1、错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256错解剖析得真知（三十一） 第十章 导数及其应用10.1 导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变，如果当 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 c（也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 c 称为函数 在点 的瞬时变化率。2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作：当 时，或记作 ，符号“ ”读作“趋近于”。函数在 的瞬时变化率，通常称作 在 处的导数，并记作 。3.导函数：如果 在开区间 内每一点
2、都是可导的，则称 在区间 可导。这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为 或 （或 ）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设 ， 是可导的， ，则5.复合函数的导数:设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数 ,则复合函数 在点 处
3、有导数,且 .6.几种常见函数的导数：错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是 。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 选成 ，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜
4、率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.表示 处的导数，即 是函数在某一点的导数； 表示函数 在某给定区间内的导函数，此时 是在 上 的函数，即 是在 内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数 在 处可导，则此函数在点 处连续，但逆命题不成立，即函数在点 处连续，未必在 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数 在 处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因此，曲线 在点 处的切线方程可如下求得：错解剖析得真知 高中数学 QQ:326
5、416256（1）求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ，如果曲线 在点的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 .三、经典例题导讲例 1已知 ,则 .错因：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设 , ,则.例 2已知函数 判断 f(x)在 x=1 处是否可导？错解： 。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： f(x)在 x=1 处不可导.注： ，指 逐渐减小趋近于 0； ，指 逐渐增大趋近于 0。点
6、评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ，x0，包括x0 ，与x0 ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例 3求 在点 和 处的切线方程。错因：直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值；点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：即过点 的切线的斜率为 4，故切线为： 设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，故 ， 。即切线 的斜率
7、为 4 或 12，从而过点 的切线为：点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例 4求证：函数 图象上的各点处切线的斜率小于 1，并求出其斜率为 0 的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数 的图象上各点处切线的斜率都小于 1，只要证它的导函数的函数值都小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1） ，即对函数 定义域内的任一 ，其导数值都小于 ，于是由导数的几何意义可知，函数 图象上各点处切线的斜率都小于 1.（2）令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，曲线 的斜率为 0 的切线有两条，其切点分别为 与 ，切线方程分别为
8、或 。点评： 在已知曲线 切线斜率为 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为 时的解，即方程 的解，将方程 的解代入 就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程 有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 例 5（02 年高考试题）已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点处的切线为 . 错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256（1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为 ，求证： ； 若 ，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1）切线 的方程为即 .（2）依题意，切线方程中令 y=0 得， 由知
9、 ，例 6求抛物线 上的点到直线 的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点 到直线的距离表示为自变量 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线 的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 xy2=0 平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到直线 xy2=0 的距离最短，设切点坐标为（ ），那么 ,错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256 切点坐标为 ，切点到直线 xy2=0 的距离 ， 抛物线上的点到直线的最短距离为 .四、典型习题导练1.函数 在 处不可导，则过点 处，曲线 的切线 （ ） A必不存在 B
10、必定存在 C必与 x 轴垂直 D不同于上面结论2. 在点 x=3 处的导数是_.3.已知 ，若 ，则 的值为_.4.已知 P（1，1），Q（2，4）是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线 的切线方程是 _. 5.如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线 和 的一个交点为 P 的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点 ，并求出定点 的坐标.错解剖析得真知（三十二） 10.2 导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有 （或 ），则称 为函数的一个极大（
11、小）值，称 为极大（小）值点.（2）求可导函数 极值的步骤:求导数 。求方程 的根.求方程 的根.检验 在方程 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设 是定义在区间 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最小值，可分两步进行.求 在 内的极值.将 在各极值点的极值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数 在 上单调增加，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在 上单调递减，则 为函数的最大值， 为
12、函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为 0 的点称为函数 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 在点 处有极小值 =0，可是这里的 根本不存在，所以点 不是 的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数 的导数 ，在点 处有，即点 是 的驻点，但从 在 上为增函数可知，点 不是 的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系
13、式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是
14、局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.三、经典例题导讲例 1已知曲线 及点 ，求过点 的曲线 的切线方程.错解： ， 过点 的切线斜率 ， 过点 的曲线 的切线方程为 .错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点 凑巧在曲线 上，求过点 的切线方程，却并非说切点就是点 ，上述解法对求过点 的切线方程和求曲线在点 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：
15、设过点 的切线与曲线 切于点 ，则过点 的曲线 的切线斜率，又 ， 。 点 在曲线 上，代入得化简，得 ， 或 .若 ，则 ，过点 的切线方程为 ；若 ，则 ，过点 的切线方程为 过点 的曲线 的切线方程为 或例 2已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围.错解： 在 上是减函数， 在 上恒成立，对一切 恒成立， ，即 ， .正解: ， 在 上是减函数， 在 上恒成立， 且 ，即且 ， .错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256例 3当 ，证明不等式 .证明： ， ，则 ，当 时。 在 内是增函数， ，即 ，又 ，当 时， ， 在 内是减函数， ，即 ，因此，当 时，不等式 成立.点
16、评：由题意构造出两个函数 ， .利用导数求函数的单调区间，从而导出及 是解决本题的关键.例 4设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?解 ： 设 BD 之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么铁路运费为 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 为: + ,
17、( ).对该式求导,得 = + = ,令 ,即得 25 =9( ),解之得=15, =-15(不符合实际意义 ,舍去).且 =15 是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15 是函数 的极小值点,而且也是函数 的最小值点 .由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简
18、单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例 5（2006 年四川）函数 ，其中 是 的导函数.（1）对满足1 1 的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；（2）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与直线 3 只有一个公共点.解：（1）由题意令 ，对 ，恒有 ，即错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256 即解得故 时，对满足 1 1 的一切 的值，都有 .（2）当 时， 的图象与直线 只有一个公共点当 时，列表： 极大 极小又 的值域是 ，且在 上单调递增当 时函数 的图象与直线 只有一个公共点 .当 时，恒有由题意得即解得综上， 的取值范围是 .例 6若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动，桌面上有与点 O 距离为 的另一点 A，问电灯与点 0 的距离怎样，可使点 A 处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）分析：如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最大的照度，只需求 的极值就可以了.
