1、高等数学,第五章：定积分及其应用,高等数学课件-定积分及其应用,1,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,高等数学课件-定积分及其应用,2,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,高等数学课件-定积分及其应用,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,高等数学课件-定积分及其应用,4,曲边梯形如图所示，,高等数学课件-定积分及其应用,5,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,高等数学课件-定积分及其应用,6,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小
2、段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,高等数学课件-定积分及其应用,7,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,高等数学课件-定积分及其应用,8,二、定积分的定义,定义,高等数学课件-定积分及其应用,9,记为,积分上限,积分下限,积分和,高等数学课件-定积分及其应用,10,注意：,高等数学课件-定积分及其应用,11,定理1,定理2,三、存在定理,高等数学课件-定积分及其应用,12,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,高等数学课件-定积分及其应用,13,几何意义：,高等数学课件-定积分及其应
3、用,14,例1 利用定义计算定积分,解,高等数学课件-定积分及其应用,15,高等数学课件-定积分及其应用,16,例2 利用定义计算定积分,解,高等数学课件-定积分及其应用,17,高等数学课件-定积分及其应用,18,证明,利用对数的性质得,高等数学课件-定积分及其应用,19,极限运算与对数运算换序得,高等数学课件-定积分及其应用,20,故,高等数学课件-定积分及其应用,21,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,高等数学课件-定积分及其应用,22,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,高等数学课件-定积分及其应用,23,思考题解答,原
4、式,高等数学课件-定积分及其应用,24,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,25,高等数学课件-定积分及其应用,26,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,27,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,28,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,29,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,30,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,31,观察下列演示
5、过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,32,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,34,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,35,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,36,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其
6、应用,37,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,38,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,39,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,40,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,41,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,高等数学课件-定积分及其应用,42,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考
7、虑积分上下限的大小,一、基本内容,高等数学课件-定积分及其应用,43,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,高等数学课件-定积分及其应用,44,证,性质2,高等数学课件-定积分及其应用,45,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,高等数学课件-定积分及其应用,46,证,性质4,性质5,高等数学课件-定积分及其应用,47,解,令,于是,高等数学课件-定积分及其应用,48,性质5的推论：,证,（1）,高等数学课件-定积分及其应用,49,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,高等数学课件-定积分及其应用,5
8、0,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,高等数学课件-定积分及其应用,51,解,高等数学课件-定积分及其应用,52,解,高等数学课件-定积分及其应用,53,高等数学课件-定积分及其应用,54,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,高等数学课件-定积分及其应用,55,使,即,积分中值公式的几何解释：,高等数学课件-定积分及其应用,56,解,由积分中值定理知有,使,高等数学课件-定积分及其应用,57,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,高等数学课件-定积分及其应用
9、,58,思考题,高等数学课件-定积分及其应用,59,思考题解答,例,高等数学课件-定积分及其应用,60,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,61,高等数学课件-定积分及其应用,62,高等数学课件-定积分及其应用,63,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,64,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,高等数学课件-定积分及其应用,65,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,高等数学课件-定积分及其应用,66,积分上限函数的性质,证,高等数学课件-定积分及其应用,67,由积分中值定理得,高等数学课件-定积
10、分及其应用,68,补充,证,高等数学课件-定积分及其应用,69,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,高等数学课件-定积分及其应用,70,证,高等数学课件-定积分及其应用,71,高等数学课件-定积分及其应用,72,证,令,高等数学课件-定积分及其应用,73,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,高等数学课件-定积分及其应用,74,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,高等数学课件-定积分及其应用,75,令,令,牛顿莱布尼茨公式,高等数学课件-定积分及其应用,76,
11、微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,高等数学课件-定积分及其应用,77,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,高等数学课件-定积分及其应用,78,例6 求,解,由图形可知,高等数学课件-定积分及其应用,79,例7 求,解,解 面积,高等数学课件-定积分及其应用,80,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,高等数学课件-定积分及其应用,81,思考题,高等数学课件-定积分及其应用,82,思考题解答,高等数学课件-定积分及其应用,83,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,84,
12、高等数学课件-定积分及其应用,85,高等数学课件-定积分及其应用,86,高等数学课件-定积分及其应用,87,高等数学课件-定积分及其应用,88,高等数学课件-定积分及其应用,89,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,90,高等数学课件-定积分及其应用,91,定理,一、换元公式,高等数学课件-定积分及其应用,92,证,高等数学课件-定积分及其应用,93,高等数学课件-定积分及其应用,94,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,高等数学课件-定积分及其应用,95,例1 计算,解,令,高等数学课件-定积分及其应用,96,例2 计算,解,高等数学课件-定积分及其应用,97,例3 计算,解,原式
