1、本科毕业设计（20届）寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单的精算现值测算所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I【摘要】寿险中寿命的分布情况是近年来保险精算研究的热点之一。为了解决夫妻合险的寿命分布，我们假设两人的寿命是独立的且是均匀分布的，利用多元生命函数的计算方法可以计算出夫妻合险的二元生命函数。保险模型主要分为离散的保险模型和连续的保险模型，再根据保险的种类，可以建立寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单的各种精算现值模型。【关键词】夫妻合险；均匀分布；二元生命函数；精算现值。【ABSTRACT】THEDISTRIBUTIONOFLIFEINTHEACTUARIAL
2、STUDIESINRECENTYEARSISONEOFTHEHOTINORDERTOSOLVECOUPLESLIFEINSURANCEJOINTDISTRIBUTION,WEASSUMETHATTHELIFEOFTHETWOAREINDEPENDENTANDAREUNIFORMLYDISTRIBUTED,THEUSEOFMULTIPLELIFEFUNCTIONMETHODCANCALCULATETHELIFEINSURANCEFUNCTIONOFCOUPLETOGETHERINSURANCEMODELINSURANCEMODELISDIVIDEDINTODISCRETEANDCONTINUOU
3、SINSURANCEMODEL,ACCORDINGTOINSURANCESPECIES,YOUCANCREATEMODELWHICHUNDERTHESAMELIFEDISTRIBUTION，COUPLECOINSURANCEOFTHEFIRSTTYPEACTUARIALPRESENTVALUECALCULATION【KEYWORDS】COUPLECOINSURANCE；UNIFORMDISTRIBUTION；DUALFUNCTIONOFLIFEACTUARIALPRESENTVALUEII目录摘要错误未定义书签。ABSTRACT错误未定义书签。目录II1绪论111人寿保险的起源与意义1111人
4、寿保险的起源1112人寿保险的意义112人寿保险的内容2121人寿保险的基本概念2122人寿保险的种类213论文研究框架32生命函数321单个生命函数32110岁婴儿的生存分布函数3212X的生存分布函数522二元生命函数5221联合生存状态未来存续时间的概率分布6222最后生存状态未来存续时间的概论分布623寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单中夫妻二人的生命函数73人寿保险的精算现值831死亡年末给付的人寿保险模型8311死亡保险8312两全保险932死亡（M）末给付的人寿保险模型9321死亡保险10322两全保险1133死亡即刻给付的人寿保险模型11331死亡保险11332两全保险124建
5、立寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单精算现值模型1241死亡年末给付的夫妻合险第一型保单模型12411死亡保险的精算现值模型12412两全保险的精算现值模型1342死亡（M）末给付的夫妻合险第一型保单模型14421死亡保险的精算现值模型14422两全保险的精算现值模型1543死亡即刻给付的夫妻合险模型15431死亡保险的精算现值模型15432两全保险的精算现值模型165总结与展望16参考文献17III致谢错误未定义书签。附录171绪论11人寿保险的起源与意义人类社会生活中经常要面对疾病、死亡、意外事故和自然灾害等方面的风险。科学技术的发展和生活水平的提高,不断增强着人类抵御风险的能力。但是风险
