1、1毕业论文开题报告物理学均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解一、选题的背景与意义在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理学上我们熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及
2、辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决。后来DIRAC用算子代数的方法给出极其漂亮的解。而我所要研究的均匀磁场中二维谐振子的模型也是最基础最简单的模型。它直接为三维谐振子出场做了铺垫。虽然比一维谐振子只多了一个在均匀磁场和维数，但是他们俩却有本质的区别，最重要的不同就是在均匀磁场中的二维谐振子出现了相干项，这直接加大了本征值和其波函数的求解难
3、度。这直接要求我们寻找新的方法新的途径去解决它。因为它是多么的重要仅仅是在均匀磁场，不均匀的又怎么办，再加一个电场又该怎么办，所以在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型是最简单最重要的且最具有代表性的一个模型，而且这模型也是我们物理系研究生阶段最基础也最熟悉的模型。在这样看来在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型就显示出更重要的意义。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题（）重复推导出求解均匀磁场中二维各向异性谐振子模型的本征值和相应的波函数。2（）在此基础上，计算一个特例均匀磁场中二维各向同性谐振子模型的本征值和相应的波函数，并进行比较。三、研究的方法与技术路线（）温习量子力学和数理方法，阅读和学习文
4、献【1】，理解在均匀磁场中各向异性二维谐振子模型。（）利用幺正变换重复推导出在均匀磁场中各向异性二维谐振子模型的本征值和相应的波函数。（）在此基础上，计算一个特例均匀磁场中二维各向同性谐振子模型的本征值和相应的波函数，并进行比较。四、研究的总体安排与进度2010年12月24日之前完成开题论证；2011年02月01日之前完成内容（1）；2011年03月25日之前完成内容（2）；2011年04月04日之前完成论文初稿；2011年04月29日之前毕业论文定稿；五、主要参考文献1田志良,游阳明，恒定均匀磁场中带电谐振子的运动分析，沧州师范专科学校学报，20042陈皓，周园园，磁场中谐振子的量子与经典对
5、应，辽宁师专学报，20093吴奇学，带电粒子在均匀磁场与三维各向同性谐振子场中运动的双波描述，物理学报，2000,4赵素琴，二维各向同性谐振子在均匀磁场中的能级及简并度变化，青海师专学报（教育科学），20075马志民，二维谐振子的双波函数描述，哈尔滨师范大学自然科学学报，20026蔡春芳，关于谐振子的量子力学研究进展，榆林学院学报，20087赵素琴，均匀磁场中三维各向同性谐振子微扰矩阵元的普遍表达式，大学物理，20078韩萍，李菲菲，量子谐振子与经典谐振子的比较，渤海大学学报（自然3科学版），20079李体俊，一维谐振子薛定谔方程的一种解法，云南民族大学学报（自然科学版），200810ODIP
6、PEL,PSCHMELCHER,ANDLSCEDERBAUM,PHYSREVA49,4415194411HDMEYER,JKUCAR,ANDLSCEDERBAUM,JMATHPHYS29,1417198812HFRIEDRICH,PHYSREVA26,1827198213EVOLUTIONOFSQUEEZEDSTATESUNDERTHEFOCKDARWINHAMILTONIAN，PHYSICALREVIEWA80,053401，200914SELECTEDWORKSVAFOCKQUANTUMMECHANICSANDQUANTUMFIELDTHEORY，SELECTIONSENGLISH2004
7、15MVINCKEANDDBAYE,JPHYSB212407198816DBAYEANDMVINCKE,JPHYSB23,2467199017DJHEINZENANDDJWINELAND,PHYSREVA42,2977（1990）4毕业论文文献综述理论物理学均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解摘要在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理学上我们熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。谐振子模型是普通物理学中在
