1、高等数学,第七章：多元函数微分学,高等数学课件-多元函数微分学,1,（1）邻域,一、多元函数的概念,高等数学课件-多元函数微分学,2,（2）区域,例如，,即为开集,高等数学课件-多元函数微分学,3,高等数学课件-多元函数微分学,4,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,高等数学课件-多元函数微分学,5,有界闭区域；,无界开区域,例如，,高等数学课件-多元函数微分学,6,（3）聚点, 内点一定是聚点；,说明：, 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,高等数学课件-多元函数微分学,7, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上
2、的点都是聚点也都属于集合,高等数学课件-多元函数微分学,8,（4）n维空间, n维空间的记号为,说明：, n维空间中两点间距离公式,高等数学课件-多元函数微分学,9, n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,高等数学课件-多元函数微分学,10,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,高等数学课件-多元函数微分学,11,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,高等数学课件-多元函数微分学,12,（6） 二元函数 的图形,（如下页图）,高等数学课件-多元函数微分学,13,二元函数的图形通常是一
3、张曲面.,高等数学课件-多元函数微分学,14,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,高等数学课件-多元函数微分学,15,二、多元函数的极限,高等数学课件-多元函数微分学,16,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,高等数学课件-多元函数微分学,17,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,高等数学课件-多元函数微分学,18,例3 求极限,解,其中,高等数学课件-多元函数微分学,19,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,高等数学课件-多元函数微分学,20,不存在.,观察,播放,
4、高等数学课件-多元函数微分学,21,确定极限不存在的方法：,高等数学课件-多元函数微分学,22,利用点函数的形式有,高等数学课件-多元函数微分学,23,三、多元函数的连续性,定义3,高等数学课件-多元函数微分学,24,解,取,高等数学课件-多元函数微分学,25,故函数在(0,0)处连续.,当 时,高等数学课件-多元函数微分学,26,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,高等数学课件-多元函数微分学,27,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连
5、续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,高等数学课件-多元函数微分学,28,（3）一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,高等数学课件-多元函数微分学,29,例,解,高等数学课件-多元函数微分学,30,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的
6、任意性）,四、小结,多元函数的定义,高等数学课件-多元函数微分学,31,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,32,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,高等数学课件-多元函数微分学,33,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,34,高等数学课件-多元函数微分学,35,高等数学课件-多元函数微分学,36,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,37,不存在.,观察,高等数学课件-多元函数微分学,38,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,39,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,40,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,41,观察,不存在.,
7、高等数学课件-多元函数微分学,42,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,43,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,44,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,45,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,46,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,47,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,48,观察,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,49,一、偏导数的定义及其计算法,高等数学课件-多元函数微分学,50,高等数学课件-多元函数微分学,51,高等数学课件-多元函数微分学,52,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,高等数学课件-多
8、元函数微分学,53,解,高等数学课件-多元函数微分学,54,证,原结论成立,高等数学课件-多元函数微分学,55,解,高等数学课件-多元函数微分学,56,不存在,高等数学课件-多元函数微分学,57,证,高等数学课件-多元函数微分学,58,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,高等数学课件-多元函数微分学,59,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,高等数学课件-多元函数微分学,60,4、偏导数的几何意义,如图,高等数学课件-多元函数微分学,61,几何意义
9、:,高等数学课件-多元函数微分学,62,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,高等数学课件-多元函数微分学,63,解,高等数学课件-多元函数微分学,64,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,高等数学课件-多元函数微分学,65,解,高等数学课件-多元函数微分学,66,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,高等数学课件-多元函数微分学,67,解,高等数学课件-多元函数微分学,68,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）
10、,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,高等数学课件-多元函数微分学,69,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,70,思考题解答,不能.,例如,高等数学课件-多元函数微分学,71,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,72,高等数学课件-多元函数微分学,73,高等数学课件-多元函数微分学,74,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,75,高等数学课件-多元函数微分学,76,高等数学课件-多元函数微分学,77,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,高等数学课件-多元函数微分学,78,全增量的概念,高等数学课件-多元函数微分学,79,全微分的定义,高等数学课件-多