6、是不可能根本避免的,而随着社会、经济和科学技术的发展,还会不断产生新的风险,风险在局部或微观上具有不确定性和损失集中的特点,但在大范围和宏观上,风险发生的可能性大体稳定以及损失的大小基本服从一定的分布规律。保险的基本原理是将众多被保险人的保费集中保险人到处,当风险发生后,由保险人承担损失。这种机制使被保险人通过付出少量且固定的保费,将大量的不确定的损失转移到保险人或保险公司身上保险人利用保费收入一方面保证赔偿的正常进行,另一方面,通过分析与计算来合理调配资金,提高保险基金的投资效益,最终使被保险人和保险人都有所收获。111人寿保险的起源人身保险的观念萌芽于人们谋求经济生活安定的需求。人身保险之
7、分类中，以人寿保险之发展为主，最早的人寿保险雏形，可以溯及到公元一世纪时罗马的一个组织，那是一个宗教团体，会员缴纳定额的入会费，在他死亡时，他的遗族可以领到一笔葬仪费用。此后，中世纪欧洲的基尔特（GUILD）组织，是一种类似同业公会，由职业相同者基于相互扶助精神所组成的团体，它除了保护会员职业上的利益之外，对会员的死亡、火灾、疾病、窃盗等灾害，也共同出资救济。后来，基尔特的相互救济机能渐渐独立成为保护基尔特，进而形成各种接近保险的设施；像英国的友爱社、德国的救济金库、法国的相互救济会等都是，对人寿保险的发展影响颇大。不过，这些早期的人寿保险，因为缺乏科学的计算基准，并不为大多数人所重视。现代人
8、寿保险制度的建立，要从生命表（或称死亡率表）运用于计算人寿保险保费开始。所谓生命表，就是利用大数法则（通常采用十万人为统计对象），统计出来的死亡率表。我们虽然不能预定某一个人在某一年内一定会身故的死亡机率，但是我们可以采取十万人这么大的人数来统计过去死亡的机率。得出一个预定的死亡率，列表作为人寿保险计算纯保费的根据。公元一七六二年英国伦敦的衡平保险社（EQUITABLEASSURANCESOCIETY）首先根据生命表，按年龄及身体健康状况计算合理的保险费，由于办理趋于科学化，改变了一般人对人寿保险的看法，人寿保险也从此才受到大家的重视，开始蓬勃地发展。112人寿保险的意义传统保险的主要功能是提
9、供保障而非投资。随着现代经济的迅猛发展，人们已逐步认识并认可保险但大多数人还是喜欢把保险和股票，债券相联系相比较其实，保险并不是以投资为目的的，2一纸保单所提供给您的是一种保障，是对于未来不确定风险的预防，是在您家庭财产受损或人身遭受意外伤害时，对您的财产损失的补偿和人身伤害的给付。而返还型险种所具有的本金返还、利息给付等职能，只是保障功能的一种补充，是为了满足购买者的某种心理，吸引购买者而设计的。我们知道，退休金是按退休时的工资水平确定的，很少能随物价的变动而进行调整。然而社会经济生活水平却在不断提高，同时人的寿命也越来越长，人们需要更多的生活费，单靠劳保无法解决。何况，人的年龄越大，所需的
10、医疗费用就越多，单位一般只能报销一部分，而且万一有了大病，庞大的医疗费用更是家庭难以解决的。所以，养老保险和医疗保险是您晚年美好生活的重要保证，更是劳保的有力补充。对个人来说，投保人寿保险是获得对未知风险的保障，可以使其在受到意想不到的损害时，本人或家庭可以得到经济上的补偿，确保家庭经济的安定；亦可作为一种储蓄和投资工具，在保险有效期内，被保险人可以得到保险金额和其它报酬。可以说不论男女老幼、贫富贵贱都需要人寿保险。假如你在年轻时挤出一部分金钱购买适当的人寿保险，那就会“种下一棵小树，收获一片绿荫。”人寿保险可以使老有所养、病有所医、幼有所依，有利于自身发展、是一种投资。12人寿保险的内容人寿
11、保险又称生命保险，是人生保险的一种，它是以人的生命为保险标，以人的生死为保险事故，当发生保险事故时，保险人对被保险人履行给付保险金责任的一种保险。虽然人寿保险单的名目繁多，但人寿保险的基本种类只有如下几种生存保险、死亡保险、两全保险和年金保险。121人寿保险的基本概念人寿保险是以人的生存或死亡为唯一损失的险种,每个人的死亡对家庭和社会的伤害以及人的生存价值本身并没有统一的标准,一般是由承保人提供各种可选择的保额,即寿险中每个投保人的赔偿额是固定的。这里唯一的不确定量是被保险人的死亡时间或生存时间。另外,由于寿险保险期长1年以上,就要考虑保费的利息问题也就是保额的现值问题。所以说,生存分析和利息
