1、高等数学,第十章：无穷级数,无穷级数,1,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,无穷级数,2,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,无穷级数,3,2. 级数的收敛与发散:,无穷级数,4,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,无穷级数,5,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,无穷级数,6,周长为,面积为,第 次分叉
2、：,无穷级数,7,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,无穷级数,8,解,无穷级数,9,收敛,发散,发散,发散,综上,无穷级数,10,解,无穷级数,11,无穷级数,12,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,无穷级数,13,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,无穷级数,14,证明,无穷级数,15,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,无穷级数,16,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,无穷级数,17,注意,1.如果级数的一般项不
3、趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,无穷级数,18,讨论,无穷级数,19,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,无穷级数,20,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,无穷级数,21,思考题,无穷级数,22,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,无穷级数,23,练习题,无穷级数,24,无穷级数,25,练习题答案,无穷级数,26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,27,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,28,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,29,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,30,观察
4、雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,31,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,无穷级数,32,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,无穷级数,33,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,无穷级数,34,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,无穷级数,35,解,由图可知,无穷级数,36,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,无穷级数,37,证明,无穷级数,38,4.比较审敛法的极限形式:,无穷级数,39,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,无穷级数,4
5、0,无穷级数,41,解,原级数发散.,故原级数收敛.,无穷级数,42,证明,无穷级数,43,收敛,发散,无穷级数,44,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,无穷级数,45,无穷级数,46,解,无穷级数,47,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,无穷级数,48,级数收敛.,无穷级数,49,二、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,无穷级数,50,证明,无穷级数,51,满足收敛的两个条件,定理证毕.,无穷级数,52,解,原级数收敛.,无穷级数,53,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,无穷级数,54,上定理的作用：,任
6、意项级数,正项级数,无穷级数,55,解,故由定理知原级数绝对收敛.,无穷级数,56,四、小结,无穷级数,57,思考题,无穷级数,58,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,无穷级数,59,练 习 题,无穷级数,60,无穷级数,61,无穷级数,62,练习题答案,无穷级数,63,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,无穷级数,64,2.收敛点与收敛域:,无穷级数,65,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),无穷级数,66,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,无
7、穷级数,67,原级数发散.,收敛;,发散;,无穷级数,68,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,无穷级数,69,证明,无穷级数,70,无穷级数,71,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,无穷级数,72,推论,无穷级数,73,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,无穷级数,74,证明,无穷级数,75,由比值审敛法,无穷级数,76,定理证毕.,无穷级数,77,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,无穷级数,78,无穷级数,79,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,无穷级数
8、,80,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,无穷级数,81,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,无穷级数,82,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,无穷级数,83,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,无穷级数,84,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,无穷级数,85,(收敛半径不变),无穷级数,86,(收敛半径不变),无穷级数,87,解,两边积分得,无穷级数,88,无穷级数,89,解,收敛区间(-1,1),无穷级数,90,常用已知和函数的幂级数,无穷级数,91,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.
9、幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,无穷级数,92,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,无穷级数,93,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,无穷级数,94,练 习 题,无穷级数,95,无穷级数,96,练习题答案,无穷级数,97,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,无穷级数,98,证明,无穷级数,99,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,无穷级数,100,问题,定义,泰勒级数在收敛