8、研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。对谐振子的研究历史和研究现状做了详细的分析，得出做该题目的意义。关键词二维谐振子、波函数、本征值、研究历史、研究现状、意义在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理学上我们熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。在各
9、种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决。后来DIRAC用算子代数的方法给出极其漂亮的解。而我们所要研究的均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值问题恰好就是一个物理里几个为
10、数不多的可以精确解的问题。关于谐振子的研究的历史，可以追溯到很久以前，早在1898年期间，FOKE对谐振子的研究已经非常可观，几乎可以把它完美的解析出来，写在自己的论文集中发表，这篇论文集在物5理学上也可以说是堪称经典的论文集。在此基础上接下来的几年中，狄拉克符号的完整性帮助谐振子理论更加简洁更加完美，而且还不断有学者对其理论解法进行优化研究便升级。期间也出现了大量的好的解法，值得我们学习。其中就有一篇论文（CHARGEDANISOTROPICHARMONICOSCILLATORANDTHEHYDROGENATOMINCROSSEDFIELDS，收集在PHYSICALREVIEWA,VOLUM
11、E49,NUMBER6，JUNE1994）也就是我拿来作为翻译的文献就写得非常好，很适合像我们本科生这种基础的学生看，它不仅把理论重新推导了一遍，更重要的是它还应用到氢原子的定态问题中去，结果理论计算的结果和实验的数据很好的相吻合，以此来验证了理论的正确性。到现在为止，关于在均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数，理论上已经非常完善了，技术上也有很好的发展，有非常巧妙简洁的解法。关于谐振子现在的研究现状，已经不仅仅停留在只是研究均匀磁场中定态二维谐振子的波函数，现在更流行研究非定态也就是含时变化的问题。这也就是我的第二遍文献（TIMEDEPENDENTROTATEDHARTREEFORMALDE
12、VELOPMENT本论文收集在JMATHPHYS296,JUNE1988），虽然与我的论文的相关性不是很大也只有一部分和我的课题相符，但是它却表明了均匀磁场中二维谐振子理论的发展和前沿研究现状。现在关于谐振子研究问题主要是往非定态问题中研究或者说研究其演化问题。而态演化问题主要包括高斯波包态、相干态和压缩态。关于高斯波包的演化问题，在HARMILTON力学中,相空间是一个基本的概念。量子相空间理论也是一个非常有趣的领域，1990年，TORRESVEGA和FREDERICK共同引入了一种满足量子力学数学要求的量子相空间表象，在这个表相中，波包的含时演化也是由薛定谔方程决定的。到目前为止，该理论已
13、经被广泛应用于物理学的各个分支，如WIGNER函数应用于统计力学、核物理、原子和分子物理，特别是量子光学和相对论夸克模型以及最近的量子信息科学。自从1932年WIGNER为了对经典统计力学体系做量子修正而提出的WIGNER函数以来，已有许多工作从两个不同的途径致力于发展量子相空间理论。6它在库伦相互作用和微扰起到很大作用的量子霍尔效应中也有很大应用。此哈密顿量在量子点的研究领域也已经卓有成效，它可以对IV曲线给出很好的解释。此外，此哈密顿量对于二维谐振势中无相互作用费米子的轨道磁问题可以精确求解。对于高斯波包演化的研究也可以追溯到量子力学的开始。首先进行研究的是SCHODINGER,KENNA