12、理论是构成寿险精算的两大核心。在本论文中我们只考虑生存分析，利息保持不变。122人寿保险的种类人寿保险的基本种类如下生存保险就是指保险人与被保险人事先约定，被保人在规定时期届满仍然声讯，则满期给付生存保险金的保险。生存保险是以被保险人在经历一定时期后仍继续生存为给付条件的保险。给付的期间长短不一，直至被保险人死亡为止。若被保险人在期间内死亡，则合同终止，不给付保险金，也不退还己交的保险费。死亡保险是以被保险人的死亡为保险事故的人寿保险。根据合同期间的不同，死亡保险可分为终身保险与定期保险。终身保险也称为终身寿险，是指保险人与被保险人事先约定，当被保人在将3来任意保单年度内死亡时便给付保险金的寿
13、险。终身寿险并不规定死亡期限的保险。自合同生效之日起，无论被保险人何时死亡，保险人均给付受益人保险金。因此，终身寿险是一种不定期的死亡保险，或者说是以被保险人终身为期的保险。定期保险是指保险人与被保人事先约定，在规定的期限内若被保人死亡则给付保险金的寿险。定期寿险是以约定被保险人在一定期间内死亡为给付条件的保险。若被保险人过期不死，则保险合同终止，保险人无给付义务，也不退还已收的保险费。两全保险是指保险人与被保人事先约定，在规定的期限内若被保人死亡，则给付死亡保险金，若被保人满期仍然生存，则期满后给付生存保险金。由此可见，两全保险实质上是有定期保险和生存保险组合而成的。13论文研究框架本论文共
14、分为五部分，全文各部分内容作如下安排第一部分，绪论。主要介绍人寿保险的起源、意义、内容和论文框架。第二部分，生命函数。主要论述了与本论文有关的生命函数。包括单个生命的生命函数、二元生命的生命函数和寿命同分布且均匀分布情形下夫妻合险第一型保单的二元生命函数。第三部分，详细介绍了各种人寿保险的单个生命的精算现值的计算方法，如死亡年末给付的人寿保险模型、死亡（M）末给付的人寿保险模型、死亡即刻给付的人寿保险模型，为下一步的建模做准备。第四部分，建立寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单精算现值模型，即分别建立了死亡年末给付、死亡（M）末给付、死亡即刻给付的人寿保险下夫妻合险的精算现值模型。第五部分，总结
15、与展望。对全文的研究成果进行总结，阐述其局限性，并探讨未来的研究方向和工作目标。2生命函数21单个生命函数人寿保险是以被保人的生死为保险标的，被保人的生死又取决于将来生存年龄到死亡所经历的时间，它是一个随机变量，保险金是否支付以及何时支付就由该随机变量决定。因此，该随机变量的分布律被保人的生死规律，是建立人寿保险数学模型出利息因素以外的另一个重要因素。我们先从最简单的单个生命的生命函数开始探讨。2110岁婴儿的生存分布函数假设0岁婴儿的寿命，即人从出生到死亡所经历的时间为X。由于人的生命是不确定的，因此，X为连续型随机变量。4设X服从,AB（其中0,100AABB）上的均匀分布，则0PR,0X
16、XXAQFXXXXBA其中，0XQ、XFX均是X的分布函数，是指0岁的人在X岁前死亡的概率。但在精算学中,对人的寿命的分布律通常使用上述对立事件所确定的生存函数来加以反映，即0PR,0XXBXPSXXXXBA其中，0XP、XSX仍是X的分布函数，它们均表示0岁的人能活过X岁的概率，或0岁的人仍生存的概率。显然0XQ、0XP有如下关系001XXPPX的密度函数为XXXFXFXSX某人在X岁时生存而相对于其瞬间的单位时间上的死亡率，这已死亡概率我们称之为某人到达X岁时的死亡力，记为X，且定义为01LIM|XHPXXHXXH假定极限总是存在的在这个表达式中，所表示的概率是一个条件概率，即活到X岁的人
