1、1毕业论文开题报告数学与应用数学高中数学竞赛中有关不等式的研究一、选题的背景与意义在数学知识体系内部不等式占据着非常重要的地位，而且在现实生活当中有这巨大的应用价值，对学生能力的培养也起到了不可估量的作用，蕴含着极其丰富的数学思想。若能有效的运用其数学思想去分析问题、解决问题，在解题中大为有益。而高中的数学竞赛中包含着不等式的重要思想及方法的应用，是高中数学竞赛的重要的内容。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1浅谈不等式的历史2不等式中包含的数学思想及方法3探究不等式思想及方法在高中数学竞赛中的应用及举例4不等式数学其他领域的应用三、研究的方法与技术路线1采用观察法对0810年高中数学竞赛有
2、关的不等式题目收集2采用调查法了解0810年高中数学竞赛中有关不等式的题目的重要程度3采用文献研究法对相关文献的研究获得竞赛不等式的各种解题方法4采用对于不等式经验总结法探究竞赛不等式的新解法四、研究的总体安排与进度2010128提交文献综述。201012102101215提交开题报告，提交外文翻译。20101220准备开题，开题论证201144提交毕业论文。2011452011429完成毕业论文的修改与完善。2011年5月1日前准备毕业论文答辩及正式答辩。五、主要参考文献1G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题M上海科技教育出版社2007,522李名德,李胜宏高中数学竞赛培优教程（一试）M浙江大
3、学出版社2007,321351523陈卓华利用平凡不等式证明竞赛不等式J中国科教创新导刊2008,8，954武增明求解抽象函数不等式问题的探究策略J数理化学习（高三）2010,8,16175赵维奇柯西不等式的多种应用J数理化学习（高三）2010,7,18206代志强放缩法解数列与不等式问题的好帮手J湖南教育下旬2010,8,567李淑燕一个不等式的证法再探J数理化学习（高三）2010,7,23248施耀选,李建华巧用“均值不等式”的几类方法J数学教学研究2010,298,5455外文翻译9TASOSCCHRISTOFIDESMAXIMALINEQUALITIESFORDEMIMARTINGAL
4、ESANDASTRONGLAWOFLARGENUMBERSJDEPARTMENTOFMATHEMATICSANDSTATISTICS6JUNE2000,PAGES35736310EFIMGLUSKIN,VITALIMILMANSEVERALKINDSOFINEQUALITYJCOMPTESRENDUSMATHEMATIQUE30APRIL2002,PAGES8758793毕业论文文献综述数学与应用数学高中数学竞赛中有关不等式的研究不等式研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论的研究的数学学者已经遍布世界各个国家。当一个人站在满天星空之下，我
5、们一定会为数之不尽的点点星光而感叹，也一定会为了特别闪亮的星星而特别的注视。同样，数学中不等式也是那么那么的繁多。在现在的不等式理论里，包含了更加全面的知识理论，回首过去，我们知道不等式理论是从CFGAUSS，ALCAUCHY（只举极为最重要的）奠定近似方法的理论基础时开始发展起来的。大约在十九世纪末和二十世纪初，许多不等式被证明了，其中一些成为了经典不等式，而大多则是孤立的、无联系的结果。1934年出版的GHHARDY的经典著作不等式，不等式领域从孤立公式的汇集改造成为系统的学科，这是全世界几乎公认的。1G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题M上海科技教育出版社2007,5世界著名数学家和数学教
6、育家波利亚的怎样解题中文版于1948年问世，距今已60周年在介绍波利亚生平的基础上，论述了3个方面的问题（1）怎样解题的基本思想以及学者们研究发展它的情况；（2）波利亚的数学教育思想；（3）在学习接受波利亚数学教育思想的过程中应注意的问题评论这本书首先，让我们重温波利亚这位伟大数学教育家的思想精髓；其次，让我们了解数学教育工作的前辈们在6O年以前的民国时期做了些什么；再次，让我们认真地思考在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想2李名德,李胜宏高中数学竞赛培优教程（一试）M浙江大学出版社2007,32135152为了适应广大中学生对数学奥林匹
7、克竞赛知道教程的需要，以及为从事中学数学工作者指导学生提供有益的参考资料，由浙江大学教授、博士生导师、全国数学奥林匹克竞赛领队李胜宏和浙江大学教授李名德先生主编的高中数学竞赛培优教程（一试）为我们指引了方向4评论本书详细的讲解了高中竞赛不等式的各种题型的证明、解法、应用以及三个重要不等式3陈卓华利用平凡不等式证明竞赛不等式J中国科教创新导刊2008,8，95本文通过对寻找匹配因子证明不等式,竞赛不等式的创新证法向量内积法、也谈一类竞赛不等式的创新证法三个文章中的不等式证明方法的研究和总结,设计出了利用本文列举的不等式来证明方法简单评论本文通过例题详细的讲解了如何利用匹配因子的方法，构造均值不等