14、RD,DARWIN,研究了一个自由粒子和一个在恒定电磁场中的粒子的谐振子的高斯波包演化。这个问题今天在很多领域仍然吸引着我们。在量子力学中,自由粒子波包的扩散是一个非常有趣的问题其扩散的原因可归结为具有不同动量的波,具有不同的相速度,因此当动量分布不变时,坐标分布则变得十分弥散,即FOURIER变换效应于是,坐标与动量的测不准关系随着时间的演化而变大。薛定谔研究了时间演化的最小不确定态，谐振子相干态，这是近代物理学中的一个重要概念。把相干态用粒子态N的完备性展开得21|20|NZNZZENN这表明相干态是包含不同量子态的叠加，这些态是相位同步的，它是量子力学中谐振子能够达到的一种特殊量子态，存
15、在于大量的量子力学系统中。谐振子相干态最初是薛定谔在1926年发现的，这个态是他满足薛定谔方程时找到的第一个量子力学解。薛定谔的最终目的是探讨量子力学与经典力学更深刻的联系，寻找局限于空间一个小区域中的不扩散的波包,它在任意长的时间运动与经典粒子完全相同。对于谐振子,这种状态他已经找到了这种态被GLAUBER称为相干态。GLAUBER还证明了一个经典的振荡电流分布会辐射一个相干态。相干态展现出的运动性质与经典振子很相似。主要是指以下方面在此状态下,1谐振子的能量平均值零点能除外与经典振子能理相同2坐标和动量的平均值即波包中心的位置与动量随时间的演化也与以经典振子完相同3波包不扩散,具有最小的不
16、确定度鉴于相干态有固定特点（例如它是一个量子力学态，最接近于经典情况；它7是一个不正交的态，并具有超完备性，因而从一个算符的相干态对角元就可以决定算符本身等），人们对相干态理论的研究与应用的兴趣日益浓厚。相干态已被广泛的应用于物理的各个领域。KENNARD研究了谐振子的更一般的波包演化，即压缩态。自1970年DSTOLER在国际上首次引入压缩态的概念以来，有关这一领域的研究工作进展就一直十分迅速。1976年，HPYUAN从理论上构造了广义光子湮灭算符的本征态即所谓的双光子相干态,因这种双光子相干态具有压缩效应,故人们又称之为压缩态；这是人类有史以来首次从理论上发现光场具有压缩效应的重大转折性研
17、究成果，它在量子光学研究中起了重大转折作用。除了DARWIN的文章提到了均匀电磁场中非相对论带电粒子的态的时间演化问题，MALKIN,MANKO,TRIFONOV,和DODONOV也对这个问题进行过研究，得到了格林函数的准确表示，研究了系统的不变量，LEWIS和RIESENFELD,也研究过该系统的不变量；KIM和WEINER研究了与隧道问题相关的磁场中各项同性谐振势和鞍点势中的高斯波包的演化。所以说虽然谐振子问题是一个很完美很古老的研究课题，在均匀磁场中的二维各向异性谐振子的波函数更是最简单也是最基础的可以当成模型的问题，只有我们把二位各向异性的谐振子问题弄得明明白白了，我们才能着手做三维各
18、向同性的谐振子问题，再才能做三维各向异性的谐振子，后面这些很高深的什么态演化问题，其实也没什么可怕的，以为情况变了就不会处理了，其实就是一个含时变化的问题，基于我们本科生的知识基础，我们可能做不出来，但是记住我们要脚踏实地，要一步一个脚印，不要好高骛远，首先把最基础的均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值的问题弄得明明白白，透透测测才有机会接触高深的理论，其实高深的理论计算起来是不复杂的，复杂的是其背后的理论基础，我们只有循序渐进一步一步来，否则我们就根本碰不动这一块知识，所以我的毕业论文做得就是这一块内容，只希望把历史上的一些经典知识自己重新再推导一边，最主要的是把其中的物理思想领会到
19、，把别人的东西消化之后转化为自己的知识，只有这样之后才能沿着时间，专研一些现在前沿的一些理论和课题。参考文献1田志良,游阳明，恒定均匀磁场中带电谐振子的运动分析，沧州师范专科学校学报，20042陈皓，周园园，磁场中谐振子的量子与经典对应，辽宁师专学报，200983吴奇学，带电粒子在均匀磁场与三维各向同性谐振子场中运动的双波描述，物理学报，2000,4赵素琴，二维各向同性谐振子在均匀磁场中的能级及简并度变化，青海师专学报（教育科学），20075马志民，二维谐振子的双波函数描述，哈尔滨师范大学自然科学学报，20026蔡春芳，关于谐振子的量子力学研究进展，榆林学院学报，20087赵素琴，均匀磁场中三
20、维各向同性谐振子微扰矩阵元的普遍表达式，大学物理，20078韩萍，李菲菲，量子谐振子与经典谐振子的比较，渤海大学学报（自然科学版），20079李体俊，一维谐振子薛定谔方程的一种解法，云南民族大学学报（自然科学版），200810ODIPPEL,PSCHMELCHER,ANDLSCEDERBAUM,PHYSREVA49,4415194411HDMEYER,JKUCAR,ANDLSCEDERBAUM,JMATHPHYS29,1417198812HFRIEDRICH,PHYSREVA26,1827198213EVOLUTIONOFSQUEEZEDSTATESUNDERTHEFOCKDARWINHAMI