17、在一个很小的时间间隔内死亡的概率。把这个条件概率以长度为H的时间单位进行分割，当H趋于0时的极限就表示相对于X瞬间的单位时间的死亡概率。利用数学分析的知识进行计算知001LIM|1LIM111XHXXHXXXXXPXXHXXHFXHFXHFXFXFXSXSX所以1XBX5212X的生存分布函数我们通常用X表示X岁的人，用TX表示X岁的人的未来寿命，显然TX是连续的随机变量。随机变量TX同样服从,AB上的均匀分布，根据概率论知识，TX的分布函数可定义为PR,0TXTXTAQFTTXTTBA其中，TXQ表示0岁的人已经活过X岁的条件下在XT岁前死亡的条件概率。而得生存函数则定义为PR,0TXTXB
18、TPSTTXTTBA它表示0岁的人活过X岁的条件下在XT岁仍活着的条件概率。当1T时，习惯上省略左下标，即用1XXQQ和1XXPP分别表示X岁的人在未来一年内死亡的概率和在一年后仍活着的概率。另外，引入一个符号|TUXQ用以表示X先活T年而不能再活过U年的概率，即X在XT岁与XTU岁之间死亡的概率，则|PRTUXTUXTXTXTUXQTTXTUQQPP所以|11PR1TXTXTXQTTXTQQBATX是一个连续型随机变量，在人寿保险的实际经营中，由于死亡保险金一般是在被保险人死亡时立即支付的，即被保人投保后的TX处支付，因此这种连续情形与实际比较一致，但不便于实际计算。为此，我们引入未来寿命周
19、年数的离散情形。所谓X的未来寿命周年书是指X未来生存时间的整年数。若记为KX,则KXTX，即KX为不超过TX的最大整数。由于TX是随机变量，从而KX也为随机变量，且其所有可能的取值为0,1,2,。根据概率论知识我们可以得到KX的概率分布律为|PRPR1,0,1,2,KXKXXKKXKKTXKQPQK22二元生命函数6在一份寿险保单中，被保险人的人数常见的是一个人，但也可以是多个人，如夫妻合险，一家人共险，子女为父母合买一份养老保险等。当按被保险人的人数对寿险保单分类时，一般把只有一个被保险人的保单称为单生命寿险保单；把有多个被保险人的保单称为多生命寿险保单。在本论文中我们仅考虑两个生命X、Y组
20、成的群体，在联合寿险中，一个人的生死可能对其他人的寿命有影响，如一对夫妻，丈夫的死亡可能使妻子的寿命减短，因此，在实际问题中，依TX、TY的分布来求T的分布非常困难，在本论文中主要讨论两个个体的未来生存时间随机变量相互独立的情况。221联合生存状态未来存续时间的概率分布由两个生命X和Y组成的一个群体，如果这一集合中所有生命都存活，则称由这两个生命组成的联合生命状态存在或存活。如果其中有一人死亡，则称这一联合生命状态失效或死亡。记联合生存状态XY的未来生存时间随机变量为MIN,TXYTXTY。现研究T的分布。对于0T，T的分布函数为PR1PR1PRMIN,1PRTYT1PRPRTYT1TTXYT
21、XTYFTQTTTTTXTYTTXTTXTPP且它表示状态XY在时间T仍存在的概率，即X、Y均活过T的概率。由此可得PRTXYTXTYPTTPPTTTFXFXSXXYXTYTT222最后生存状态未来存续时间的概论分布二元生命中至少有一个人存活时的定义为状态存在，而当最后一个人死亡时为状态消亡，这种状态称之为最后生存状态，记最后生成状态XY的未来存续时间随机变量为MAX,TXYTXTY。对于0T，T的分布函数为7PRPRMAX,PRTYTPRPRTTXYTXTYFTQTTTXTYTTXTTXTTYTQQ且由此可得TTXTYTXTYXYPPPPP|TUTUXTUYTXTYXYQQQQQTXXTTY
