1、1毕业论文开题报告理论物理高阶拉格朗日密度的表面项和运算技巧的探索一、选题的背景与意义自然界中存在着许多不随时间演化，或称守恒的量，这是为大量实验所证实了的。因此，在以场为出发点构造描述物理体系的拉格朗日量时，要能正确地反映出体系的守恒律，和动力学方程。而在任意D维区间内应用最小作用量原理求解动力学方程时，区间边界上都会产生一个D1维曲面积分，而当区间的范围趋于无穷时，这一项往往是零，所得到的方程也就是该维度下的引力场方程，所谓动力学方程表面项（以后简称之为表面项）就是指在有限区间内，这项不为零的D1维曲面积分。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题我所研究的是处理场论中边界条件下的表面项问题在
2、无界空间中对此函数做变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间中对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。对于任意的拉格朗日函数密度求变分,AAAAAAALLLLLL0344XDLXDLLXDLIVAVAAV则式中AL将产生表面项，它使得拉格朗日方程在边界上不成立。为了能够在有界空间中得到拉格朗日方程，我们必须对作用量积分进行修改在拉格朗日函数密度体积分的基础上添加一个面积分，以抵消多余出来的边界积分，即令,ABB其中VVXBDXLDI342XDLXBDVAV33即VAAXDLLI4B即为表面项对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二
3、元拉格朗日函数密度，在边界上变为一元的函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AAGL很显然，不存在这样的函数,ABB，使得,AAAGBBB但是如果我们施加DIRICHLET边界条件,|4321XXXXFABOUNDARYA则在边界上，0A，于是有,AAAAFGDFDBGB这样便得到DFGBA,而边界条件由决定于边界上的动力学方程（EOM）随后我便研究了一个简单的实例来说明这个问题在量子场论中常用到的KLEINGORDON方程02MAA（EOM）它的拉格朗日密度为222121MLAAAAAGL,ABOUNDARYAF|则3AAFDBVAVAAXDFXDMI34222121由EOM可知4
4、1XIKXIKEEFKKIMKBOUNDARY|02241接下来我还要再继续研究，因为我们至少知道，DIRICHLET条件只是一种特殊的边界条件，它对应于ABOUNDARYAF|10，00的情况于是我下一步将去讨论更一般的情况在边界条件为ABOUNDARYAAAF|210时的表面项问题这项研究是有意义的，因为我们知道，在凝聚态物理中有时会用到高阶的拉格朗日函数,LL这也必将产生高阶的表面项问题例如对于含有场量二阶微分的拉格朗日函数,BAALL作用量变分4430AABMMAABBBAMAABABLLLILDXDXLLLD此时如果施加适当的边界条件，对于问题的解决时有帮助的。三、研究的方法与技术路
5、线首先，我们知道对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二元拉格朗日函数密度，在边界上变为一元的4函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AAGL很显然，不存在这样的函数,ABB，使得,AAAGBBB但是如果我们施加DIRICHLET边界条件,|4321XXXXFABOUNDARYA则在边界上，0A，于是有,AAAAFGDFDBGB这样便得到DFGBA,沿着这样的思路我们将把二阶甚至高阶的边界项求出来。四、研究的总体安排与进度1阅读相关文献和书籍，并在数据库中搜索有关信息。保证一边学习相关的基础理论，一边与该领域的前沿保持联
6、系并尽量靠拢。2时常和导师进行沟通，积极思考，遇到新的问题不回避，要敢于解决，科学研究的结果往往是未定的，所以要做好随时调整科研方案的准备。3为论文答辩做好演示文稿。尽量在下学期开学之前完成论文初稿，在下学期开学时把论文拿给导师，之后对论文进行反复修改和补充，在期中之前完成论文，确保在答辩之前完成答辩的一切准备。五、主要参考文献1王正行简明量子场论北京大学出版社2008042MICHAELEPESKIN,DANIELVSCHROEDERANINTRODUCTIONTOQUANTUMFIELDTHEORYOCTOBER17,20053WALDRMSOMEPROPERTIESOFNOETHERCH