21、LTONIAN，PHYSICALREVIEWA80,053401，200914SELECTEDWORKSVAFOCKQUANTUMMECHANICSANDQUANTUMFIELDTHEORY，SELECTIONSENGLISH200415MVINCKEANDDBAYE,JPHYSB212407198816DBAYEANDMVINCKE,JPHYSB23,2467199017DJHEINZENANDDJWINELAND,PHYSREVA42,2977（1990）9本科毕业设计（20届）均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数和本征值求解10摘要【摘要】我们仅仅用大学本科所学的初等量子力学和相对应的数
22、学物理方法的理论基础，在量子力学领域中解决一个在均匀磁场中二维各向异性的谐振子波函数和本征值的问题。利用分离变换和幺正变换物理理论知识和傅里叶变换的数学理论知识，把均匀磁场中的二维各向异性的谐振子转化为两个独立的一维谐振子。最后应用均匀磁场中二维各向异性谐振子的理论，计算一个它的特例均匀磁场中二维各向同性谐振子的波函数和本征值。【关键词】波函数；本征值；对易关系；幺正变换；哈密顿算符；谐振子。ABSTRACT【ABSTRACT】WEJUSTUSETHEKNOWLEDGEOFELEMENTARYQUANTUMMECHANICSANDTHEMETHODSOFMATHEMATICALPHYSICST
23、HEORYTHATWEHAVELEARNEDTOSOLVEEIGENFUNCTIONSANDEIGENVALUESOFTWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATOROFQUANTUMMECHANICSINAUNIFORMMAGNETICFIELDUSINGSEPARATEPHYSICALTRANSFORMATIONANDUNITARYTRANSFORMATIONTHEORYANDTHEMATHEMATICALTHEORYOFFOURIERTRANSFORMATION,TWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATORC
24、ANBESEPARATIONINTWOONEDIMENSIONALINDEPENDENTHARMONICOSCILLATORINTHEUNIFORMMAGNETICFIELDUSINGTHETWODIMENSIONALANISOTROPICHARMONICOSCILLATORTHEORYINAUNIFORMMAGNETICFIELD,WECANCALCULATEONEOFITSSPECIALCASESTWODIMENSIONALISOTROPICHARMONICOSCILLATOREIGENFUNCTIONSANDEIGENVALUESINAUNIFORMMAGNETICFIELD【KEYWO
25、RDS】EIGENFUNCTIONEIGENVALUECOMMUTATIONUNITARYTRANSFORMATIONHAMILTONIANOSCILLATOR11目录摘要10ABSTRACT10目录111引言1311谐振子的研究状况13111课题研究历史13112未来研究趋势1312论文组织方式15121论文的研究路线15122论文的组织结构1513课题研究的意义及其目的162量子力学基本理论1821薛定谔方程18211波函数18212本征值1922算符的运算和变换19221算符的对易关系19222算符的幺正变换20223算符的傅里叶变换2123函数8231定义8232性质824无外场下一维
26、谐振子的薛定谔方程的本征值和波函数9241薛定谔方程的变换9242波函数和本征值的精确解103均匀磁场中二维各向异性谐振子的波函数与本征值1131均匀电磁场中定态薛定谔方程24311均匀磁场中三维谐振子的哈密顿算符25312均匀磁场中三维谐振子的薛定谔方程2632哈密顿算符的变换26321哈密顿算符的分离27322哈密顿算符的变换2833本征值的求解4234波函数的求解42341变换后的哈密顿算符的波函数2812342傅里叶变换2935原哈密顿算符的波函数的精确解3236典型特例34361应用均匀磁场中二维各向异性谐振子理论34362精确计算均匀磁场中二维各向同性谐振子的波函数与本征值284总