22、TTXTYXTYTXYTXTYTXTYPPPPPPPP23寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单中夫妻二人的生命函数在本论文中假设夫妻二人的寿命是同分布且相互独立的，且夫妻二人的未来存续时间随机变量TX、TY均服从,AB上的均匀分布。为方便起见，本论文只讨论夫妻合险中的第一型保单，即讨论夫妻二人在联合生存状态下的生命函数。夫妻二人在联合生存状态下的生命函数为211TTXYTXTYFTQPPBTBA2122TTFTFTBTBABTBA2PRTXYTXTYBTPTTPPBA83人寿保险的精算现值31死亡年末给付的人寿保险模型死亡年末给付的人寿保险也称为离散型的人寿保险模型，这种寿险模型是基于这样的假定
23、保险金是在被保人死亡所处的保单年末给付，即被保人年内死亡时要到年末才给给付保险金。假设被保险人在投保或签单时的年龄为X，其未来取整余寿为K。1KB为1K年末给付的保险金额，1KV为1K处给付1个单位在签单时的贴现因子，Z为在1K年末支付保额在签单时保单生效时或时刻0时的现值。则111KKKZBV因此，在死亡年末给付的人寿保险模型下，现值随机变量Z的期望值EZ的一般表达式为11|00,1,2,KKKXKEZVBQK对于人寿保险，现值随机变量Z的期望值EZ称为是趸交缴纯保费，即人寿保险的精算现值。下面，我们运用上式考察死亡年末给付的寿险模型下各种人寿保险的保额的精算现值。311死亡保险死亡保险分为
24、N年定期保险和终身寿险。（1）N年定期保险假设X签约死亡年末给付的人寿保险的保险金额为1个单位的N年定期保险，其保额的精算现值用符号1XNA表示，有关函数为11111010101010101KKKKKNBKNVKNVKNVKNZKN所以保额的精算现值为111|0NKKXXNKAVQ（2）终身寿险对于X投保死亡年末给付的人寿保险的保额为1个单位的终身寿险，其保额的精算现值用XA表示。对于投保人自投保之日起，无论何时死亡，保险人均需在被保险人死亡之年的年末支付1个9单位的保额。其保额的精算现值为1|0KXKXKAVQ312两全保险N年期两全保险是由N年期生存保险和N年定期保险组成，X无论在XN岁之
25、前死亡，还是活至XN岁，保险人均需支付L个单位的保额。111110,1,2,0101KKKNKNBKVKNVVKNVKNZVKN故保额的精算现值为11|0NKNKXNXXNKAVQVP这种保险它提供给被保险人的权益较多，它的保费也相对纯粹生存保险和死亡保险的保费高。32死亡（M）末给付的人寿保险模型死亡（M）末给付的人寿保险同样也可称为离散型的人寿保险模型，这种寿险模型是基于这样的假定保险金是在被保人死亡所处的保单（M）末给付，即被保人（M）内死亡时要到（M）末才给付保险金。假设被保险人在投保或签单时的年龄为X，其未来取整余寿为（M）。1MB为1M末给付的保险金额，1MV为1M处给付1个单位在
26、签单时的贴现因子，Z为在1M年末支付保额在签单时保单生效时或时刻0时的现值。则111MMMZBV因此，在死亡（M）末给付的人寿保险模型下其精算现值一般表达式为11|00,1,2,XMMMMEZVBQM由于夫妻二人的寿命均服从,AB上均匀分布,则当我们把年分成月、季、半年的时候，在每月、每季、每半年的时候也是服从均匀分布的，即服从,MAMB上的均匀分布，得出10XMMMAQMBMAXMMBMPMBMA211XYXYMMMQPPMBMMBMA|12222111212XYXYXYMMMQQQMBMMBMMBMAMBMAMBMMBMAMBMA321死亡保险死亡保险分为M定期保险和终身寿险。（1）M定期
27、保险假设X签约死亡（M）末给付的人寿保险的保险金额为1个单位的M定期保险，其保额的精算现值用符号1XMA表示，有关函数为111101010101MMMMMBMMVMMVMM所以保额的精算现值为111|0MMXMXMMAVQ（2）终身寿险对于X投保死亡M末给付的人寿保险的保额为1个单位的终身寿险，其保额的精算现值用XA11表示。对于投保人自投保之日起，无论何时死亡，保险人均需在被保险人死亡之年的年末支付1个单位的保额。其保额的精算现值为1|0MXXMMAVQ322两全保险M期两全保险是由M期生存保险和M年定期保险组成，X无论在XM之前死亡，还是活至XM，保险人均需支付L个单位的保额。保额的精算现