7、ARGEANDAPROPOSALFORDYNAMICALBLACKHOLEENTROPYARXIVGRQC/9403028V115MAR19944SKACHRU,XLIUANDMMULLIGAN,GRAVITYDUALSOFLIFSHITZLIKEFIXED5POINTS,PHYSREVD782008106005,ARXIV080817255MTAYLOR,NONRELATIVISTICHOLOGRAPHY,ARXIV081205306RMANN,LIFSHITZTOPOLOGICALBLACKHOLES,ARXIV090511367GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,
8、BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIMESWITHARBITRARYUDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV081250888GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,THERMODYNAMICSOFBLACKBRANESINASYMPTOTICALLY9周邦融量子场论高等教育出版社20070910李书民电动力学概论中国科学技术大学出版社11UDANIELSSONANDLTHORLACIUS
9、,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV0812508812YLI,TMA,RBTAO,ARXIV0707147213GWGIBBONSANDSWHOWKING,PHYSREV,D15,275119776毕业论文文献综述理论物理高阶拉格朗日密度的表面项和运算技巧的探索摘要在场论中，与质点力学中的广义坐标相类似的广义坐标是定域场，前者标记维数的分立指标，现在变成了位置矢量。由于场指标的连续性，每个场原则上都是无穷维度的。描写系统性质的函数是拉格朗日函数。由拉格朗日函数可以构造作用量，这是一个最重要的物理量
10、。通过对作用量加上适当的边条件进行变分，我们就可以得到欧拉拉格朗日方程，即运动方程。关键词定域场及其运动方程在场论中，与质点力学中的广义坐标IQ相类似的广义坐标是定域场,TX前者标记维数的分立指标I，现在变成了位置矢量X。由于场指标的连续性，每个场原则上场都是无穷维度的。需要注意，场论中的广义坐标是场量，位置矢量只是参数。当在同一时空点上有多个场时，不同的场量可以用另外一个分立指标区分，如,TX。对定域场论，拉格朗日量是场的泛函与质点力学中情形相同，此处泛函TL只是时间的函数，与参数X无关，并且假定只依赖于和。作用量因此也是和的泛函，其变分为由哈密顿原理，结合边界条件可得场的拉格朗日运动方程为
11、了能更清晰地看出场方程的相对论协变性，数学上可以先把空间离散化，最后再取极限。7设空间小体积元IV的场量可以用体积元中场量,TX的平均值表示。由于对连续分布的场对分立的相邻体积元中场量的平均值由此可以看出，相邻体积元场量的平均值互相依赖。注意，这并不意味着此时场是非定域的，正如一个普通连续函数XF也有同样的性质。因此，取连续极限0IV后描述量子场的拉格朗日密度应当满足物理场所具有的性质，如对相对论性的场满足洛伦兹不变性，亦即拉格朗日密度应当是洛伦兹标量。按照相互作用的哈密顿原理可以得到按照哈密顿量密度表示的欧拉拉格朗日运动方程亦即从上式可以看出，场的拉格朗日量210可以通过拉格朗日密度表达为场
12、及其一阶导数的泛函8此处场的一阶导数不仅是对时间的导数，而是对时空各分量的导数。由于我们假定拉氏量或拉氏密度仅依赖于场参数的一阶微分，由拉氏方程得出的运动方程至多是二阶微分方程。对于时空中同时存在多个场的情形，可得到多个场的拉格朗日密度为其中N2,1。可以通过场的哈密顿原理直接得到场的运动方程为参考文献1王正行简明量子场论北京大学出版社2008042MICHAELEPESKIN,DANIELVSCHROEDERANINTRODUCTIONTOQUANTUMFIELDTHEORYOCTOBER17,20053WALDRMSOMEPROPERTIESOFNOETHERCHARGEANDAPROPO
13、SALFORDYNAMICALBLACKHOLEENTROPYARXIVGRQC/9403028V115MAR19944SKACHRU,XLIUANDMMULLIGAN,GRAVITYDUALSOFLIFSHITZLIKEFIXEDPOINTS,PHYSREVD782008106005,ARXIV080817255MTAYLOR,NONRELATIVISTICHOLOGRAPHY,ARXIV081205306RMANN,LIFSHITZTOPOLOGICALBLACKHOLES,ARXIV090511367GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,BLACKHOLESINAS