27、结性分析5341二维与三维谐振子的比较5342各向同性与各向异性的比较5343分析与总结53参考文献56致谢56131引言11谐振子的研究状况谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。对于经典力学中的谐振子我们已经非常熟悉，它发展的历史也可以追溯到十七世纪，理论也非常完善。然而对于量子力学中的谐振子模型，那是一个既古老又年轻的模型，说它古老是因为它随着量子力学在19世纪初就一起诞生了至今也有一百多年的历史了对于我们一代人来说是很古老了，但是相对于其他科学它又很年轻比如就说经典物理学那是快几个世纪的时间了。量子力学虽然年轻但是后劲却很足，在它诞生的一百多年里迅速发展
28、，现在几乎所有科学前沿问题都与量子力学有关系，谐振子模型就是一个很好的例子。111课题研究历史关于谐振子的研究的历史，可以追溯到很久很久以前，因为自从19世纪量子力学诞生以后，谐振子模型作为量子力学中几个为数不多的可精确解问题，曾经有人把谐振子模型和氢原子模型比作量子力学的脊梁柱。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决，后来DIRAC用算子代数的方法给出极其简洁漂亮的解。而在同一时期，FOKE对二维谐振子的研究也已经非常可观，几乎可以把它完美的解析出来，写在自己的论文集中发表，这篇论文集在量子物理学上也是堪称经典的论文集。而对于三维谐振子问题的研究，历史上
29、出现了两大方向第一个方向就是在直角坐标系里，利用各种各样的数学物理变换，随之使得三维谐振子就转换为三个一维谐振子的线性叠加，而它的本征波函数的形式就是三个厄米多项式的相乘；第二个方向就是直接在球坐标系里做解答，在球坐标系中本征波函数解得形式就是球谐函数和合流超几何函数乘积的形式。这两种形式在物理意义上是完全等价的，之所以有两种方法是因为它们选择了各自的守恒量完全集，运用不同的数学技巧，就造就了两种不同的形式。在此基础上接下来的几年中，伟大的天才数学家狄拉克发明了一套量子力学中简洁且意义明确的记号狄拉克符号，正是因为狄拉克符号的完整性帮助谐振子理论更加完美，而且还不断有学者对其理论解法进行优化研
30、究，寻找更好的更简单的计算方法，期间确实也出现了大量的好的解法，值得我们学习。112未来研究趋势14在量子力学发展的早期，我们所有讨论的问题都是与时间无关的，换句话说就是谐振子的量子态是不随时间变化而变化的，我们在量子力学中称之为定态问题，随之而来要满足薛定谔的方程叫做定态薛定谔方程。但是随着科学技术的发展，现在很多实际问题都是包含着时间变化的问题，所以从19世纪80年代开始我们研究的重心就逐步转移到含时间演化问题。当然我们的谐振子模型它也有含时间演化的量子态，在这里我们简单介绍一些现在已经比较成熟的一些态演化问题，主要包括高斯波包演化、相干态和压缩态。关于高斯波包的演化，在HAMILTON力
31、学中,相空间是一个基本的概念。量子相空间理论也是一个非常有趣的领域。到目前为止，该理论已经被广泛应用于物理学的各个分支，如WIGNER函数应用于统计力学、核物理、原子和分子物理，特别是量子光学和相对论夸克模型以及最近的量子信息科学。自从1932年WIGNER为了对经典统计力学体系做量子修正而提出的WIGNER函数以来，已有许多工作从两个不同的途径致力于发展量子相空间理论。第一途径是沿着构造WIGNER函数的方法直接利用坐标表象或动量表象中的薛定谔方程的解来构造分布函数；另一个途径是在相空间中定义动量算符和坐标算符，然后建立相应的薛定谔方程。薛定谔研究了时间演化的最小不确定态，谐振子相干态，这是
32、近代物理学中的一个重要概念。把相干态用粒子态N的完备性展开得21|20|NZNZZENN这表明相干态是包含不同量子态的叠加，这些态是相位同步的，它是量子力学中谐振子能够达到的一种特殊量子态，存在于大量的量子力学系统中。相干态展现出的运动性质与经典振子很相似。主要是指以下方面在此状态下,1谐振子的能量平均值与经典振子能理相同2坐标和动量的平均值随时间的演化也与以经典振子完相同3波包不扩散,具有最小的不确定度鉴于相干态有固定特点，人们对相干态理论的研究与应用的兴趣日益浓厚。相干态已被广泛的应用于物理的各个领域。相干态作为电磁场和量子场论的准经典近似情况，是相空间路径积分的基础。KENNARD研究了