28、值为11|0MMMXMXMXMMAVQVP33死亡即刻给付的人寿保险模型保险人在被保险人的未来寿命TTX时给付保险金，即在被保险人死亡时立即给付。这样的保险模型称为连续型人寿保险模型，也称死亡即刻给付的人寿保险。在寿险实务中几乎所有保险都是如此。假设被保险人在投保或签单时的年龄为X岁，TB为在T时刻支付的保额，TV称为利息贴现系数，TZ为在T时刻支付的保额在签单时的现值，则TTTZBV它是一个随机变量，定义TEZ为相应寿险的精算现值。331死亡保险死亡保险分为N年定期保险和终身寿险。N年定期保险1000TTTTTTNBTNVVTVTNZTN其保额的精算现值为12100NNTTXNTXTXXTA
29、EZVFTDTEPDT终身寿险令上式中N，得00TTXTXTXXTAEZVFTDTEPDT332两全保险对于X投保连续性的保险金额为1单位的N年期两全保险，其保险金现值随机变量为,TXNVTXNZVTXN若其保额的精算现值记为XNA，则0NTNXNTXXTNXAEPDTVP4建立寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单精算现值模型41死亡年末给付的夫妻合险第一型保单模型二元生命状态的精算现值的计算模型比较简单，既可根据状态未来存在时间及给付方式确定现值随机变量取期望值得到，即可直接将单生命状态X的基本公式改为二元生命状态W得出。在独立假设下，这些公式可以由状态W中单个生命未来生存时间的分布表示。在本
30、论文中，我们将直接使用后一种方法得出。X寿命同分布情形下夫妻二人的生命函数前文已给出,首先考虑在状态终止那个保单年末给付1的死亡保险411死亡保险的精算现值模型（1）N年定期寿险的精算现值为111|0NKKWWNKAVQ其中13|12222111212KWKWKWQQQBKBKBABABKBABA则21111122001223422121222212212231212111NNKKWNKKNNNNNBAVKVBABABVVVVVVNVBABABVVNVNVVVVBABA（2）终身寿险的精算现值为1|0KWKWKAVQ其中|12222111212KWKWKWQQQBKBKBABABKBABA则1
31、122001222422222221221223121V21V1KKWKKNNBAVKVBABABVVVVVVNVBABABVBABAV412两全保险的精算现值模型两全保险的精算现值为1411|0NKNKWNWWNKAVQVP其中|12222111212KWKWKWQQQBKBKBABABKBABA2NWBNPBA则2122242221212222212231212111NNWNNNNNNBAVVVVVVNVBABABNVBABVVNVNVVVVBABABNVBA42死亡（M）末给付的夫妻合险第一型保单模型其次考虑状态终止那个保单（M）末给付1的死亡保险421死亡保险的精算现值模型（1）M定期
32、寿险的精算现值为111|0MMWMWMMAVQ整理，得21212122212111MMMWMMBVVMVMVVAVVMBMAMBMA（2）终身寿险的精算现值为151|0MWWMMAVQ整理，得222221V21V1WMBVAMBMAMBMAV422两全保险的精算现值模型两全保险的精算现值为11|0MMMWMWMWMMAVQVP整理，得21212222212111MMMWMMMBVVMVMVVAVVMBMAMBMAMBMVMBMA43死亡即刻给付的夫妻合险模型最后考虑在状态终止之时给付1的死亡保险。431死亡保险的精算现值模型（1）N年定期寿险的精算现值为10000222221LN212LNLN