8、式证明不等式；如何利用向量内积的方法，构造向量来证明不等式；如何利用数学期望的性质，构造离散型随机变量的概率分布证明不等式。方法新颖，但构造需要技巧4武增明求解抽象函数不等式问题的探究策略J数理化学习（高三）2010,8,1617纵观近几年的高考试题，抽象函数不等式问题一直倍受命题者的关注这类问题往往具有抽象性、综合性、技巧性、隐蔽性等特点为此，笔者以近两年出现的一类典型抽象函数不等式问题为例，认真分析和总结了几种解决这一类问题的常用方法，以期对大家有所帮助评论由本文的数例可知，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、定义域及值域等知识5赵维奇柯西不等式的多种
9、应用J数理化学习（高三）2010,7,1820著名的柯西不等式是对任意的两组数据A1，A2，AN和B1，B2，BN有不等式（A12A22AN2）（B12B22BN2）（A1B1A2B2ANBN）2当且仅当B1B2BN0,或，A1/B1A2/B2AN/BN时，等号成立评论柯西不等式是高中数学竞赛中一个重要的基本不等式，在应用柯西不等式解题时，应注意不等式的各种变式应用6代志强放缩法解数列与不等式问题的好帮手J湖南教育下旬2010,8,56数列与不等式综合问题的解决过程体现了多种数学方法和数学能力,是考查数学思维能力和数学思想方法的好素材因此,这类题常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点解决这
10、类问题的方法比较多，而且有很强的技巧性本文从常见的两种数列不等式的题型入手，分析用放缩法解决数列与不等式综合问题的途径评论放缩法是数列与不等式综合问题中常用的处理方法，“积式”及“和式”的5各项放缩变形是问题解决的关键因此，要结合题目的特点，将各项放大或缩小成为特殊数列的形式，方便求积或求和，从而得证7李淑燕一个不等式的证法再探J数理化学习（高三）2010,7,2324题目设A、B是正数，且AB1，求证（A1）2（B1）29/2该题是一道经典的不等式证明题由于思维方式和思维水平的不同，可获多种证明方法评论此论文从多个角度多种方式证明这道经典不等式，全方位的总结了高中竞赛不等式的各种解法8施耀选
11、,李建华巧用“均值不等式”的几类方法J数学教学研究2010,298,5455“均值不等式”在证明不等式及各类最值问题中具有广泛的应用然而由于其表现形式的多样性。需要经过适，当的变形和处理本文结合典型例题给出了巧用“均值不等式”的几类方法评论“均值不等式”是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，它是考查素质、能力的一个窗口，也是高考数学备考的一个重点知识点但由于其变形公式多，约束条件“苟刻”一正、二定、三相等往往不能直接应用，而要经过适当的变形、恰当的处理和一些技巧的运用后才能应用本文给出了巧用“均值不等式”的几类方法，并通过实例如以解释和说明外文
12、翻译9TASOSCCHRISTOFIDESMAXIMALINEQUALITIESFORDEMIMARTINGALESANDASTRONGLAWOFLARGENUMBERSJDEPARTMENTOFMATHEMATICSANDSTATISTICS6JUNE2000,PAGES357363本文NEWMAN和WRIGHTZWAHRSCHVERWGEB591982361371首次将CHOW最大不等式从（局部）鞅的情况推广到半（局部）鞅的情况。这个结论可以作为证明其他不等式如HAJEKRENYI不等式和DOOB最大不等式的“资源”的不等式，并且由此得出了强大数定律。数学期望值为零的联合随机变量的部分和是
13、半鞅。因此，最大不等式和强大数定律在情况被运用联合随机变量中有特殊的运用。评论本文阐述半鞅最大不等式和强大数定律10SEVERALKINDSOFINEQUALITYJCOMPTESRENDUSMATHEMATIQUE30APRIL2002,PAGES8758796本文主要论述了几种数学不等式的证明，包括比较法、综合法、分析法、反证法、换元法和放缩法对不等式的证明的基本思路。主要参考文献1G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题M上海科技教育出版社2007,52李名德,李胜宏高中数学竞赛培优教程（一试）M浙江大学出版社2007,321351523陈卓华利用平凡不等式证明竞赛不等式J中国科教创新导刊20
14、08,8，954武增明求解抽象函数不等式问题的探究策略J数理化学习（高三）2010,8,16175赵维奇柯西不等式的多种应用J数理化学习（高三）2010,7,18206代志强放缩法解数列与不等式问题的好帮手J湖南教育下旬2010,8,567李淑燕一个不等式的证法再探J数理化学习（高三）2010,7,23248施耀选,李建华巧用“均值不等式”的几类方法J数学教学研究2010,298,5455外文翻译9TASOSCCHRISTOFIDESMAXIMALINEQUALITIESFORDEMIMARTINGALESANDASTRONGLAWOFLARGENUMBERSJDEPARTMENTOFMATH