14、YMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIMESWITHARBITRARYUDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV081250888GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,THERMODYNAMICSOFBLACKBRANESINASYMPTOTICALLY9周邦融量子场论高等教育出版社20070910李书民电动力学概论中国科学技术大学出版社11UDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINA
15、SYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV0812508812YLI,TMA,RBTAO,ARXIV0707147213GWGIBBONSANDSWHOWKING,PHYSREV,D15,275119779本科毕业设计（20届）高阶拉格朗日密度的表面项和运算技巧的探索【摘要】在经典场论中，如果我们将力学系统和场进行类比，就建立了场的拉格朗日方程。在无界空间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。10该表面项存在可求解与不可求解两种情况，论文中分别对其进行了举例说明。根据NOETHE
16、R定理，可证明存在守恒流J满足0J。我们将其推广到量子场论中的高阶拉格朗日方程中，得到NOETHER流。因为有关任意拉氏密度NOETHER流的计算是一项相对复杂的工作，文中通过构造一个六维矢量计算NOETHER流，使计算机编程的过程变得容易。本文还精确定义了312NNNXYZ，进行了算符的重参数化。【关键词】NOETHER流；拉格朗日方程；表面项【ABSTRACT】INCLASSICALFIELDTHEORY,IFWECOMPAREMECHANICALSYSTEMSWITHFIELD,WEWILLSETUPALAGRANGEEQUATIONOFTHEFIELDWECANALSOGETTHEEV
17、OLUTIONEQUATIONOFFIELDBYCALCULATEVARIANCEINUNBOUNDEDSPACESHOWEVER,ANADDITIONALSURFACETERMWILLCOMEINTOBEINGIFWECALCULATEVARIANCEINBOUNDEDSPACESTHESURFACETERMCANEITHERBECALCULABLEORINCALCULABLEANDIHAVEMADEEXAMPLESOFBOTHINMYPAPERACCORDINGTONOETHERSTHEORY,WECANAPPROVETHATTHEREEXISTSACONSERVEDCURRENTJTHA
18、TSATISFIES0JFURTHERMORE,WECANGETNOETHERCURRENTIFWEEXPANDJTOTHEHIGHLEVELLAGRANGEEQUATIONOFQUANTUMFIELDTHEORYSINCEITSARELATIVELYCOMPLEXTASKTOCALCULATENOETHERCURRENTOFARBITRARYLAGRANGEDENSITY,IHAVECONSTRUCTEDASIXDIMENSIONVECTORTOSIMPLIFYCOMPUTERPROGRAMMINGPROCESSTHEPAPERHASALSOPRECISELYDEFINITE312NNNXY
19、ZANDPARAMETERIZEDTHEPARAMETERAGAIN【KEYWORDS】NOETHERCURRENT；LAGRANGEEQUATION；SURFACETERM。11目录目录111拉格朗日量的发展与应用1211经典力学中的拉格朗日量1212经典场论中的拉格朗日量1313量子场论中的拉格朗日量161310自旋场161321/2自旋场172拉格朗日量的边界问题1821边界条件下的表面项问题在无界空间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。1822可求解的边界问题1823不可求解的边界问题223拉格朗日量的高阶推导和计算2531高阶N