33、谐振子的更一般的波包演化，即压缩态。自1970年DSTOLER在国际上首次引入压缩态的概念以来，有关这一领域的研究工作进展就一直十分迅速。197615年，HPYUAN从理论上构造了广义光子湮灭算符的本征态即所谓的双光子相干态,因这种双光子相干态具有压缩效应,故人们又称之为压缩态；这是人类有史以来首次从理论上发现光场具有压缩效应的重大转折性研究成果，它在量子光学研究中起了重大转折作用。12论文组织方式本篇论文目的明确，原理简单，结构清晰，文章的组织方式也简单合理，根据我们所研究的课题的内容，结合我们对课题所用的研究方法，来组织论文的结构。121论文的研究路线我们这篇论文的研究路线灵魂，简单的就一
34、句话把未知的问题转化为已知的模型来解决，把不能直接求解的形式转换为可求解的形式，而本篇论文的研究方法也很明确，就是两个字转换。首先，课题是以均匀磁场中三维各向异性的谐振子的波函数和本征值的求解的问题来引出的，该问题隶属于量子力学的问题，所以我们先回顾一下量子力学的一些基本理论；其次，一维谐振子问题是我们在大三量子力学中学习过的一个为数不多的可以精确求解的模型，这是本篇论文的理论基础；再次；我们利用波函数的态叠加原理演化而来的算符分离理论，先把三维问题进行降维处理，把它分解为一个平面二维问题和一个一维问题；接着我们用幺正变换理论，再把本来不可再分的二维问题转换为两个独立的一维谐振子。在此基础上再
35、进行精确求解。最后，我们应用均匀磁场中二维各向异性的谐振子模型，求解出一个它的一个特例均匀磁场中二维各向同性的谐振子的波函数和本征值。在此基础上我们对三维和二维进行比较，各向同性和各向异性进行比较，得出结论。122论文的组织结构本篇论文大概可以分成四部分第一部分主要是介绍一下我们所要研究课题的一些历史背景，现在到目前为止的研究现状和分析一下未来的发展趋势，论文的组织方式和课题所研究的意义及其目的；第二部分是为研究这个课题做理论基础的，把一些要用的理论和公式重新复习一下或者再推导一遍，以便我们后面能熟练的应用到所研究的课题中；第三部分那是我论文的主体部分，主要包括哈密顿算符的分离和幺正变换的转变
36、，再加上傅里叶变换把波函数求解出来，结合幺正变换只改变波函数不改变本征值的特点，把本征值也求解出来；在此基础上，我们精确计算一个均匀磁场中二维各向异性谐振子的一个特例均匀磁场中16二维各向同性谐振子；第四部分主要是一些总结性的话语，在得出二维各向同性精确解之后再和二维各向异性的形式作比较，找出一些关键的区别和联系，同时对课题的总结，然后再一次认识到做好该课题的意义。13课题研究的意义及其目的在研究物理学问题时，为了更好的揭示和理解物理现象背后的规律性，我们常常需要对研究对象进行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依据是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理学上我们熟知的且非常成功的物理模型有很多
37、，比如说质点模型、理想气体模型、点电荷模型等等还有很多。谐振子模型是普通物理学中在研究机械振动问题时所涉及的一个最重要物理模型。在各种周期性振动中，最简单、最基本的振动形式就是简谐振动。在自然界中广泛存在和碰到简谐振动。任何体系在平衡位置附近的小振动，例如，分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都是简谐振动，且在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干独立的一维谐振动。最重要的是谐振子还往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进，所以谐振子的运动的研究，无论在理论上或在应用上都是很重要的。而我所要研究的均匀磁场中二维谐振子的模型也是最基础最简单的模型。它直接为三维谐振子