15、EMATICSANDSTATISTICS6JUNE2000,PAGES35736310EFIMGLUSKIN,VITALIMILMANSEVERALKINDSOFINEQUALITYJCOMPTESRENDUSMATHEMATIQUE30APRIL2002,PAGES8758797本科毕业设计（20届）高中数学竞赛中有关不等式的研究【摘要】不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与8不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤
16、为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。本文通过阐述各种不等式常用的证明方法，拓展学生思维，培养学生逻辑能力，提高学生分析和解决问题的能力。【关键词】高中；数学竞赛；不等式证明；证明方法。ABSTRACT【ABSTRACT】INEQUALITYISONEOFTHEHOTSPOTINTHEMATHCONTESTDUETOTHEDIFFICULTYOFINEQUALITYPROOF,FLEXIBILITY,DEMANDINGSKILLS,OFTENMAKESITALLKINDSOFMATHEMATICSINTHECOMPETITION“
17、UPSCALE“QUESTIONWHETHERGEOMETRY,NUMBERTHEORY,FUNCTIONORCOMBINATORIALMATHEMATICSMANYPROBLEMSMAYANDINEQUALITY,THISMAKESINEQUALITIESRELATEDPROBLEMSESPECIALLYTHEINEQUALITYPROOFINMATHCONTESTISPARTICULARLYIMPORTANTWITHTHEMOSTDIFFICULTTOPROVETHEINEQUALITYOFMATHEMATICSCOMPETITIONPROBLEMSLIKENOTHINGFIXEDPATT
18、ERN,DIFFERENT,BECAUSEAPROBLEMAND,2121为任意两组实数若NXXX21，且NYYY21，或NXXX21，且NYYY21，则NIINIINIIIYXYX111N1N1N1若NXXX21，且NYYY21，或NXXX21，且NYYY21，则NIINIINIIIYXYX111N1N1N1、两式中的等号当且仅当NNYYXXX2121Y或时成立217贝努力不等式设1X，则当10时，XX11；当10或时，XX11两式中的等号，当且仅当0X时成立22其他重要不等式设0,0,2AARA则设,2,22时取等号当且仅当则BAABBARBA设时取等号当且仅当则BAABBARBA,2,设
19、时取等号，当且仅当则CBAABCCBARCBA33,设时取等号，当且仅当则BABAABAB2,0当0A时，2222AXAXAXAX或设BABABABARBA则,设SXYPYXRYX,，则如果S是定值，那么当YX时，P的值最小；如果P是定值，那么当YX时，S的值最大3一些不等式的证明方法不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质证明不等式的常用方法有比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等31比较法比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的
20、方法，它分为作差比较法和作商比较法两种311作差比较法理论00BABABABA步骤作差变形定号作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号例1设0BA，求证BBAAEEEE【证】作差BABABBAAEEEEEEEE111BABABABAEEEEEEE因为0,0,1BABAE，所以01,BABAEEEE所以01BABAEEE，所以BBAAEEEE【评述】作差法是解决不等式问题最有效的方法312作商比较法理论11BABABABA步骤作商变形与1比较大小作商法不可忽视作商时分母的符号，它的确定是其中的一个步骤应用范围不等式两端是乘积的形式或幂、指数式例20,CBA，
21、求证3CBACBAABCCBA【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法【证】不等式关于CBA,对称，不妨RCACBBACBA,则，且CBBA,，CA都大于等于13333333232323BCACCBABCABABACCABCBACBACBACCBBAACBAABCCBA1333CACBBACACBBA【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定N个字母的大小顺序，可方便解题（2）本题可作如下推广若NANAAIAAANIA2121,2,10则2121NAAANNAAA（3）本题还可用其他方法得证。因ABBABABA，同理CAACBCCBACACCBCB,，另CBACBACBACBA
22、，4式相乘即得证32分析法和综合法当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”前者我们称之为综合法；后者称为分析法综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法321分析法（1）分析法是证明不等式的一种常用方法它的证明思路是从未知，看需知，逐步靠已知，即“执果索因”（2）分析法证明的逻辑关系是结论已确认）AABBBBN21（3）用分析法证题一定要注意书写格式，并保证步步可逆（4）用分析发探求方向，逐步剥离外壳，直至内核有时