33、NTWNTWNTNNTTNNNAEZVFTDTBTVDTBABVDTTVDTBABAVVNVBVBAVBAV（2）终身寿险的精算现值为160000222222121LNLNTWTWTTTAEZVFTDTBTVDTBABVDTTVDBABABBAVBAV432两全保险的精算现值模型两全保险的精算现值为0221LN212LNLNNTNWNTWNWNNNNAVFTDTVPVVNVBVBAVBAVBNVBA5总结与展望经过很长的时间的论文写作，终于告一段落。现将论文简单总结并提出一些展望。论文通过大篇幅的基础知识、原理的介绍，最终是为文章的第四部分服务。绪论部分详细的介绍了人寿保险的起源和意义和人寿保
34、险的基本内容。第二部分主要是对生命函数进行讨论的，人寿保险的依据是生命表，保费计算、理赔等问题均需以生命表为基础，因而生命表也是人寿保险的精算基础。第三部分则是详细的总结了各种人寿保险的精算现值的计算方法，这一部分是非常关键的一部分，可以说是承前继后的，第四部分中的模型都要用到这部分的公式进行建模。第四部分是建立寿命同分布情形下夫妻合险第一型保单精算现值模型，在这部分详细的介绍了各种情况下精算现值模型，以夫妻二人为一个家庭作为研究对象，以均匀分布定义两者的生命函数分布，在前人的研究上是更进了一步。本文由于研究的水平的有限，在第三部分中还需要做进一步研究，论文中只考虑了即期的情况下，在延期的情况
35、下页有很大的研究空间。在第四部分，仅仅考虑夫妻两人合险的精算现值计算，实际上一个家庭大部分不止两个人，有孩子有老人，在查阅了相关文献后显示这部分目前研究的人比较少，成果不多，尤其是生命体为三人或以上时，研究的人就更少了。再结合当今及未来家庭的实际情况、目前经济发展的实际状况，认为这部分将会有很大的研究空间和价值。17参考文献1VIRGINIARYOUNGOPTIMALINSURANCEUNDERWANGSPREMIUMPRINCIPLEJINSURANCEMATHEMATICSANDECONOMICS2519991091222LIENDANOVIYANTIMUHAMMADSYAMSUDDINK
36、UNTJOROADJISMODELLINGACTUARIALPRESENTVALUEUNDERSTOCHASTICDISCOUNTFUNCTIONJPROCEEDINGTHE2NDIMTGTREGIONALCONFERENCEONMATHEMATICS,STATISTICANDAPPLICATIONSUNIVERSITISAINSMALAYSIA,PENANG,JUNE1315,20063王婷寿险精算技术研究J山东教育学院学报2009，（5）4牛新华寿险理论中的生命表与生命函数J新疆金融，1998，45杨全成保险精算技术M复旦大学出版社,200676王丽燕、柳杨一种家庭联合保险的精算模型J大连
37、大学学报,200447吴耀华、蔡新中、吴之强一种夫妻联合养老金附死亡保险的计算问题J中国科学技术大学学报,1998,28（4）8林正炎、苏中根概率论M浙江大学出版社,200179李秀芳保险精算（第二版）M中国人民大学出版社,2008210靳建涛寿险精算方法及应用研究D河北工业大学,2005附录1、若两人同时出生，且从出生之时就投保，则我们只需令正文中夫妻合险第一型保单中夫妻二人的寿命分布函数中的0A时，即从0岁开始的寿命分布函数。另外只要是两人合险不论是否是夫妻，他们合险的第一型保单的精算现值模型均与夫妻合险第一型保单的精算模型一样。2、死亡（M）末给付的人寿保险模型中，随M值的变化，有不同的含义当1M时，表示死亡年末给付的人寿保险；当2M时，表示死亡半年末给付的人寿保险；当4M时，表示死亡季末给付的人寿保险模型；当12M时，表示死亡月末给付的人寿保险模型定期保险中的M期则分别与之相对应，表示年、半年、季、月至于（M）的值应计算如下当一个人投保之后继续活了13年，在第十四年的5月中旬死亡，则1811321322641341531213124160MMMM当然M也可以等于其他的数字，计算方法与直类似，不难计算，在此只介绍几个简单的即可。
