1、高等数学,第六章：常微分方程,常微分方程,1,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,常微分方程,2,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,常微分方程,3,（4） 求极限，得A的精确值,提示,常微分方程,4,常微分方程,5,元素法的一般步骤：,常微分方程,6,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,常微分方程,7,元素法的提出、思想、步骤.,（注意微元法的本质）,二、小结,常微分方程,8,思考题,微元法的实质是什么？,常微分方程,9,思考题解答,微元法的实质仍是“和式”的极限.,常微分方程,10,曲边梯形的面积
2、,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,常微分方程,11,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,常微分方程,12,解,两曲线的交点,选 为积分变量,常微分方程,13,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,常微分方程,14,解,两曲线的交点,选 为积分变量,常微分方程,15,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,常微分方程,16,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,常微分方程,17,面积元素,曲边扇形的面积,二、极坐标系情形,常微分方程,18,高等函数,第六章：常微分方程,常微分方程,19,解,由对称性知总面积=4
3、倍第一象限部分面积,常微分方程,20,解,利用对称性知,常微分方程,21,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,三、小结,常微分方程,22,思考题,常微分方程,23,思考题解答,两边同时对 求导,常微分方程,24,积分得,所以所求曲线为,常微分方程,25,练 习 题,常微分方程,26,常微分方程,27,常微分方程,28,练习题答案,常微分方程,29,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,一、旋转体的体积,常微分方程,30,旋转体的体积为,常微分方程,31,解,直线 方
4、程为,常微分方程,32,常微分方程,33,解,常微分方程,34,常微分方程,35,解,常微分方程,36,常微分方程,37,补充,利用这个公式，可知上例中,常微分方程,38,解,体积元素为,常微分方程,39,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,常微分方程,40,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,常微分方程,41,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,常微分方程,42,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴
5、直线旋转一周,三、小结,常微分方程,43,思考题,常微分方程,44,思考题解答,交点,立体体积,常微分方程,45,练 习 题,常微分方程,46,常微分方程,47,常微分方程,48,练习题答案,常微分方程,49,一、平面曲线弧长的概念,常微分方程,50,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,常微分方程,51,解,所求弧长为,常微分方程,52,解,常微分方程,53,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,常微分方程,54,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,常微分方程,55,证,常微分方程,56,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,常微分方程,57,曲线弧为,弧长,四、极坐标情形,常微分
6、方程,58,解,常微分方程,59,解,常微分方程,60,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,五、小结,常微分方程,61,思考题,常微分方程,62,思考题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,常微分方程,63,练 习 题,常微分方程,64,常微分方程,65,练习题答案,常微分方程,66,一、变力沿直线所作的功,常微分方程,67,常微分方程,68,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,常微分方程,69,解,建立坐标系如图,常微分方程,70,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),常微分方程,71,解,设木
7、板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,常微分方程,72,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,常微分方程,73,二、水压力,常微分方程,74,解,在端面建立坐标系如图,常微分方程,75,常微分方程,76,解,建立坐标系如图,面积微元,常微分方程,77,三、引力,常微分方程,78,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,常微分方程
8、,79,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,常微分方程,80,利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,四、小结,常微分方程,81,思考题,一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？,常微分方程,82,思考题解答,该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关,常微分方程,83,练 习 题,常微分方程,84,常微分方程,85,常微分方
9、程,86,练习题答案,第六章习题课,常微分方程,87,微 元 法,理 论 依 据,名称释译,所求量的特点,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,一、主要内容,常微分方程,88,1、理论依据,常微分方程,89,2、名称释译,常微分方程,90,3、所求量的特点,常微分方程,91,4、解题步骤,常微分方程,92,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,常微分方程,93,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,常微分方程,94,极坐标情形,常微分方程,95,(2) 体积,常微分方程,96,平行截面面积为已知的立体的体积,常微分方程,97,(3) 平
10、面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,常微分方程,98,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,常微分方程,99,(5) 细棒的质量,(6) 转动惯量,常微分方程,100,(7) 变力所作的功,(8) 水压力,常微分方程,101,(9) 引力,(10) 函数的平均值,常微分方程,102,二、典型例题,例1,常微分方程,103,解,由对称性,有,由对称性,有,常微分方程,104,由对称性,有,常微分方程,105,例2,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,常微分方程,106,常微分方程,107,故所求速度为,常微分方程,108,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,常微分方程,109,例3,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,常微分方程,110,常微分方程,111,测 验 题,常微分方程,112,常微分方程,113,常微分方程,114,常微分方程,115,常微分方程,116,常微分方程,117,测验题答案,常微分方程,118,