38、出场做了铺垫。虽然比一维谐振子只多了一个在均匀磁场和维数，但是他们俩却有本质的区别，最重要的区别就是在均匀磁场中的二维谐振子出现了相干项，这直接加大了本征值和其波函数的求解难度。这就要求我们寻找新的方法新的途径去解决它。因为它是多么的重要，仅仅是在均匀磁场中，不均匀的又该如何处理，再加一个电场又会出现什么新情况，所以在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型是最简单最重要的且最具有代表性的一个模型，而且这模型也是我们物理系研究生阶段最基础也最熟悉的模型。这样看来在均匀磁场中二维各向异性谐振子模型就显示出其重要的意义。课题所要研究的目的也很明确首先对于我自己来说那是一次对大学四年学习的一个小结，在大学过
39、了四年，自己到底学了些什么知识，能把学到的知识转化为实践的能力有多少，这篇论文就是一个很好的说明；其次这也是一篇理论型的文章，理论性的就必须要求我们简单明了，并且对一类问题要求总结，然后是能利用这个理论思想再进行推导更深层次的问题，即为均匀磁场中三维各向异性的谐振子模型做的铺垫，根据二维的思想理论三维的谐振子也能被很好的解决掉。17182量子力学基本理论21薛定谔方程在经典力学中，当质点在某一时刻的状态为已知时，由质点的运动方程就可以求出以后任一时刻质点的状态。在量子力学中情况也是这样，当当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要由一个方程来决定，所不同的是，在经典力学中，
40、质点的状态用质点的坐标和速度来描写，质点的运动方程就是我们所熟悉的牛顿运动方程；而在量子力学中，微观粒子的状态用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是我们的薛定谔方程。薛定谔方程是我们物理学家薛定谔在1926年提出的波动方程。应该强调，薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当，应该认为是量子力学中的一个基本假定，并不能从什么比它更根本的假定来证明它。它的正确性，归根到底，只能靠实践来检验。俗话说，实践是检验整理的唯一标准，也就是说在目前我们人类认知的领域内，还没有发现薛定谔方程是错的例子。薛定谔方程有三个特征首先，它是对时间微商的微分方程
41、；其次，薛定谔方程是线性的；最后，薛定谔方程的系数不应该包含状态的参量。在量子力学中，最基本也是最常规的薛定谔方程是这么定义的222IURTM当我们只讨论U（R）与时间无关的情况下的薛定谔方程，我们称之为定态薛定谔方程，定态薛定谔方程的形式如下222UREM211波函数把微观粒子的波动性和粒子性统一起来，更确切的说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来，是在1926年BORN提出来的概率波。BORN在用薛定谔方程来处理散射问题时为解释散射粒子的角度分布而提出来的。BORN认为DEBROGLIE提出的物质波，或薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间
42、分布的19波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已。因此波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。以后我们还将看到，由波函数可以得出体系的各种性质，所以我们说波函数描写体系的量子状态。212本征值在定态薛定谔方程中222UREM，我们也可以写成如下这种形式222UREM，我们令222HURM，H算符我们称之为哈密顿算符，也叫能量算符，那薛定谔方程更是可以简化为HE。这种类型的方程称之为本征值方程，E称为算符H的本征值，称为算符H属于本征值E的本征波函数。由此可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（以后简称能量本征态）时，粒子的能量有确定的数值，这
43、个数值就是与这个本征函数相对应的能量算符的本征值。22算符的运算和变换算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。在量子力学中的算符代表的是对波函数（量子态）的一种运算。关于算符我们量子力学中又有一条基本的假定如果算符F表示力学量F那么当体系处于的本征态时，力学量F有确定值，这个值就是F在本征态中的本征值。我们知道，所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。所以量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符。算符的运算和变换有很多,比如说算符相等、单位算符、算符之和、算符之积、逆算符、算符的复共轭和转置、对易等等。但