11、元函数微分学,80,事实上,高等数学课件-多元函数微分学,81,二、可微的条件,高等数学课件-多元函数微分学,82,证,总成立,同理可得,高等数学课件-多元函数微分学,83,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,高等数学课件-多元函数微分学,84,则,当 时，,高等数学课件-多元函数微分学,85,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，,证,高等数学课件-多元函数微分学,86,（依偏导数的连续性）,高等数学课件-多元函数微分学,87,同理,高等数学课件-多元函数微分学,88,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通
12、常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,高等数学课件-多元函数微分学,89,解,所求全微分,高等数学课件-多元函数微分学,90,解,高等数学课件-多元函数微分学,91,解,所求全微分,高等数学课件-多元函数微分学,92,高等数学课件-多元函数微分学,93,证,令,则,同理,高等数学课件-多元函数微分学,94,不存在.,高等数学课件-多元函数微分学,95,高等数学课件-多元函数微分学,96,多元函数连续、可导、可微的关系,高等数学课件-多元函数微分学,97,全微分在近似计算中的应用,也可写成,高等数学课件-多元函数微
13、分学,98,解,由公式得,高等数学课件-多元函数微分学,99,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,高等数学课件-多元函数微分学,100,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,101,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,102,高等数学课件-多元函数微分学,103,高等数学课件-多元函数微分学,104,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,105,证,一、链式法则,高等数学课件-多元函数微分学,106,高等数学课件-多元函数微分学,107,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公
14、式中的导数 称为全导数.,高等数学课件-多元函数微分学,108,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,高等数学课件-多元函数微分学,109,链式法则如图示,高等数学课件-多元函数微分学,110,高等数学课件-多元函数微分学,111,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,高等数学课件-多元函数微分学,112,解,高等数学课件-多元函数微分学,113,解,高等数学课件-多元函数微分学,114,解,令,记,同理有,高等数学课件-多元函数微分学,115,于是,高等数学课件-多元函数微分学,116,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形
15、式是一样的.,二、全微分形式不变性,高等数学课件-多元函数微分学,117,高等数学课件-多元函数微分学,118,解,高等数学课件-多元函数微分学,119,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,高等数学课件-多元函数微分学,120,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,121,思考题解答,高等数学课件-多元函数微分学,122,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,123,高等数学课件-多元函数微分学,124,高等数学课件-多元函数微分学,125,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,126,高等数学课件-多元函数微分
16、学,127,高等数学课件-多元函数微分学,128,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,高等数学课件-多元函数微分学,129,解,令,则,高等数学课件-多元函数微分学,130,高等数学课件-多元函数微分学,131,解,令,则,高等数学课件-多元函数微分学,132,高等数学课件-多元函数微分学,133,解,令,则,高等数学课件-多元函数微分学,134,思路：,解,令,则,高等数学课件-多元函数微分学,135,整理得,高等数学课件-多元函数微分学,136,整理得,整理得,高等数学课件-多元函数微分学,137,二、方程组的情形,高等数学课件-多元函数微分学,138,高等数学课件-多元函数微分学,13
17、9,高等数学课件-多元函数微分学,140,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,高等数学课件-多元函数微分学,141,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,高等数学课件-多元函数微分学,142,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,三、小结,高等数学课件-多元函数微分学,143,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,144,思考题解答,高等数学课件-多元函数微分学,145,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,146,高等数学课件-多元函数微分学,147,高等数学课件-多元函数微分学,148,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,149,高
18、等数学课件-多元函数微分学,150,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,高等数学课件-多元函数微分学,151,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,高等数学课件-多元函数微分学,152,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,高等数学课件-多元函数微分学,153,解,切线方程,法平面方程,高等数学课件-多元函数微分学,154,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,高等数学课件-多元函数微分学,155,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,高等数学课件-多
19、元函数微分学,156,高等数学课件-多元函数微分学,157,所求切线方程为,法平面方程为,高等数学课件-多元函数微分学,158,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,高等数学课件-多元函数微分学,159,令,则,切平面方程为,高等数学课件-多元函数微分学,160,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,高等数学课件-多元函数微分学,161,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,高等数学课件-多元函数微分学,162,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方
20、程为,高等数学课件-多元函数微分学,163,其中,高等数学课件-多元函数微分学,164,解,切平面方程为,法线方程为,高等数学课件-多元函数微分学,165,解,令,切平面方程,法线方程,高等数学课件-多元函数微分学,166,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,高等数学课件-多元函数微分学,167,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),高等数学课件-多元函数微分学,168,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,