20、OETHER流的一般公式2532356124NNNNNNXYZXYZ型拉氏密度的“六维矢量法”2533关于312NNNXYZ的精确定义2734算符的重参数化与空间284总结30参考文献31致谢错误未定义书签。121拉格朗日量的发展与应用11经典力学中的拉格朗日量力学体系的运动规律的最一般形式可以由所谓最小作用量原理给出。根据这一原理，每一力学体系由一定的函数1212,NNLQQQQQQT来描述其特性，而体系的运动满足下面的条件。假定在1TT和2TT的时刻，体系占有两个确定的位置，这两个位置分别由两组坐标值12QQ和决定。这时，体系在两个位置之间按照使积分21S,TTLQQTDT（111）有最小
21、可能值的方式运动。函数L叫做该体系的拉格朗日量，而积分S则叫做作用量。接下来我们来推导确定积分（11）最小值的积分方程。为了简化公式的书写，我们先假定体系只有一个自由度，这样一来，应该决定的只有一个函数QT了。假定QQT正巧是使S有极小值的函数。这就是说，以形如QTQT（112）的函数代换QT时，S就增大，其中，Q是在从1T到2T整个时间间隔内都很小的函数。既然当1TT和2TT时，所有用以比较的函数（112）应该有相同的值12QQ和，因而应该有120QTQT（113）以QQ取代Q引起的S的变化由差221,TTLQQQQTDTLQQTDT决定。这个差按Q和Q（在被积分式子内）指数的展开式是从一级
22、项开始的，这些项的总和等于零是S为极小值的必要条件。这总和叫做积分的第一变分。因此，最小作用量原理可以写作21,0TTSLQQTDT（114）或者进行变分后，13210TTLLQQDTQQ对第二项实行分部积分，并注意到,DQQDT我们得到22110TTTTLLDLSQQDTQQDTQ115由于条件113,式中的第一项消失，所以，当Q取任意值的时候，剩下的积分应该等于零。这只有在被积分的式子恒等于零的情况下才是可能的。因此，我们得到方程0SSDLLDTQQ（I1,2,S）116这就是要找的微分方程，在力学里它们叫做拉格朗日方程。假定所给定的力学体系的拉格朗日量已经知道，则方程（116）确定加速度
23、、速度和坐标间的关系，也就是说，它是体系的运动方程。12经典场论中的拉格朗日量物理场通常可用一组变量来描述，这些量一般是时空坐标的函数，如电磁场的矢势与标势、量子场的波函数等，我们将它们一般地记为X1,S,其地位相当于分析力学中的广义坐标QT。时空坐标X1,2,3,4则相当于分析力学中的时间参量T从数学表述形式上看，力学系统和场之间存在下列对应TX时间）时空坐标）121QTX广义坐标）（场函数）122QTX广义速度）（场函数的四维梯度）123类似于力学系统的牛顿方程，场的运动可用场函数对时空坐标的一组偏微分方程来描写，如电磁场的麦克斯韦方程、标量场的KLEINGORDON方程等。我们把这种描写
24、场动力学行为的方程叫做场方程。像力学系统的情形一样，场方程也可通过变分原理得到。一般情况下，泛函,FXFXXX的变分定义为14,FFXXXXXFXXX,FFFXDDXX（124）这相当于在全微分,FFFXDFDDDXX（125）中，用“”代替“D”，并令0X。根据定义容易验证，变分和微分与积分运算均可以交换顺序FF（126）44FDXFDX（127）变分的运算法则与微分相同。场的运动可以用一个称为拉格朗日密度的泛函,LX来描写，它对四维时空体积的积分称为作用量。场的变分原理可表述为当场在区域的边界上固定，即01,S（128）时，作用量取驻值4,0SLXDX（129）将式（129）中的变分运算作
25、用于积分号内，可得4LLSDX43LLLDXDXX（1210）由边界固定条件（128）可知，上式右端在边界上的积分为零。于是，由的任意性，可得场的拉格朗日方程，即场方程0LLX1,S15（1211）场方程的正确性可以通过实验来检验。在实际问题中，往往是先知道场方程，再翻过来“凑”出拉格朗日函数。这样构造的拉格朗日函数并不唯一，可以相差一个四维散度。有时我们还需要通过一定的对称性来确定拉格朗日函数。121NOETHER定理一般的，我们有44,XFXXXDXFFDXX（1212）如果场的作用量对全变分取驻值4,0SLXXXDX（1213）将式（1212）代入，得到4XSLLDXX4XLLXLDXX