23、分析法与综合法联合使用当不等式两边有多个根式或多个分式时，常用分析法例3N为正整数，证明113121111111NNNNNNNN【证明】先证左边不等式NNNNNNNN131211111312111111NNNNN13121111NNNN111311211111NNNNN1342321（）1134232134232NNNNNNNN（）式成立，故原左边不等式成立其次证右边不等式111131211NNNNN11131121111131211111NNNNNNNNN11322111NNNNN（）（）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立322综合法（1）综合法的特点是由因导果其逻辑关系是已知条件
24、BBBBAN21（结论），后一步是前一步的必要条件（2）在用综合法证题时要注意两点常用分析法去寻找证题思路，找出从何处入手，将不等式变形，使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式例4N为正整数，证明131211111NNNN【证明】由均值不等式1134232134232NNNNNNNNNNNN111311211111NNNNN13121111NNNN131211111NNNN13121111133反证法反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。要证明不等式BA，先假设BA，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而
25、否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，不妨用反证法，往往可以立见奇效。例5设DCBA,均为正数，求证下列三个不等式（1）DCBA，（2）CDABDCBA，（3）DCABCDBA中至少有一个不正确【证明】假设不等式（1）、（2）、（3）都成立，因为DCBA,均为正数，所以由不等式（1）、（2）得，CDABDCBABA2（4）由不等式（3）得，22DCBADCABCDBA因为0BA，所以4DCBACD综合不等式（2），得ABCDCDABCD3,4，即ABCD31由不等式（4），得ABCDABBA342，即AB
26、BA3222，显然矛盾所以不等式（1）、（2）、（3）中至少有一个不正确34换元法所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题其换元法的实质是转化，关键是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂化问题简单化，变的容易处理在不等式证明中，常用的换元法有三角换元和代数换元341三角换元三角换元证明不等式几种常见形式（1）若题目含有122YX，则可令SIN,COSRYX（2）若题目含有0222MMYX，则可令SIN,COSRMYMX（3）若题目含有0222MMYX，则可
27、令,0,SIN,COSMRRRYRX（4）若题目含有0,0,1YXYX，则可令,SIN,COS22RYX（5）若题目含有0,0,12222BABYAX，则可令,SIN,COSRBYAX（6）若题目含有1X，则可令COSX，或SINRX例6若122YX，求证2222YXYX【证明】设20,10SIN,COSRRYRX，则222YXYX2SIN2COS2R42COS22R222R【评述】证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式342代数换元代数换元主要是平均数代换（又称均值换元）二元均值换元的一般形式为若1,YX
28、RYX、，则可令TBTA21,21例7N个正数,21NXXX它们的和是1,求证211212132222121XXXXXXXXXXXXNNNNN【思路分析】就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12112MXXX,NNNMXXMXXX2,212322（其中01NIIM）【证明】令NNNMXXXMXXXMXXX2,2,2123221211，则01NIIM1212132222121XXXXXXXXXXXXNNNNN121322232212121212121XXMXXXXMXXXXMXXNNN123222212121132214
29、44XXMXXMXXMMMMXXXXXXNNNN4221NXXX21，因而原不等式成立35判别式法对于含有两个或两个以上字母的不等式,若能够整理成一边为零,另一边为关于某个字母的二次三项式,若该二次三项式的判别式小于零,则该二次三项式在二次项系数大于零时,恒大于零若二次项系数小于零时,二次三项式恒小于零。例8已知实数BA,，满足0926222AABABA（）求证34B【证明】将按A的降幂排列0926122ABAB，可见AX是一元二次方程0926122XBXB的一个实根，故判别式09142622BB，即03224B，由此得34B36放缩法所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合理的放
