1、1.5 功和能（work and energy),1.5.1 功1.5.2 动能定理1.5.3 保守力和势能1. 5. 4 机械能守恒,一. 功的概念及定义,质点在力 的作用下,发生一小段位移 时，称此力对该质点做了功.,质点沿直线运动时恒力功的大小,1.5.1 功 （work ),功的特点:,功是标量。 它无方向, 但有正、负。,本章研究力的空间累积效应 功 及动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。,二. 质点沿直线运动时变力的功,由此式可见，弹力的功只与小球的初末位置有关，而与移动的中间过程无关，例如若先将m从x1点向右拉伸，然后再压缩至x2点，弹力的功仍为上式。,元功,三质点沿曲线运动时
2、变力的功,注意：在积分过程中，不仅力的大小和方向可能改变，而且力和线元之间的夹角也可能改变。,例2： m 沿曲线由a b, 求重力的功,解：,与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起末位置，与中间过程无关。,解：,四. 合力的功,合力做的总功等于每个分力沿同一路径做功的代数和。,五. 功率 P,1. 平均功率,2. 瞬时功率,几个功率的数量级： 睡觉 7080W(基础代谢) 闲谈 7080W 走路 170380W 听课 70140W 跑步 7001000W 足球 630840W,物理意义：表示作功的快慢,单位：瓦特(W),例3：弹簧(倔强系数为k )一端固定在A点，另一端连一质量为m的物
3、体，靠在光滑的园柱体表面 (半径 a )，弹簧原长 AB，在外力作用下极缓慢地沿表面从B到C，求：外力做的功。,解: 物体m匀速移动 合外力为零 切向合外力为零,例4：已知：地下贮水池横截面 S，池中贮水深度 h1，水平面与地面间 h0。求：将池中水全部吸到地面需作功 A= ?,解：,h,dh,h1,h0,对象：一层水（坐标如图）,重力：,一层水被吸到地面需要克服重力做功：,h,dh,h1,h0,另解：,1.5.2 动能定理,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,据牛二定律,二、质点的动能定理,一、动能,质量为m，速率为v的质点的动能定义为：,单位：焦耳（J）（SI）,3. 在所有惯性系中
4、,动能定理形式保持不变。,但是，动能定理的量值相对不同惯性系值不相同, 即（V22-V21）的值不相同。,1. 动能定理给出了力的空间积累效应，即功可以改变质点的动能。,2. 其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。,功是过程量，动能是状态量。,讨论,例5：长度为L、质量为M的均匀链条，置于水平光滑桌面上。开始时,有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，链条下落。,求: 当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v = ?,解：链条下落是重力做功的结 果，当下落长度变化时,重力大小也变化，因此为变力做功。,用动能定理可求末状态速度。,1. 建立坐标 o
5、x ,向下为正方向。,2. 某时刻端点位置为 x.,下落部分的质量及所受重力分别为,例6: 质量为m的小球经长为l 的摆线悬挂于固定点O，开始时把小球拉到水平位置, 并自由释放, 求摆线下摆角为0 时小球的速率v.,解：外力为绳子张力和重力，绳子张力始终与位移垂直，不作功,mvB2 0 = mg l sin0,由动能定理,三. 质点系的动能定理,两个质点的系统,-为内力.,-为外力.,分别应用质点动能定理:,A外 + A内 = EkB - EkA,外力总功 + 内力总功 = 系统总动能的增量,内力虽不能改变系统的动量，但能改变系统的动能。,例：炸弹爆炸过程, 内力(火药的爆炸力)所做的功使得
6、弹片的动能增加。,内力功的和不一定为零（各质点位移不一定相同）。,四. 一对力的功,分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为“一对力”。,一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的 f1与 f2就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。,1. 一对力,一对力所做的功，等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的位移的点积。,2. 一对力的功,m2相对于m1的元位移。,1) dA对 与参考系选取无关。,为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。,说明,2)
7、 一对滑动摩擦力的功恒小于零,以地面为参考系：,以滑块为参考系：,3) 在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下， 一对力的功必为零。,图中,1.5.3 保守力和势能,一. 保守力定义,如果力所做的功只与物体的始末位置有关而与 路径无关, 这样的力称为保守力.,或: 物体沿闭合路径绕行一周, 力对物体所做的功等于零, 这样的力称为保守力,如: 重力、万有引力、静电力、弹性力。,二. 非保守力,作功与路径有关的力称为非保守力,例如：摩擦力（耗散力） 作功恒为负 爆炸力：作功为正。,1. 重力,无论物体沿 1 路径还是 2 路径结果都如此,三、几种保守力,可见，重力的功只与初末位置有关，与路径无
8、关。,一对万有引力做功之和只与两质点的始末相对位置有关。,2. 万有引力,质点M和m间有万有引力作用,计算这一对力的功可以认为M静止，且选M为原点，则M对m的万有引力为：,水平桌面上一个质量为m的小物体,沿半径为R的圆弧移动一周, 设摩擦系数为 s , 求摩擦力的 功。,四. 非保守力摩擦力的功,3. 弹性力,弹力的功只与始末位置有关，与中间过程无关。,摩擦力的功与所经历的路径有关 ,沿封闭回路的功不为零,四、势能 ( Potential Energy ),因此，可定义一个只与位置有关的函数 EP , 该函数被称为系统的势能函数 。,弹力的功 AAB=,重力的功 AAB= mghA- mghB