26、X4LLLXDXX4LLLLXDXXXX（1214）因满足场方程（1211），所以右端第一个括号为零。考虑到X，可得4LLSLXDXX（1215）令上式为零，并注意到积分区域的任意性，可证明存在守恒流LLJLXLX（1216）满足160J。（1217）如果场是某种外源JX所激发的，则拉格朗日函数依赖于外源。此时，NOETHER定理可推广为当4,0SLXXJXXDX（1218）时，LJJJXJ（1219）其中流J由式（1216）给出。在完全的场论中，源J也是由其他场引起的，那些场也应当视为动力学变量。此时，NOETHER定理又回到式（1217）的形式。13量子场论中的拉格朗日量1310自旋场对于
27、仅由一个标量场X描述的系统，拉氏密度的最一般形式为12LXXVX（131）系数1/2是惯例，V是的标量函数。第一项为动能项，第二项为势能项。在经典理论中，VX的形式不受限制。一个特例是KLEINGORDON拉氏密度2201122LM132M是有质量量纲的参数，它描写质量为M的自由粒子。注意0L对于分立变换XX133也是不变的。一个更复杂的例子是4自作用理论17404LL134注意（在四维）是一个无量纲的参数，负号保证0V。这个作用量导致了一个可接受的量子场论。另一个流形的例子是SINEGORDON拉氏密度41COS12MLM135其中无量纲。对于1M，此L将再现134守恒量是作用量对于POIN
28、CARE变换具有不变性的结果。POINCARE变换是时空坐标变换。下面考虑一个内部对称性的例子。若理论中含有多个标量场，则可能出现新的对称性。考虑N个实标量场1,AAN，其拉氏密度为12AAAALV（136）若将,1,AAN看成一矢量，则对于整体转动AABB，ABBA（137）L显然是不变的。注意变换（137）并不改变时空坐标，故0PX。可以得出，守恒的NOETHER流为ABABBAJ（138）1321/2自旋场旋量场的几种形式有DIRAC场，WEYL场L，R和MAJORANA场M皆可以构造POINCARE不变的作用量，在此不再赘述。182拉格朗日量的边界问题21边界条件下的表面项问题在无界空
29、间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。对于任意的拉格朗日函数密度求变分NLLLSDXXXNLLLDXDX0（211）则式中L将产生表面项，又因满足场方程（1211），所以右端第一个括号为零，它使得拉格朗日方程在边界上不成立。为了能够在有界空间中得到拉格朗日方程，我们必须对作用量积分进行修改在拉格朗日函数密度体积分的基础上添加一个面积分，以抵消多余出来的边界积分，即令,KK得NVVSLDXKDLKDD（212）22可求解的边界问题添加了一个面积分后，式（211）可重新写为0NSEDXKD（221）其中191101JJNJJEL2111101
30、JJIJJNIJIL又当,LL时，为了不使指标重复，取,LLLSLLLLLLLLLLL取,，得LLLLLSLLLLLLL222可得LLL223取Q,P,P得LLLQPPPP20（224）若存在K使得K则有KLLQPPKLPP（225）QLLLPPBPPPKKLLPPPPJPPPP（226）显然JJ则L写作如下形式12,LJPPAPQXAPQX（227）将（226）代入（225）的第一式，得122QAAPPBPPABP（228）由（228）第二式可得212,ABQPHPXHQX（229）将（229）代入（228）第一式，得112,ABPPRQXRQXP（2210）又LLLPPPJJJPPP不妨将
31、J写为J，它对于,的任何排列皆相等。21得12,LJPPBPPQBPHPXRQXRQXP（2211）由（2211）得2,RQXRLBPPQQQ（2212）22,LJPBPRQXP（2213）2,2RQXLJPBPPX（2214）1,HPXLJPQBPP（2215）1,HPXLJPPBPP（2216）代入（225），得121,HPXKBPRQXQPHPXKJPQBPP（2217）例现有2211222XYXXYYXXYYXXYYQLJPPPPAPXAPYQCPCPMM（2218）则1212KPQCAQMKJPAXPM（2219）得22,0,0,0120,0,0,0,0,01,0,0,02212XY
32、XXYXQQPXXXYXXXQQPPXYYYXYYYYQPPKQPPKQCADQJPJPAXDPMMJPJPAXDPM2111222XXXYYPPQCQJPPAQXAPAPMM（2220）此时拉格朗日量为122211222111222NNVVXYXXYYXXYYXXYYSXXXYYSSLDXKDQJPPPPAPXAPYQCPCPDXDYMMPPQCQJPPAQXAPAPDLMM23不可求解的边界问题对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二元拉格朗日函数密度，在边界上变为一元的函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AALG