30、大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜在与后续能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材，抓住其规律进行适当的放缩例9已知CBA,为三角形的三边，求证21BACCABCBA【证明】由于CBA,为正数，所以CBACBACCBABCABCBAACBA,所以1CBACCBABCBAABACCABCBA，又CBA,为三角形的边，故ACB，则CBA为真分数，则CBAACBA
31、2，同理CBACBACCBABCAB22故2222CBACCBABCBAABACCABCBA综合得21BACCABCBA37构造法证明不等式时，巧妙地构造方程、函数、数列、对偶式、图形等，可以使不等式获得简捷证明这有利于将抽象问题直观化，复杂问题简单化，对学生的创造性思维和创新意识的培养很有帮助构造法的实质，是根据数学问题的条件或结论所具有的特征，以条件中的元素为“元件”，以数学关系为“支架”，通过思维构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式，使问题得以转化、解决在思维方式上，这一方法较多地含有直觉思维的因素，常常表现出简介、明快、精巧等特点371构造图形如果问题条件中的数量关系有明显的几何
32、意义，或以某种方式与集合图形相联接，则通过做出与其相关联的图形，将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来例10设RBA、，且A则不论为何值，总有2222222222222222COSSINABABAABABABA【证明】令COSSINABK表示点,A与点SIN,COSBAP连线的斜率点P在椭圆12222BYAX上，又A，因而，点,A在直线AX的右侧或直线AX的左侧显见，当直线AP与椭圆相切时，K取得最大值与最小值椭圆的任一切线方程为222BKAKXY,A在切线上，222BKAK解得2222222ABABAK结论得证372构造函数用函数的观点去分析题目的条件、结构，构造一种相依的函数关系，可将
33、不等式的证明转化为研究函数的性质（如增减性等）例11RCBA、求证CCBBAACBACBA1111【思路分析】不等式中四个式子形式相似，相当于函数XXXF1在相应四个点的函数值，由此我们设置辅助函数来研究不等式【证明】构作函数,0,1XXXXF，则当210XX时，011112112112212XXXXXXXXXFXF所以函数XXXF1在,0上是严格递增的，由CBACBA有CBAFCBAF即11CBACBACBACBA111CBACCBABCBAACCBBAA111【评述】利用不等式的特点，构作辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法373构造方程方程是中学数学中解决
34、问题的重要工具利用方程的有关知识，根据题设条件及结论的特点，构造辅助方程证明不等式，常能化难为易，化繁为简例12设实数CBA、满足066078222ABCCBABCA求A的取值范围（1986，全国高中联赛）【证明】由的782AABC得221ACB故1ACB依韦达定理的逆定理，由、得CB,是方程078122AAXAX的两根RCB、0784122AAA解得91A374构造数列例13求证2121211511311NN，其中2,且NN【证明】构造数列，,1211511311,511311,311NTN则1232121232122212112221NNNNNNNNTTNN于是，12321NTNTNN所以
35、，数列121NTN单调递增，其首项为53451T故212125341NNTN,即2121211511311NN375构造对称式根据不等式的特点，构造一个与其相关联的对称式，通过对它们之间的灵活处理，得到一些有用的关系式，促进问题的解决例14证明对于和为1的正数NAAA,21，不等式211212132222121AAAAAAAAAAAANNNNN成立（第24届全苏中学生数学竞赛）【证明】记不等式左边为A，构造A的对称式，令1211232232122AAAAAAAAAAAABNNNN，则BA13221AAAAAAN0，即BA故）12123223222122212121AAAAAAAAAAAABAA
36、NN411213223221221AAAAAAAAAAAANN4113221AAAAAAN2124121NAAA，不等式得证376构造恒等式通过变换，引入新的参变量，构造出新的关系式，使证明变得简洁，明了例15已知实数SZYX、满足0AASZYX，求证422222ASZYX【证明】令43214,4,4,4TASTAZTAYTAX，则04321TTTT故424224232221432122222ATTTTTTTTAASZYX38数学归纳法数学归纳法是证明和自然数相关的不等式的最有效方法，其证明的关键是如何实现从“NK时原不等式成立”到“NK1时原不等式成立”的过度常用的数学归纳法有两种第一数学归