10、区间是否收敛于f(x)?,不一定.,无穷级数,101,可见,在x=0点任意可导,无穷级数,102,证明,必要性,无穷级数,103,充分性,无穷级数,104,证明,无穷级数,105,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,无穷级数,106,例1,解,由于M的任意性,即得,无穷级数,107,例2,解,无穷级数,108,例3,解,无穷级数,109,无穷级数,110,两边积分,得,无穷级数,111,即,牛顿二项式展开式,注意:,无穷级数,112,双阶乘,无穷级数,113,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展
11、开式.,例如,无穷级数,114,无穷级数,115,例4,解,无穷级数,116,无穷级数,117,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,无穷级数,118,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,无穷级数,119,思考题解答,从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,无穷级数,120,练 习 题,无穷级数,121,练习题答案,无穷级数,122,无穷级数,123,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度
12、或项数.,无穷级数,124,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,无穷级数,125,余和:,无穷级数,126,例2,解,其误差不超过 .,无穷级数,127,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,无穷级数,128,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,无穷级数,129,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,无穷级数,130,无穷级数,131,2.阿
13、贝尔法(构造幂级数法):,(逐项积分、逐项求导),例4,解,无穷级数,132,无穷级数,133,例5,解,无穷级数,134,四、欧拉公式,复数项级数:,无穷级数,135,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,无穷级数,136,无穷级数,137,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.,无穷级数,138,五、小结,、近似计算,求不可积类函数的定积分，,、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍),求数项级数的和，欧拉公式的证明；,无穷级数,139,思考题,利用幂级数展开式, 求极限,无穷级数,140,思考题解答,将上两式代入,无穷级数,141,原式=,无穷级数,142,练 习 题,无穷级数
14、,143,练习题答案,无穷级数,144,一、问题的提出,问题:,无穷级数,145,解,得和函数：,因为该级数每一项都在0,1是连续的，,例1,考察函数项级数,和函数的连续性,无穷级数,146,结论,问题,无穷级数,147,二、函数项级数的一致收敛性,定义,无穷级数,148,几何解释:,无穷级数,149,例2,解,余项的绝对值,无穷级数,150,无穷级数,151,例3,研究例1中的级数,在区间( 0 , 1内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,无穷级数,152,因此级数在( 0, 1 )内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,无穷级数,153,小结一致收敛性与所讨论的区间有关,无穷级数,15
15、4,定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）,一致收敛性简便的判别法：,无穷级数,155,证,无穷级数,156,例4,证明级数,无穷级数,157,证,无穷级数,158,三、一致收敛级数的基本性质,定理1,证,无穷级数,159,(1),(2),同样有,无穷级数,160,(3),由(1)、(2)、(3)可见,无穷级数,161,定理2,(4),无穷级数,162,证,无穷级数,163,根据极限定义，有,即,无穷级数,164,定理3,(5),无穷级数,165,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,无穷级数,166,定理4,幂级数的
16、一致收敛性,无穷级数,167,定理5,无穷级数,168,证,于是,无穷级数,169,无穷级数,170,无穷级数,171,无穷级数,172,四、小结,1、函数项级数一致收敛的定义；,2、一致收敛级数的判别法魏尔斯特拉斯判别法；,4、幂级数的一致收敛性,3、一致收敛级数的基本性质；,无穷级数,173,练 习 题,无穷级数,174,无穷级数,175,练习题答案,第十章习题课,无穷级数,176,常数项级数,函数项级数,一般项级数,正项级数,幂级数,三角级数,收敛半径R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任意项级数,泰勒级数,一、主要内容,无穷级数,177,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛
17、与发散,无穷级数,178,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,无穷级数,179,常数项级数审敛法,无穷级数,180,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,无穷级数,181,(2) 比较审敛法的极限形式,无穷级数,182,无穷级数,183,无穷级数,184,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,无穷级数,185,定义 正项和负项任意出现的级
18、数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,无穷级数,186,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,无穷级数,187,(3) 和函数,无穷级数,188,(1) 定义,6、幂级数,无穷级数,189,(2) 收敛性,无穷级数,190,推论,无穷级数,191,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,无穷级数,192,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,无穷级数,193,乘法,(其中,除法,无穷级数,194,b.和函数的分析运算性质:,无穷级数,195,7、幂级数展开式,(1) 定义,无穷级数,196,(2) 充要条件,(3)
19、唯一性,无穷级数,197,(3) 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,无穷级数,198,(4) 常见函数展开式,无穷级数,199,无穷级数,200,(5) 应用,a.近似计算,b.欧拉公式,无穷级数,201,二、典型例题,例1,解,无穷级数,202,根据级数收敛的必要条件，,原级数收敛,无穷级数,203,解,根据比较判别法，,原级数收敛,无穷级数,204,解,从而有,无穷级数,205,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,无穷级数,206,例,解,即原级数非绝对收敛,无穷级数,207,由莱布尼茨定理：,无穷级数,208,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,无穷级数,209,例,解,两边逐项积分,无穷级数,210,无穷级数,211,例4,解,无穷级数,212,无穷级数,213,例5,解,无穷级数,214,无穷级数,215,测 验 题,无穷级数,216,无穷级数,217,无穷级数,218,无穷级数,219,无穷级数,220,无穷级数,221,测验题答案,无穷级数,222,无穷级数,223,