33、（231）很显然，不存在这样的函数,AKK，使得,AAAKKKG（232）但是如果我们施加DIRICHLET边界条件1234|,ABOUNDARYAFXXXX（234）则在边界上，0A，于是有,AAAAKDKFGGFD（235）23这样便得到,AKGFD（236）而边界条件取决于边界上的动力学方程（EOM）。随后我便研究了一个简单的实例来说明这个问题在量子场论中常用到的KLEINGORDON方程02MAA（EOM）（237）它的拉格朗日密度为222121MLAAAAAGL,ABOUNDARYAF|（238）HENCEAAKDF（239）22431122AAAVVSMDXFDX（2310）由（2
34、37）可知41XIKXIKEE（2311）其中FKKIMKBOUNDARY|02241（2312）我们知道，DIRICHLET条件只是一种特殊的边界条件，它对应于ABOUNDARYAF|10，00的情况于是还存在更一般的情况，即在边界条件为ABOUNDARYAAAF|210（2313）时的表面项问题。对其进行研究是有意义的，因为我们知道，在凝聚态物理中有时会用到高24阶的拉格朗日函数,LL（2314）这也必将产生高阶的表面项问题例如对于含有场量二阶微分的拉格朗日函数,AABLL作用量变分，得4430SLDXLLLLLLDXDX此时如果施加适当的边界条件，对于问题的解决是有帮助的。253拉格朗日
35、量的高阶推导和计算31高阶NOETHER流的一般公式在12节中，我们已经提到了NOETHER定理可以证明经典场论中存在守恒流J,使得J0（311）我们将其推广到量子场论中的高阶拉格朗日函数1212,JLL中，可得NOETHER流2111101JIIJJNIJIL（312）32356124NNNNNNXYZXYZ型拉氏密度的“六维矢量法”有关任意拉氏密度NOETHER流的计算是一项相对复杂的工作，而其中大量出现的是如下运算J（321）212IIJJJL（322）如果我们取L的一般形式为JKJKLAL,356124NNNNNNJKXYZXYZL123456,NNNJNNNK代入上式得3561242
36、12IIJJNNNNNNXYZXYZJ（323）然而，当我们试图进一步求出J的值时，会遇到一些麻烦。其原因在于不同排列的高阶导数算符之间的不等价性。下面我们来举个具体的例子说明这个问题。对于23XYXYXXYY26（324）我们不能简单地将其写为3XYX，因为同时还存在另外一种情况。例如，假设2XY代表YYX，那么（334）变为3YYXXYXXYYXYXXYYYYXYYY（325）这样一来，我们便得到了不同的结果。事实上，在上述计算中，我们要考虑的是所有的排列情况。2XY所代表的既是XXY，又是YYX，同时还是YXY，也就是,XYY的全部可能排列。这样一来，（324）应写为3111333XYY
37、XYYXYYXYXYYYXYYYXX22133XXYYY（326）下面我们重点研究一下拉氏密度JKL变换成相应的NOETHER流时，算符结构的变化。为了方便的说明问题，我们以一个六维矢量123456,NNNNNN来代表场量的高阶导数356124NNNNNNXYZXYZ。显然对于刚才所讨论的拉氏密度3,01,2,0,0,0,0L，其对应的NOETHER流为3211,0,0,1,1,00,1,0,0,2,033（327）我们可以看出，由高阶拉氏密度求NOETHER的过程实质上是对六维矢量各分量的重新分配，分配的原则是对局部分量的“全排列”和“分割”。这样，对（323）式的操作行为可以概括为如下1输
38、入六维矢量123456,NNNNNN，其中123NNNJ2对123,NNN作全排列展开，得到123123NNNNNN组排列数，我们用12,J来代替每组排列数。273把每组12,J依次分割成三组，每组1个，I1个，JI个元素，即分别含有12121,JIIJ4把后两组排列重新整理成矢量的形式，即2456,INNN1123,IJNNN5将整理后的矢量与原矢量进行重新结合令112233,NNNNNN444555666,NNNNNNNNN6输出新的六维矢量35612411123456,NNNNNNXYZXYZNNNNNN即为NOETHER流我将以上方法称为六维矢量法，它将求高阶导数的问题转化为排列组合的问题，它是一种高度程序化的手段，在进行计算机编程时是非常有用的。33关于312NNNXYZ的精确定义在32节中，我们知道121212213（331）亦即31221212123JJJJNNNXYZNNNJ对的所有排列求和（332）其中123JNNN,这种写法显然非常含糊，没有根据。为了明确31