44、是在算符运算中算符的对易是最重要的，而在算符中的变换中，幺正变换和傅里叶变换又是最常用的也是最常见的。下面我们来仔细看看。221算符的对易关系20一般来说，算符之积不满足交换律，即ABBA，这是算符运算规则与平常数的运算规则唯一不同之处。我们定义,ABABBA，上式称为A与B的对易关系，如果右边式子等于零，我们就是这两个算符是对易的；否则就是不对易的。在对易关系中最重要的一组对易就是坐标算符和动量算符的对易关系。他们两之间的对易关系如下,XPI，只要熟练掌握这个对易关系其他一些基础的对易关系的运算就变得简单易懂。在这里我还要向大家介绍一个指数对易的定理121111,23AANEBEBABACA
45、CACN0CB，1,CAB，21,CAC，1,NNCAC1210123111,23111231AANNNEBEBABACACACNCCCCCNCN由于这个定理我后面的论诉中起决定性的作用，所以我在这里特别的说明。222算符的幺正变换量子力学中表象的选取取决于所讨论的问题。表象选取的恰当可以使问题的讨论大为简化，这正如几何学和经典力学中选取坐标系一样。在讨论物理问题时，常常需要从一个表象变换到另一个表象。所以由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。在这里我们重点了解一下力学量H由A表象变换到B表象的变换公式1HUHU幺正变换两个重要的性质（1）、幺正变换不改变算符的本征值。也就是说H经过幺正变换
46、之后变成H，他们两个的21算符的本征值是一样的。（2）、幺正变换不改变矩阵H的迹。即H的迹等于H的迹，也就是说矩阵的迹不会因为幺正变换的改变而改变。223算符的傅里叶变换算符或者是波函数的傅里叶变换使我们量子力学中最常用的变换方法，也正是因为这样所以我们物理系的学生都要学习一门数学物理方法的必修课程。这也从侧面反应出数学对物理是那么的重要，以至于我们物理系的学生对数学要求为何如此之高。在这里我只简单的回顾一下傅里叶变换的定义和一个重要的性质卷积定理。12IXFXFED，12IXFFXEDX并常用符号简记为1FXF，FFXFX和F分别称为傅里叶变换的原函数和像函数。傅里叶变换的卷积定理若11FX
47、FW22FXFW1212FXFXFFXD则12122FXFXFWFW23函数我们物理学中常常要研究一个物理量在空间和时间中的分布密度，例如质量密度、电荷密度、等等。但是我们物理中又常常运用质点、点电荷等抽象模型，他们不是连续分布在空间和时间中，而是集中在空间的某一点或某一时刻，所以我们引入函数。归根结底，其实函数只是我们物理有意义的一个模型，脱离了物理完全是空范的。231定义对于质点、点电荷这一类集中空间某一点或时间某一瞬间的抽象模型，在我们物理学上引入函数以便描述它们的密度220,0,0XXX,0,01,0BABABAXDX在这以后，数学上引入了广义函数的概念，在严密的基础上证明了函数的一些
48、重要性质。232性质函数具有以下几个重要的性质（1）、X是一个偶函数，它的导函数是一个奇函数。（2）、对于任何一个定义在R上的连续函数FX00FXXTDXFT这有时也叫函数的挑选性。（3）、函数傅里叶变换12IXXED24无外场下一维谐振子的薛定谔方程的本征值和波函数在自然界中广泛存在简谐振动。任何物理体系在平衡位置附近的小振动，在选择恰当的坐标系后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振动，谐振动往往还是作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各个方面的改进。所以一维谐振子的研究，无论在理论上还是实际应用上，都是很重要的。尤其对于我这个研究的课题，如果你没有把一维的谐振子的理论基础弄明白的话，你就更本无从下手，所以对于一维谐振子的波函数和本征值推导过程，我个人认为还是很有必要自己完全掌握，因为这是最基础的。只有我们一步一步的，脚踏实地的从最基础的东西开始做起我们才有做后面研究的必要。一维空间内运动的粒子的势能为2212MX，是常量，这种体系我们就称之为谐振子模型。一维谐振子的能量本征值问题，在历史上首先为HEISENBERG的矩阵力学解决，后来DIRAC用算子代数的方法给出极其漂亮的解。我们还是根据波动力学的解法，再来重温一遍这个完美的一维谐振子问题。241薛
