 边上的中线 C 平面 EG平面 ， E利用两个平面垂直的性质定理可以证明 平面 PA在 Rt PAB和 中设 x，则 x2， xPB3， xE， xBG2 613xPBG， 612xAE E， PB G 你的首选资源互助社区 90PAB， 90GEB E PD/利用相似三角形的性
8、质，得到 GC， E平面 CG解：（2） APBDSPDsin21BAPBsi ， E3 1sin21APBDSPEAB 33-PDEPDECABSGV三 棱 锥三 棱 锥 12-PECAB三 棱 锥 三 棱 锥三 棱 锥截面 分棱锥 为两部分，三棱锥 PDEC-与四棱锥 ABEDC-的体积之比为 1：2 典型例题五例 5 四棱锥 ABCDP-，侧面 P是边长为 2 的正三角形且与底面垂直，底面 是面积为32的菱形， 为菱形的锐角 （1）求证： CDA；（2 ）求二面角 DABP-的大小；（3）求棱锥 -的侧面积与体积分析：取 中点 H，侧面 底面 B，从而 C可利用三垂线定理转化为证明 ，线
9、面垂直也为二面角 -平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形 的特殊性来解决证明：（1）取 CD中点 ，连 P、 AH， P是等边三角形， CD，面 底面 AB， 底面 B，等边 的边长为 2， 菱形 的边长为 2，又菱形的面积是 32， 你的首选资源互助社区 32sin2ADC， 23sinADC，又 AC是锐角， 60， 是等边三角形， H， P在平面 上射影为 H， P解：（2） B/，由（ 1） ， ， A， 是二面角 D-的平面角，在 Rt 中 360sin2， 45PH，即二面角 ABP-的大小为 45（3 ）由（2 ）在 t 中，可得 ，在 Rt AB中， 6，
10、 2， 10， 621PABS，在 PD中， ， PA，可得 5D，在 C中， 2B， 10，可得 21PBCS，又正 PD边长为 2， 342PCDS， 1563156侧S ， 3PH， 23PHSV菱 形 说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等可以举一个类似的例子，四棱锥 ABCDV-的高为 1，底面为菱形，侧面 VDA和侧面VDC所成角为 120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成 45角，求棱锥的全面积这里由相交平面与 A都与底面垂直得到
11、 D垂直于底面，利用 底面 ，一方面落实了棱锥的高为，另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为 23典型例题六 你的首选资源互助社区例 6 已知三棱锥 ABCP-中， 、 PB、 C与底面 AB所成角相等， 90CAB，aPBAC， D为 中点， E点在 上且 /截面 ED， （1）求 与底面 所成角；（2 ）求 到平面 的距离分析：由 、 、 与底面所成角相等可得 点 在面 上射影为 的外心，由于 是直角三角形，可以得 到 PD面， /面 E可转化为 P/， 是 PB中点， 找出 E到面的垂线落实 与面 AC所成角
12、到面 A的距 离可从两方面得到，一方面直接找 到面 D的垂线，另一方面，用等 积法可求点到面的距离解：（1） 、 B、 与底面 成相等的角， 设 在面ABC上射影为 O，则有 O， P P， 且 CA， 是 的外心 是直角三角形，且 是斜边 B的中点， 点和 D点重合，即 面 ， /C截面 E，过 的平面 与平面 EAD交于 ， P， 是 中点， 是 P中点，取 B中点 F，则 /， F平面 C， A为 与底面 AC所成角 a， aE23， B且 90B， 又 PC， 也是等腰直角三角形， aD21， aEF42，在 Rt AEF中， 63sinA， 6arci，即 E与平面 BC所成角为 6
13、arcsin（2 ）方法一： PD平面 ， ADP又 BCA， 平面 ， 由（1） 是直角三角形， 90， P， E， E， B平面 E aP， aP 你的首选资源互助社区即 PC到平面 EAD的距离为 a21方法二： ， BC， AD平面 PBC， ，又 ， aE21 2812aSADE ， 24ABCAC， aPDEF4，设 到面 的距离为 h， ShACDADE， 2182a21，即 P到平面 E的距离为 a典型例题七例 7 如图所示，在三棱锥 ABCS中， S底面 ABC， ， DE垂直平分 SC，且分别交 AC、 S于 D、 E，又 ， 求以 为棱，以 和 B为面的二面角的度数分析：
14、从寻找二面角的平面角入手二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来解： SA平面 BC， D平面 ABC， DS DE是 的垂直平分线， E，且 是 的中点又 ， S又 B， 平面 ， 又 SAC， B平面 AC， B， E从而 ED为二面角 的平面角设 a，则 你的首选资源互助社区 SA平面 BC， AS， C，从而 aSB2又 ， a3在 SRt中， 3tnS， 30SA，又 CDE， 60因此所求的二面角的度数为 说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和逻辑推理能力解答本题的
15、关键是认定 EDC是二面角 CB的平面角这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明学生很可能发现不了 ED即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点典型例题八例 8 P是 ABC所在平面外的一点， PA、 B、 C两两垂直， 3PCBA求 到平面 的距离分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解解法一： 3PCBA， 在底面 ABC内的射影 O是 ABC的外心又 PA、 B、PC两两相互垂直， 是等边三角形， 是 的重心如图，在 O中， ， 62360sin32 3)(2AP解法二：设
16、 点到平面 BC的距离为 h 、 、 两两垂直， P， 2931PBCAV， 329)(43ABCS 你的首选资源互助社区又 ABCPAV， h3291， 3 到平面 的距离为 解法三：取 B的中点 D，连 P、 A PC， A， BC， D， 平面 ， 平面 ，.平 面于交作过 平 面平 面 平 面平 面 OO， P就是 到平面 ABC的距离在 D中， 3， 2P，62AB又 90， 362sinADPPO说明：本题难度并不大但是这里所给出的三种方法非常典型方法一利用 PCBA确定在底面内射影为 BC的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位典型例题九例 9 如图所示，在三棱锥 ABCP中，底面为直角三角形，两直角边 3AC， 4B三棱锥侧面与底面所成二面角都为 60求此三棱锥的侧面积分析：本题可利用面积射影定理求解若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为 ，且已知 底S，则由
