1、 1 课 题 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教材版本 新课标：人教版数学 2 授课时间、授课人 2012-9-10-yangxudong 授课班级 337/338 教学目标 一 、知识要点 1.异面直线的定义 2.异面直线的画法 3.异面直线所成的角的定义 4.平行公理与等角定理 二、能力要求 1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 2.会用平面衬托来画异面直线。 3.掌握并会应用平行公理和等角定理。 4.会用异面直线所成的角的定义 找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 三、情感与价值目标 1.提高学生的空间想象能力和作图
2、能力。、 2.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归 及 辩证唯物主义思想。 3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点、难点 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教学方法 讲授法、讨论法、指导合作探究法 教具准备 学生学案一份、上课用多媒体课作一个、合作探究（二）配套 教学模型一个 备课札记 教学过程 一、复习引入 1平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线） 相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点） 2实例。十字路口 -立交桥 立交桥中 , 两条路线 AB, CD 既
3、不平行，又不相交（非平面问题） 六角螺 母 二、新课讲解 1.异面直线的定义 : 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 练习：在教室里找出几对异面直线的例子 注 1： 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行 . 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内 . 合作探究一： 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定 ：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 空间两直线的位置关系 按平面基本性质分 （ 1） 同在一个平面内：相交直线、平行直线 （ 2） 不同在任何一个平面内：异面直线 按公共点个数分 （ 1） 有一个公共点 : 相交直线 A B C D
4、 2 （ 2） 无公共点：平行直线、异面直线 2 异面直线的画法 说明 : 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托 . ababab合作探究二： 如图是一个正方体的展开图 ,如果将它 还原为正方体 , 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对 ? 答 :共有三对 3.异面直线所成的角 (1)复习回顾 在平面内 ,两条直线 相交成四个角 , 其中不大于 90度的角称为它们的夹角 , 用以刻画两直线的错开程度 , 如图 . (2)问题提出 在空间 ,如图所示 , 正方体 ABCD EFGH中 , 异面直线 AB 与 HF 的错
5、开程度可以怎样来刻画 (3)解决问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 ,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义 : 如图 ,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作 直线 a a , b b 则把 a 与 b 所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线所成的角 (或夹角 ). ab异面直线所成的 角的范围 ( 0O , 90O 注 2： 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a b 思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时 , 这一角的大小 是否改变 ? 答 : 这个角的大小与 O 点
6、的位置无关 . (4)理论支持 ：我们知道 ,在同一平面内 , 如果两条直线都和第三条直线平行 , 那么这两条直线互相平行 .在空间这一规律是否还成立呢 ? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？ O A B G F H E D C H C B E D G A a O b 3 a b c d e 公理： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行 ：在平面内 , 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结论是否仍然成立
7、呢？ 观察 ： 如图所示 ,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 , ADC 与 A1D1C1 , ADC 与 A1B1C1 两边分别对应平行 ,这两组角的大小关系如何 ? 答 :从图中可看出 , ADC= A1D1C1, ADC + A1B1C1=180O 定理（等角定理） ：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 证 : 这个角的大小与 O 点的位置无关 . 证明 : 如图 , 再过空间另一点 O作 a a , 设 a 与 b 所成的角为 1, a 与 b 所成的角为 2 , a a , a a a a (公理 4), 同理 b b, 1 = 2 (等角定理 ) 2
8、1aa a b b 注 3：在 求作异面直线所成的角时 ,O 点常选在 其中的一条直线上 (如 线段的端点 ,线段的中点 等 ) 4 例题选讲 1.下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系 ? EC 和 BH 是 相交 直线 BD 和 FH 是 平行 直线 BH 和 DC 是 异面 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条 ? 课后思考 ：长方体的棱中共有多少对异面直线？ 例 2如图，正方体 ABCD-EFGH 中 如图，正方体 a b c e d D1 C1 B1 A1 C A B D G F H E B C D A A B G F H E D C 4 ABCD-EFGH
9、 中 O 为侧面 ADHE 的中心 ，求 (1)BE 与 CG 所成的角？ (2)FO 与 BD 所成的角？ 解： (1)如图 ： CG BF， EBF(或其补角 )为异面直线 BE 与 CG 所成的角 ， 又 BEF 中 EBF =450 ，所以 BE 与 CG 所成的角为 450 （ 2） 连接 FH， HD EA FB HD FB 四边形 HFBD 为平行四边形， HF BD， HFO（或其补角）为异面直线 FO 与 BD 所成的角。 连接 HA、 AF， 易得 FH=HA=AF， AFH 为 等边 ， 又依题意知 O 为 AH 中点 , HFO=300 即 FO 与 BD 所成的夹角是
10、 300 注 4： 求异面直线的步骤是 :“一作 (找 )二证 三求 ” 5课堂练习 .如图 ,已知长方体 ABCD-EFGH 中 , AB = 32 , AD = 32 , AE = 2 (1)求 BC 和 EG 所成的角是多少度 ? (2)求 AE 和 BG 所成的角是多少度 ? 解答： (1) 450 (2) 600 6课堂小结 异面直线的定义 : 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两直线的位置关系 ：相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法 ：用平面来衬托 异面直线所成的角 ：平移，转化为相交直线所成的角 公理（平行公理） ：在空间平行于同一条直线的两条直线互相
11、平行 等角定理 ：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 异面直线所成角的求法 : 一作 (找 )二证三求 课后作业 作业： P56： 6 课后思考题： 1在平面内我们有 “垂直于同一条直线的两条直线平行 ”在空间 , 这一结论是否一定成立 ? 答 : 不一定 注：不是所有的平面中的定理都可以推广到空间 ,若推广需证明其正确性 . 2 “ 若直线 a 与直线 b 异 面，直线 b 与直线 c 异面。 则 a 与 c 也异面 ”。这一命题对吗？为什么？ ( 即 :异面直线是否具有传递性） 答：不一定。 注： 异面直线不具有传递性 如图，正四面体 A-BCD 中 , E、 F 分别是边 AD、 BC 的中点，求异面直线 EF 与 AC 所成的角？ 思考： 在此题中，连接 AC ，若有 AC BD，则四边形 EFGH 是什么图形？ 教 学 后 记 G F H E B C D A E A B F D C