13、,高等数学课件-定积分及其应用,98,例4 计算,解,令,原式,高等数学课件-定积分及其应用,99,证,高等数学课件-定积分及其应用,100,高等数学课件-定积分及其应用,101,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,高等数学课件-定积分及其应用,102,证,（1）设,高等数学课件-定积分及其应用,103,（2）设,高等数学课件-定积分及其应用,104,高等数学课件-定积分及其应用,105,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,高等数学课件-定积分及其应用,106,思考题,解,令,高等数学课件-定积分及其应用,107,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解
14、法是,高等数学课件-定积分及其应用,108,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,109,高等数学课件-定积分及其应用,110,高等数学课件-定积分及其应用,111,高等数学课件-定积分及其应用,112,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,113,推导,一、分部积分公式,高等数学课件-定积分及其应用,114,例1 计算,解,令,则,高等数学课件-定积分及其应用,115,例2 计算,解,高等数学课件-定积分及其应用,116,例3 计算,解,高等数学课件-定积分及其应用,117,例4 设 求,解,高等数学课件-定积分及其应用,118,高等数学课件-定积分及其应用,119,例5 证明定积分
15、公式,证,设,高等数学课件-定积分及其应用,120,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,高等数学课件-定积分及其应用,121,于是,高等数学课件-定积分及其应用,122,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,高等数学课件-定积分及其应用,123,思考题,高等数学课件-定积分及其应用,124,思考题解答,高等数学课件-定积分及其应用,125,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,126,高等数学课件-定积分及其应用,127,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,128,高等数学课件-定积分及其应用,129,一、问题的提出,计算定积分的方法：,(
16、1) 求原函数；,问题：,(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；,(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；,(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难,(2) 利用牛顿莱布尼茨公式得结果,高等数学课件-定积分及其应用,130,解决办法：建立定积分的近似计算方法,常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法,思路：,高等数学课件-定积分及其应用,131,二、矩形法,则有,高等数学课件-定积分及其应用,132,则有,高等数学课件-定积分及其应用,133,三、梯形法,梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图,高等数学课件-定积分及其应用,134,
17、例,解,相应的函数值为,列表:,高等数学课件-定积分及其应用,135,利用矩形法公式（），得,利用矩形法公式（），得,高等数学课件-定积分及其应用,136,利用梯形法公式（），得,实际上是前面两值的平均值，,高等数学课件-定积分及其应用,137,四、抛物线法,高等数学课件-定积分及其应用,138,因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,高等数学课件-定积分及其应用,139,高等数学课件-定积分及其应用,140,于是所求面积为,高等数学课件-定积分及其应用,141,高等数学课件-定积分及其应用,142,例,对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 .,高等数学课件-
18、定积分及其应用,143,高等数学课件-定积分及其应用,144,解,根据抛物线公式(4)，得,高等数学课件-定积分及其应用,145,五、小结,求定积分近似值的方法：,矩形法、梯形法、抛物线法,注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好,高等数学课件-定积分及其应用,146,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,147,练习题答案,高等数学课件-定积分及其应用,148,一、无穷限的广义积分,高等数学课件-定积分及其应用,149,高等数学课件-定积分及其应用,150,高等数学课件-定积分及其应用,151,例1 计算广义积分,解,高等数学课件-定积分及其应用,152,例2 计算广义积分,解,
19、高等数学课件-定积分及其应用,153,证,高等数学课件-定积分及其应用,154,证,高等数学课件-定积分及其应用,155,二、无界函数的广义积分,高等数学课件-定积分及其应用,156,高等数学课件-定积分及其应用,157,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,高等数学课件-定积分及其应用,158,例5 计算广义积分,解,高等数学课件-定积分及其应用,159,证,高等数学课件-定积分及其应用,160,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,高等数学课件-定积分及其应用,161,例8 计算广义积分,解,瑕点,高等数学课件-定积分及其应用,162,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,
20、（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,高等数学课件-定积分及其应用,163,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,高等数学课件-定积分及其应用,164,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,高等数学课件-定积分及其应用,165,练 习 题,高等数学课件-定积分及其应用,166,高等数学课件-定积分及其应用,167,高等数学课件-定积分及其应用,168,练习题答案,第五章习题课,高等数学课件-定积分及其应用,169,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,高等数学课件-定积分及其应用
21、,170,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,高等数学课件-定积分及其应用,171,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,高等数学课件-定积分及其应用,172,2、定积分的定义,定义,高等数学课件-定积分及其应用,173,记为,高等数学课件-定积分及其应用,174,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,高等数学课件-定积分及其应用,175,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,高等数学课件-定积分及其应用,176,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,高等数学课件-定积分及其应用,177,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,
22、高等数学课件-定积分及其应用,178,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,高等数学课件-定积分及其应用,179,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,高等数学课件-定积分及其应用,180,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,高等数学课件-定积分及其应用,181,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,高等数学课件-定积分及其应用,182,(2)无界函数的广义积分,高等数学课件-定积分及其应用,183,例1,解,二、典型例题,高等数学课件-定积分及其应用,184,例2,解,高等数学课件-定积分及其应用,185,例3,解,高
23、等数学课件-定积分及其应用,186,例4,解,高等数学课件-定积分及其应用,187,例5,解,高等数学课件-定积分及其应用,188,例6,解,是偶函数,高等数学课件-定积分及其应用,189,例7,解,高等数学课件-定积分及其应用,190,例8,证,高等数学课件-定积分及其应用,191,高等数学课件-定积分及其应用,192,例9,证,作辅助函数,高等数学课件-定积分及其应用,193,高等数学课件-定积分及其应用,194,例10,解,(1),高等数学课件-定积分及其应用,195,(2),高等数学课件-定积分及其应用,196,测 验 题,高等数学课件-定积分及其应用,197,高等数学课件-定积分及其应用,198,高等数学课件-定积分及其应用,199,高等数学课件-定积分及其应用,200,高等数学课件-定积分及其应用,201,高等数学课件-定积分及其应用,202,高等数学课件-定积分及其应用,203,高等数学课件-定积分及其应用,204,测验题答案,高等数学课件-定积分及其应用,205,
