1、第 1 页 共 4 页 函数的基本性质 1奇偶性 （ 1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 2 由函数的奇偶性定义可知，函 数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即
2、定义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论： 若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （ 3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； 设 ()fx， ()gx的定义域分别是 12,DD，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =
3、奇，奇 奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 偶 =偶 2单调性 （ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）； 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间
4、。 （ 3）设复合函数 y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间， B 是映射 g : x u=g(x) 的象集： 若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数， y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是增函数； 若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。 （ 4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 1 任取 x1， x2 D，且 x1x2； 2 作差 f(x1)
5、f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差 f(x1) f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （ 5）简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 第 2 页 共 4 页 增函数 )(xf 增函数 )(xg 是增函数；减函数 )(xf 减函数 )(xg 是减函数；增函数 )(xf 减函数 )(xg 是增函数；减函数 )(xf 增函数 )(xg 是减函数 。 3最值 （ 1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的
6、 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I，都有 f(x) M；存在 x0 I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意： 1 函数最大（小）首先应 该是某一个函数值，即存在 x0 I，使得 f(x0) = M； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x I，都有 f(x) M（ f(x) M）。 （ 2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 1 利用二次
7、函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 2 利用图象求函数的最大（小）值； 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； 4周期性 （ 1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数； （ 2）性质： f(x+T)= f(x)常常写作 ),2()2( T
8、xfTxf 若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期 ；若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f( x)（ 0）是周期函数，且周期为|T。 函数的基本性质 一、 典型 选择题 1在区间 上为增函数的是（ ） A B C D 2函数 是单调函数时， 的取值范围 （ ） A B C D 3如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有 （ ） A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值 4函数 ， 是（ ） A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与 有关 第 3 页 共 4 页 5函数 在 和 都是增函数，若 ，且 那么（ ） A B C D无法确定 6函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是 （ ） A B C D 7函数 在实数集上是增函数，则（ ） A B C D 8定义在 R 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上为递增，则（ ） A B C D 9已知 在实数集上是减函数，若 ，则下列正确的是 （ ） A B C D. 二、 典型 填空题 1函数 在 R 上为奇函数，且 ，则当 ， . 2函数 ，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 . 三、 典型 解答题 1（ 12 分）已知 ，求函数 得单调递减区间 . 2（ 12 分）已知 ， ，求 . 第 4 页 共 4 页