21、高等数学课件-多元函数微分学,169,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,170,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,高等数学课件-多元函数微分学,171,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,172,高等数学课件-多元函数微分学,173,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,174,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函
22、数的最大值.,一、问题的提出,高等数学课件-多元函数微分学,175,二、多元函数的极值和最值,播放,高等数学课件-多元函数微分学,176,1、二元函数极值的定义,高等数学课件-多元函数微分学,177,(1),(2),(3),例1,例,例,高等数学课件-多元函数微分学,178,2、多元函数取得极值的条件,证,高等数学课件-多元函数微分学,179,高等数学课件-多元函数微分学,180,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,高等数学课件-多元函数微分学,181,高等数学课件-多元函数微分学,182,解,高等数学课件
23、-多元函数微分学,183,高等数学课件-多元函数微分学,184,高等数学课件-多元函数微分学,185,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,高等数学课件-多元函数微分学,186,解,如图,高等数学课件-多元函数微分学,187,高等数学课件-多元函数微分学,188,高等数学课件-多元函数微分学,189,解,由,高等数学课件-多元函数微分学,190,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,高等数学课
24、件-多元函数微分学,191,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,高等数学课件-多元函数微分学,192,条件极值：对自变量有附加条件的极值,高等数学课件-多元函数微分学,193,高等数学课件-多元函数微分学,194,解,则,高等数学课件-多元函数微分学,195,解,高等数学课件-多元函数微分学,196,高等数学课件-多元函数微分学,197,高等数学课件-多元函数微分学,
25、198,可得,即,高等数学课件-多元函数微分学,199,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,高等数学课件-多元函数微分学,200,思考题,高等数学课件-多元函数微分学,201,思考题解答,高等数学课件-多元函数微分学,202,练 习 题,高等数学课件-多元函数微分学,203,高等数学课件-多元函数微分学,204,练习题答案,高等数学课件-多元函数微分学,205,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,206,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,207,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分
26、学,208,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,209,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,210,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,211,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,212,二、多元函数的极值和最值,高等数学课件-多元函数微分学,213,二、多元函数的极值和最值,第七章习题课,高等数学课件-多元函数微分学,214,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容,高等数学课件-多元函数微分学,215,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导
27、法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,微分法在几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,高等数学课件-多元函数微分学,216,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,高等数学课件-多元函数微分学,217,（3）聚点,（4）n维空间,高等数学课件-多元函数微分学,218,2、多元函数概念,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,高等数学课件-多元函数微分学,219,3、多元函数的极限,高等数学课件-多元函数微分学,220,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、极限的
28、运算,高等数学课件-多元函数微分学,221,5、多元函数的连续性,高等数学课件-多元函数微分学,222,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元连续函数的性质,高等数学课件-多元函数微分学,223,7、偏导数概念,高等数学课件-多元函数微分学,224,高等数学课件-多元函数微分学,225,高等数学课件-多元函数微分学,226,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,
29、高等数学课件-多元函数微分学,227,、全微分概念,高等数学课件-多元函数微分学,228,多元函数连续、可导、可微的关系,高等数学课件-多元函数微分学,229,10、全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,高等数学课件-多元函数微分学,230,11、复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,高等数学课件-多元函数微分学,231,高等数学课件-多元函数微分学,232,12、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,高等数学课件-多元函数微分学,233,隐函数的求导公式,13、隐函数的求导法则,高等数学课件-多元函数微分学,234,高等数学
30、课件-多元函数微分学,235,高等数学课件-多元函数微分学,236,高等数学课件-多元函数微分学,237,高等数学课件-多元函数微分学,238,14、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1)空间曲线的切线与法平面,高等数学课件-多元函数微分学,239,()曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,高等数学课件-多元函数微分学,240,15、多元函数的极值,定义,高等数学课件-多元函数微分学,241,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,高等数学课件-多元函数微分学,242,高等数学课件-多元函数微分学,243,高等数学
31、课件-多元函数微分学,244,条件极值：对自变量有附加条件的极值,高等数学课件-多元函数微分学,245,二、典型例题,例1,解,高等数学课件-多元函数微分学,246,例2,解,高等数学课件-多元函数微分学,247,高等数学课件-多元函数微分学,248,例3,解,高等数学课件-多元函数微分学,249,于是可得,例4,解,高等数学课件-多元函数微分学,250,高等数学课件-多元函数微分学,251,例5,解,分析:,高等数学课件-多元函数微分学,252,得,高等数学课件-多元函数微分学,253,高等数学课件-多元函数微分学,254,测 验 题,高等数学课件-多元函数微分学,255,高等数学课件-多元函数微分学,256,高等数学课件-多元函数微分学,257,高等数学课件-多元函数微分学,258,高等数学课件-多元函数微分学,259,高等数学课件-多元函数微分学,260,高等数学课件-多元函数微分学,261,测验题答案,高等数学课件-多元函数微分学,262,高等数学课件-多元函数微分学,263,高等数学课件-多元函数微分学,264,
