1、 1 / 16典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ， a1b椭圆的标准方程为： ；142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，0，Ab4a椭圆的标准方程为： ；1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，312ca2ac e说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比二是列含 和aca的齐次方程
2、，再化含 的方程，解方程即可ce典型例题三例 3 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点，x01yxABMAB的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程OM解：由题意，设椭圆方程为 ，1ya由 ，得 ，102yax02x ， ，21aM 21ayM， ，42xykO22 / 16 为所求142yx说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的距离成等差数1925yx1yxA， 594，B2yxC， 04，F列（1）求证
3、 ；821x（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ACxTBk证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知： ， xcAF12 1154xeaAF同理 ，且 ，254xCFBC29 ，即 1821 821x（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为AC421y，2211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得 Tx0， 2104xyx又点 ， 都在椭圆上，1yA， 2yB， 22159x22y 21115xx将此式代入，并利用 的结论得 821253640x4509xkBT典型例题五3 / 16例 5 已知椭圆 ， 、 为两焦点，
4、问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离1342yxF2 Ml是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由MN1F2解：假设 存在，设 ，由已知条件得1yxM， ， ， a3bc2e左准线 的方程是 ，l4 14xN又由焦半径公式知：， 1112eaMF1122xeaMF ， 12N1114x整理得 083512x解之得 或 4152另一方面 21x则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设
5、存在，推出矛盾结论（读者自己完成） sin3co2，典型例题六例 6 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，并整理得k21xy0231221xkxk由韦达定理得 21 是弦中点， 故得 P21x21k4 / 16所以所求直线方程为 0342yx分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜率：1， 2yx， 1x21y221xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得21，P1yxA， 2yxB，1.22121yx
6、yx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 所求直线方程为 21x210342yx说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ；62，（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6x分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ， ，12byax48
7、2a372b在得方程 后，不能依此写出另一方程 137482yx 137482y解：（1）设椭圆的标准方程为 或 12bax2bxa由已知 ba2又过点 ，因此有6，5 / 16或 1622ba12ba由、，得 ， 或 ， 故所求的方程为48237252a13b或 137482yx15x（2）设方程为 由已知， ， ，所以 故所求方程2bya3cb182a为 198yx说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 12byax12bxa典型例题八例 8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当 为最小值时，126yxF3，A
8、MMFA2求点 的坐标M分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得最小值一21e般地，求 均可用此法FeA1解：由已知： ， 所以 ，右准4ace 线 8xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故lQM显MFQ2然 的最小值为 ，即 为所求点，M2A 因此 ，且3y在椭圆上故 所以 32x32，说明：本题关键在于未知式 中的F “2”的处理事实上，如图， ，即 是 到右准线的距离1eFM的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点 ，使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值QA典型例题九例 9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx 06yx分析：先写出椭圆的参数方程
9、，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的距离.sinco3yx， sinco3，为6 / 16263sin26sico3d当 时， 13sin最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上x23e230，P的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标7 P7分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大值时，要d注意讨论 的取值范围此题可以用椭圆的标准方
10、程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、b平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定12byax0ba由 可得2221abace，即 4312b设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则yx， Pd49312322 ybad4942yb其中 如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值21bby2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾372137b因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值21b21yd由题设得 ，可得 ， 347ba7 / 16所求椭圆方程是 142yx由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点
11、，点 到点 的距离是 21y 213， 213， 230，P7解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定，sincobyaxba， 为参数20由 可得221abace，即 4312b设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则yx， 230，Pd222 sinco3bad49isin422b31i322b如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值1b1sin2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有 成立223737b21b12b于是当 时 （从而 ）有最大值b1sin2d由题设知 ， ， 347212a所求椭圆的参数方程是 sincoyx由 ， ，可得椭圆上的是 ， 21sin23
12、cos213， ，典型例题十一例 11 设 ， ， ，求 的最大值和最小值xRyxyx62xy2分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一致设6328 / 16，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值mxy22解：由 ，得xy6321249可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点023， x设 ，则mxy2211它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为 1m在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ， m 415m 的最小值
13、为 0，最大值为 15xy22典型例题十二例 12 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点012bayxC： AB（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化， FPab120APB（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围Q120Ce分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，因此要从点ABQ的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ， ，根据 得到 ，将 代入，axby120322ayx 22ybax9 / 16消去 ，用 、 、 表示 ，以便利用 列出不等式这里要求思路清楚
14、，计算准确，一气呵xabcyby成解：（1）设 ， ， 0，F，aA0，BbcPyaxbc222，于是 ， ckAPakBP 是 到 的角224221tncacabAB 故 2ca2tnAPB3taP10APB（2）设 ，则 ， yxQ， xykQaxykQB由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角0A 2221tanayxayxAB ， 0Q322整理得 0322ayyx 22ybax0213ayb ， ， 0y23cbc2， ，23cab4a044a04324e 或 （舍） ， 2e2 136e典型例题十三例 13 已知椭圆 的离心率 ，求 的值982ykx2ek分析：分两种情况进行讨论解
15、：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，得 x82ka2b12kc2e4k10 / 16当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 y92a82kbkc12由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点8k可能在 轴上，也可能在 轴上故必须进行讨论xy典型例题十四例 14 已知椭圆 上一点 到右焦点 的距离为 ，求 到左准线的距离142bxP2Fb)1(P分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一：由 ，得 ， ， 2yxabc32e由椭圆定义， ，得PF41bbPF3421由椭圆第二定义
16、， ， 为 到左准线的距离，ed11 ，bePFd321即 到左准线的距离为 解法二： ， 为 到右准线的距离， ，ed22P23ace 又椭圆两准线的距离为 bePF32 bc38 到左准线的距离为 b328说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五例 15 设椭圆 ( 为参数)上一点 与 轴正向所成角 ，求 点坐标.sin32,co4yxPx3POx分析：利用参数 与 之间的关系求解POx
