1、1高中数学选修 2-1 圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F 2的距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0b0)的两个焦点，P 是2xy以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若PF 1F2=5PF 2F1,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)363 23例 5. P 点在椭圆 上，F 1、F 2是两个焦点，若 ，则 P2045yx 21FP点的坐标是 .例 6. 写出满足下列条件
2、的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; .3(2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; _.)03(31(4)离心率为 ，经过点 (2，0); .2例 7. 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则12F、 214xyP的最大值是 12|P二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、 F2的距离之差的绝对值等于定值2a(01)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线 叫做双曲线的准线,常数 叫做双曲线的离心率例 8 .命题甲：动点 P 到两定点 A、 B 的距离之差的绝对值等
3、于 2a(a0)；命题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分4也不必要条件例 9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是（ ）(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线例 10. 过点(2，-2)且与双曲线 12yx有相同渐近线的双曲线的方程是( )(A) 124yx (B) 42xy(C) 42x(D) 142xy例 11. 双曲线 的两焦点为 在双曲线上,且满足21()xyn12FP,则 的面积为( )12PFn12FPA()A)B()2C()4D例 12 设 的顶
4、点 ， ，且 ，则第三个ABC)0,4(),(BBAsin21isin顶点 C 的轨迹方程是_.5例 13. 根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线 有共同渐近线，且过点(-3， )；2196xy32与双曲线 有公共焦点，且过点( ，2).24例 14. 设双曲线 上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）求直线 AB 方程；21yx注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）6三、.抛物线1.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 叫做抛物线的准线.l l2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准
5、方程2(0)ypx2(0)ypx2(0)xpy2(0)xpy图形对称轴 轴x轴x轴y轴y焦点 (,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点 原点 ,准线 2px2px2py2py离心率 1e注: 通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.例 15. 顶点在原点，焦点是 (0,2)的抛物线方程是( )(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2= 8x例 16 抛物线 上的一点 到焦点的距离为 1，则点 的纵坐标是( )24yxMM(A) (B) (C) (D)0176156787例 17. 过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的
6、直线有( )(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条例 18. 过抛物线 (a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若2yx线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、 q，则 等于( )1(A)2a (B) (C) (D)2a4a4a例 19 若点 A 的坐标为(3，2)， F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上移动，为使| PA|+|PF|取最小值， P 点的坐标为( )(A)(3，3) (B)(2，2) (C)( ，1) (D)(0，0)1例 20 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 .例 21 过抛物线 y2
7、2 px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为 y1、 y2，则 y1y2_.8例 22 以抛物线 xy23的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.例 23. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的斜率的范围是 .例 24 设 0p是一常数，过点 的直线与抛物线 2ypx交于相异(2,0)pQ两点 A、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心） 。()试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.四、求点的轨迹问题如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系
8、数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨9迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限） 、代、化.例 25. 已知两点 M（ 2，0） ，N（2，0） ，点 P 满足 =12，则点 PMN的轨迹方程为（ ）2()16xAy2()16Bxy2()8Cyx2()8Dxy例 26. O 1与O 2的半径分别为 1 和 2，|O 1O2|=4，动圆
9、与O 1内切而与O 2外切，则动圆圆心轨迹是( )(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支例 27. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是( )（A）(2 y+1)2=-12x（B）(2 y+1)2=12x （C）(2 y-1)2=-12x（D）(2 y-1)2=12x例 28. 过点 （2，0）与圆 相内切的圆的圆心 的轨迹是（ A162yxP）（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆例 29. 已知 的周长是 16， ，B 则动点的轨迹方程是( )ABC)0,3(A,10(A) (B) (C) (D)1625y
10、x)0(1625yx 1256yx)0(16例 30. 椭圆 中斜率为 的平行弦中点的轨迹方程为 .1342yx34例 31. 已知动圆 P 与定圆 C: （ x2） y 相外切，又与定直线2l： x相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_._.五、圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 、 、 .00直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 ,则k 12(,)AxyB它的弦长 22211112()4ABxx2kk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 ，运用韦达定理来进行计算.1212()y