9、,万有引力的功 AAB=,一、几种保守力的功,特点：保守力的功可以写成两项之差，第一项只与初位置有关，第二项只与末位置有关。,保守力所作的功等于势能增量的负值,(势能差),上式只定义了势能差, 这样势能的绝对值可以相差一个任意常数.,二、势能,要想求出某点势能值，则应规定一势能零点,如：若规定C点的势能为零，,则系统在任意点 A 的势能为：,质点在空间某点的势能值等于把其从该点沿任意路径移到势能为零的参考点保守力所做的功。,说明 :,1） 势能零点不同, 势能表达示也不同，各点势能值也就不同, 但不影响任意两点的势能差.,2） 势能的“所有者”应是系统共有,它不属于某一个质点。它实质上是一种相
10、互作用能。,三、几种保守力的势能,重力势能：,弹性势能：,万有引力势能：,零点在 h = 0 处。,零点在 x=0自然伸长处。,零点选在 处。,1.5.4 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）,一、功能原理,功能原理,外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量,由质点系的动能定理,将内力分为两部分,系统的机械能,机械能守恒定律,当,只有保守内力做功时系统机械能守恒,二、机械能守恒定律,三、能量守恒定律,一个不受外力作用的系统称为孤立系统,1.若系统内非保守内力为零，或它不做功，则系统机械能守恒。,2. 若非保守内力作功不为零,
11、机械能则不守恒,但各种形式能量(包括热能,化学能,光能)的总和仍守恒,这就是普遍的能量守恒定律,这是自然界最普遍的定律之一.,四、守恒定律的意义,1. 守恒定律是关于变化过程的规律。,当满足一定条件下, 不必考虑过程的细节，而对系统的初、末状态进行讨论。,这就是各个守恒定律的特点和优点。,3. 若研究物体瞬时状态, 用牛顿运动定律。,解：设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边平方,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,例: 一种实验小车质量为M，摆求质量为m,轻摆杆长为L，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小车和摆球的速度V和v. 计算中忽略摩擦.,解: 取 m, M, 地球作为一个系
12、统,水平方向不受外力, 水平动量守恒，另外整个过程只有保守力(重力)作功, 整个过程机械能守恒,水平动量守恒: - mv + MV = 0,机械能守恒： mv 2 + MV2 = mgL,解之得：,例：用功能原理求外力做的功,解：根据功能原理:以 m, 弹簧, 地球为研究对象,c,弹性势能零点, 重力势能零点均选在B处,例. 设作用在质量为 2 kg 的物体上的力,解：,如果物体由静止出发沿直线运动，在头 3 s 时间内，这个力作了多少功？,例. 固定的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数 m ，在切向外力作用下小物体（质量 m )以速率 v 做匀速圆周运动。 求: 转一周摩擦力做的功
13、。,摩擦力的大小:,例：光滑水平桌面上放着一质量为M的木块, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点. 当木块静止于A处时, 弹簧保持原长, 设一质量为m的子弹以初速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L.,求木块在B点的速度 vB的大小和方向.,(1) m和M相撞时,系统的动量守恒,解:,(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒,(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒,解：重力只对小球做功,水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。,例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水
14、平面，一小球（质量m）,从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）,小球从水平方向飞离大物体时速度 v ，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。,对 m，内力所做的功,对M，内力所做的功,对整个系统用动能定理,* 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。,例：质量为M的卡车载有一质量为m的木箱，以速度沿平直路面行驶。因故突然刹车，车轮立即停止转动，卡车向前滑行了一段距离L，同时木箱在卡车上也向前滑行距离后才停下来。已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车车轮与地面间的滑动摩擦系数为，试求卡车滑行的距离。,解：卡车与木箱的受力如图所示。,有：,对卡车应用动能定理：,对木箱应用动能定理：,结合两
15、式得：,如以木箱与卡车作为一物体系统，应用动能定理有,可得同样结果。,两体问题（two body problem),两体问题是指两个物体在相互作用下的运动问题，如：粒子被原子核散射，行星绕太阳的运动（忽略其他星体的影响）等。这类问题可简化为单体问题处理。,由牛顿第二定律,设：O为惯性系中的坐标原点，质点 m1 和 m2 间的作用力为,（1）,（2）,为m1相对m2的位矢，,为两质点的约化质量,上式可以理解为m1的运动所遵循的牛顿第二定律公式，此式表明m1的运动和一个质量为的质点在同一惯性系中受同样的力作用时的运动一样，这一惯性系的原点应选在m2 上。这样，两个质点在相互作用下的运动就简化为一个质点的运动。,（3）,由于在惯性系中有关动量和能量的定理都是从牛顿第二定律导出的，所以，根据（3）式，对于两体问题中的一个质点相对于另一质点的运动，有关动量和能量的定理均适用，只要把前一质点的惯性质量改为约化质量就行了。,