37、纳法（简称数学归纳法）证明基本步骤（1）归纳奠基证明N1时命题成立；（2）归纳假设假设NK时命题成立；（3）归纳递推由归纳假设推出NK1时命题也成立从而就可断定命题对于所有正整数都成立第二数学归纳法证明基本步骤（1）当N1时，命题成立；（2）假设当KN时命题成立，由此可推得当NK1时，命题也成立那么，命题对于一切自然数N来说都成立例16设RBA,，且111BA求证对于任何NN有1222NNNNNBABA成立【证明】（1）N1时，左边右边0，原不等式显然成立（2）设NK时原不等式成立，即1222KKKKKBABA则NK1时111KKKBABABAABBABABAKKKKKBAABBAKKKK22
38、12由ABBA2111可得42,4ABBAAB221112422KKKKKKBABAAB111KKKBABABAABBAKKKK22122122224KKK111222KK，即NK1时原不等式成立由（1）（2）可知对于任何NN原不等式成立4若干竞赛不等式证明例题浅析例1,0,CBA求证6ABCACCACBBCBAAB【证】ABCACCACBBCBAAB60222222222222BACACBCBAABBACACCABBCCBA6ABCACCACBBCBAAB（作差法）【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧再如证明CABCABC
39、BA222时，可将222CABCABCBA配方为21222ACCBBA，亦可利用,222ABBACAACBCCB2,22222，3式相加证明（2）本题亦可连用两次基本不等式获证例2设21,NAAAN，且各不相同，求证132131211321111INAAAANINIIIII【思路分析】不等式右边各项IKIKKAKA1；可理解为两数之积，尝试用排序不等式【证】设NNAAABBB,2121是的重新排列，满足NBBB21，又131211111IIIN所以INIIINIINBBBBNAAAA3232321321由于NBBB,21是互不相同的正整数，故,2,121NBBBN从而11321121132II
40、INIINNBBBB，原式得证【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22ABBABA3222333ABCABCACBBCACACBCBABAACCBBACBA例3已知CBA,为正实数，求证412BACACBCBACBAAB（1）当且仅当222CBA时，等号成立【证】若BACACBCBA,中，其值有为零的，不等式（1）显然成立下面证明，当BACACBCBA,三者都不为零的情景1）若BACACBCBA,三者里只有一个为正值，不妨设0CBA为这时，应当有0,0BACACB，推出02BACACBC，显然与条件0C相矛盾。从而说明此种情况是不可能出现的2）若BACACBCBA,三者
41、里有二个为正值，其另一个就是负值，此时，不等式（1）显然成立3）若BACACBCBA,三者均为正值，那么，CBA,就是某一ABC的三边长。设其面积为，注意到三角形面积的海伦秦九韶公式CPBPAPP，当中，21CBAP变形，得4BACACBCBACBA于是，所要证明的不等式（1）等价于2AB（）这个不等式的证明是很容易的，事实上，由三角形面积公式与正弦函数的有界性，得2SIN212CABAB我们容易得出，所证不等式中的等号成立的充要条件是222CBA综合以上，便知不等式（1）得证【评述】显然222BACACBCBACBABA也成立，由此还可以推广到41,MIN222BACACBCBACBAQCA
42、BCABQ例4已知131211NNNNF，求证（1）MNNMNMFNF；（2）1222NNFN【证】（1）当MN时，有）（）MNMMMFNF131211111131211NMM12111NMNNNNNMN1111个（2）用数学归纳法证当2N时，241225413121122F成立假设KN时命题成立，即222KFK，则当1KN时，KKKKKKFF22122112122111121212122KKKK22121222221KKKKK，结论成立综上，不等式1222NNFN成立【评述】与自然数N有关的不等式问题，往往采用数学归纳法应用数学归纳法，假设KN成立，推证1KN时成立，这个过程中往往需要较高的
43、变形技巧例5已知0,01121BBBAAANNN求证NIINIINIIIBANBA111（）【证】取IIIIBYAX1,，则由0,01121BBBAAANNN可知IIYX,满足切比雪夫不等式的条件，故11111111NIINIIINIIBNANBAN又由均值不等式，正数NBBB,21的调和平均数不大于它们的算术平均数，即NBBNNIINII111其中等号仅在NBBB21时成立这样就有NIINIIINIIBABAN11111，即（）式成立，而且等号仅在NBBB21时成立【评述】若把（）式改写为NIINIINIIIBNANBAN111111，则此式表面，在满足题设条件下，商的算术平均值不小于其算术平均值的商利用这个结论可以解决一些较难的分式型不等式的证明问题例6设实数ZYX,满足9222ZYX，求证102XYZZYX【证】不妨设222ZYX则有YZZYX26,3222由柯西不等式，得22222YZXZYXYZZYX24222YZXZY849222YZZYYZ设TYZ，则3T于是，只要证明10084922TTT事实上10084922TTT2820223TTT07222TT容易推理出，所证不等式取得等号的条件是422XZYYZ
